用PBL建構基于探究性理解的教學

卞明星

【摘要】以蘇教版《函數的零點存在性定理》教學為例，嘗試用PBL建構基于探究性理解的定理教學，以期發展學生的核心素養。

【關鍵詞】PBL教學法? 函數零點存在性定理

【中圖分類號】G633.6?【文獻標識碼】A?【文章編號】2095-3089（2020）33-0106-02

一、背景介紹

近期筆者有幸觀摩了4節江蘇省南京市四星級初高中的觀摩展示課，獲學員一致好評的是南京一中張老師的這節課，教學內容是蘇教版高一下冊“函數的零點”。這節課是基于問題驅動教學法（PBL），因勢利導，注重知識的“自然生長”的一節優課。好的數學問題能夠幫助學生增進對知識的理解，使學生學會數學式思維，使其成為一個優秀的問題解決者。

二、PBL教學法的相關理論

PBL是Problem-Based Learning的簡稱，即基于問題的學習。PBL教學法可以理解為一種教學方法，也可以理解為一種教學策略。陶行知先生也說過“發明千千萬，起點是一問，智者問得巧，愚者問得笨”。善教者，必善問。我們不難發現，PBL正是這些教學思想的體現。以PBL進行教學能激發學生求知欲，活躍其思維，促進學生核心素養發展。

問題設計是PBL教學法的核心，“好”的問題設計是教學成敗的關鍵。那么什么是好的數學問題呢？美國數學家匈菲爾德給出了“好的數學問題”的五條原則：（1）基礎性強，兼具挑戰性（接受性、障礙性）;（2）解題思路多樣，易發散（開放性）;（3）蘊含了重要的數學思想方法（啟發性）;（4）有針對性，不故意設置陷阱（情景性）;（5）問題可進一步拓展和引申（探究性）。

基于以上PBL教學法的相關理論，現將課題“方程的根與函數的零點”的課堂教學設計及聽課感悟整理成文，與同行交流研討。

三、教學過程設計

（一）環節1：趣味情景（方程解法史話引入）

本節引入采取生活情境，告知學生，挪威數學家尼爾斯首次完整給出了高于四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解的證明。教者理解學生已備的“數學現實”，提出研究方程解的問題，有“解不出”的方程，啟發學生主動發現問題，提出問題，明確任務。營造核心問題的問題情境，借助外部問題情境，形成一種懸而未決、又力圖解決的認知沖突狀態。促進學生內部問題情境的生成。

如何想到函數上去？是主動尋找研究方法的關鍵！用函數來研究方程，事實上不是做不到，而是想不到。（一層很薄的“窗戶紙”，一捅就破，但由誰來捅破？）

面對方程求解不能問題，如何引入函數，這是滲透函數思想的重要契機。

（二）環節2：問題探究

1.思考三個問題：

（1）求x的值，使x2-2x-3=0;

（2）求x的值，使x3+2x-3=0;

（3）求x的值，使lgx+x-3=0.

2.問題探究：

（1）這樣的x存在嗎？

（2）若存在，有幾個？為什么？

點評：通過生活情境和對問題情境的探討來求lgx+x-3=0解的問題。環節2設置問題情境，發現和提出命題，分析和解決問題，尋找研究方法。教師通過3個有層次性的問題形成問題鏈引發學生思考，學生從已有知識入手，思維不斷發散，最終發現有“解不出”的方程，明確本節課的任務和方向。但此處提出的三次方程、對數方程有些復雜，教者引導學生從熟悉的二次函數著手討論，即從“數”的角度行不通，應該考慮從“形”的角度求解——借助圖像。通過這樣激發學生的學習興趣，由直觀過渡到抽象，更符合學生的認知過程，借此引入函數的零點。

看似簡單的問題探究，卻兼具挑戰性。不僅能將學生的求知欲激發，而且為后續的數學探究活動埋下伏筆，屬鋪墊性問題。

（三）環節3：探究新知

1.探究一：函數零點

練習：畫出二次函數y=x2-2x-3=0的圖像，并求出方程x2-2x-3=0的根。

問題1：二次函數圖像與坐標軸（x軸）的交點與方程的根有什么關系？

問題2：當a>0時，二次函數y=ax2+bx+c的零點、二次函數y=ax2+bx+c的圖像與二次方程ax2+bx+c=0的實數根有什么關系？

點評：想到函數上去之后，憑什么較為自然地引入二次函數與一元二次方程？它其實是初中兩個“二次”的再現，從簡單出發，從已知入手，從學生已有的“數學現實”想開去（一次函數也可以在其中）。從一般二次函數出發，抽象出一般概念，并據二次函數結論，得到一般結論（三種形式等價）。

從熟知的二次函數入手，數形結合探究函數與方程的關系。在原有初中二次函數認知基礎上，使知識自然“向上生長”。先讓學生理解了簡單函數（二次函數）的零點，再進一步理解其他復雜的函數零點問題自然就容易些了。

只是再現，最多是重新發現、察覺，但要回歸任務取向，聚焦研究對象。就一般的二次函數作討論，既是上述研究的一般化過程，又研究了所有可能的情形。通過幾個問題追問，邏輯推理，嘗試將結論一般化。這是數學研究的一般方法。學生的邏輯思維隨之逐步深入，逐步完善，同時培養學生從特殊到一般的數學思想方法及數學抽象等核心素養。

2.探究二? 零點存在性定理（此環節附課堂實錄）

例1：求證：二次函數f（x）=2x2+3x-7有兩個不同的零點。（讓學生做，讓學生講）

師：思考：有沒有其它方法？

生：還可以根據圖像，函數圖像穿過x軸。

師：很好，那請問怎么判斷二次函數f（x）=2x2+3x-7在區間（1，2）上是否有零點？

生：直接考查函數在區間上的兩個端點值，因為f（10）=? -2<0，f（2）=7>0且函數在（1，2）上單調遞增，所以……

師：非常好，這就是零點存在定理。接下來我問大家幾個問題。

問題1：若函數y=f（x）在區間[a， b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且函數y=f（x）在區間（a， b）上有零點，則f（a） f（b）<0一定成立嗎？

生：不一定，例如二次函數圖像與x 軸只有一個交點，結論就不成立了。

問題2：若函數y=f（x）在區間[a ， b] 上滿足f（a） f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a， b）上一定有零點嗎？

問題3：若函數y=f（x）在區間[a， b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a） f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a， b）上一定只有一個零點嗎？

學生通過上臺畫圖檢驗了問題的結論是錯誤的。

問題4：若函數y=f（x）在區間（a ， b）上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a） f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a ， b）上一定有零點嗎？

學生陷入沉思。

過了一會兒，一位男同學（學生10）非常激動地舉手發言：“不能改為開區間，我可以舉反例……”他大踏步上黑板畫了一個分段函數（見圖）。

教師：“非常好！”

意義建構：（零點存在性的一種判定方法）一般地，若函數y=f（x）在區間[a，b]上圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數y=f（x）在區間（a，b）上有零點。

點評：此環節是本節課最精彩的部分，教師通過設問、追問，層層遞進，深入探究，啟發學生深度思考，歸納出函數零點存在性定理。教者在這里將教材中例1、例2進行整合，呈現兩種解法，是教者處理教材的巧妙之處，彰顯教學智慧。提出有“數學味”的問題，并在探究過程中又重新產生新的、有思維價值的問題，由此得出一連串的直擊問題本質的數學問題鏈，使學生感悟“數學式”的思維。整個環節特別關注：用函數研究方程的方法觀點，經歷經驗。

3.小結：啟發學生主動提出小結的問題;讓學生自己小結;教師點撥。

四、關于聽課的感悟：

（一）用PBL深度引領學生參與對定理條件的探究性理解過程

“善問者如攻堅木，善待問者如撞鐘。”一個好問題往往勝過千言萬語的講解，有問題才有思考。本課張老師課堂提問精妙，圍繞函數零點的本質，不斷啟發學生發現問題，用PBL深度引領學生參與學習過程。尤其在探究二環節，四個問題的設置將教學推向了高潮。啟發學生主動提出問題：嘗試將結論一般化，進行邏輯推理。這是數學研究的一般方法。不是匆忙給出定理后，讓學生舉反例，說明每一個條件必不可少;而是讓學生主動嘗試表征一般化結論，探究出結論成立的充分條件來。當學生給出，要追問：為什么、非要這么多嗎？怎么想到的，還有別的想法……當學生概括不夠全面時，要啟發引導：還有什么補充，有這些就夠嗎？說明理由。一個學生也許給不全，給全了也不意味著所有學生都已明白。要引導學生質疑：這樣歸納而來的結果可靠嗎？然后告知明確定理。在展示與追問過程中，帶給學生的都是對零點存在問題本質的不斷追問與方法思考;在這個問題解決過程中，學生思維得到提升，能感知并理解定理的嚴謹性;在這個探究過程中，積累數學活動經驗，體驗知識的建構過程，很好地培養學生邏輯思維和直觀想象核心素養。

（二）用PBL建構基于探究性理解的教學

整節課教學主線清晰，銜接自然，盡顯知識的發展過程;教學進程探究精細，經驗積淀及時;教學立意高遠，方法滲透自然。用PBL教學法建構基于探究性理解的教學，重視體驗，突出過程;著力問題、發展思維。

1.創設情境，問題導學

本節課張老師通過創設問題情境，引發學習者認知沖突，讓學生感覺到學習新知的必要性，以問題導學，激發學生的探究熱情。問題鏈的設置，梯度明顯，層層深入，為學生思維的活躍和拓展提供了階梯式的幫助，讓學生體驗知識的發生發展階段，積累數學活動經驗。

2.重視體驗，突出過程

整個課堂以學生為主體，把課堂還給學生，關注學生的積極體驗。在師生和諧的交流氛圍中，一起經歷知識的發生發展，落實核心素養實踐層面。“潤物細無聲”式地滲透并讓學生自然地獲取數形結合解決問題的能力，也發展了學生直觀想象、數學抽象等核心素養。

3.著力問題，發展思維

課堂上幾個問題的設計精妙，逐層鋪墊，由特殊到一般，啟發學生深度思考、啟迪智慧，讓學生的思維在相互討論中碰撞、在相互學習中完善。恰當的問題設置、適度的策略指導，能引領學生深度的思考，進行暢所欲言的交流。而明確問題真相后的修正，觸及問題本質后的感悟，達成共識后的愉悅。這一切不正是高認知的思維活動所具備的重要特征嗎？

數學教學過程是數學活動的過程，是數學思維活動的過程。讓學生動起來是產生數學思維活動的關鍵，而學生活動的驅動力來源于問題。新課標引領下的數學課堂教學十分強調以數學問題的解決為價值取向，教學設計應該以實現“教是為了不教”的目標，要讓學生從“模仿”走向“有思考的學習”，以提高學生的問題解決能力為重要目標。如何設計有“數學味的“好問題”，設計能培養學生“數學式”的思維的問題，應以全面系統地把握教學目標、教學內容、學生、教師四者之間的關系為基礎。

參考文獻：

[1]孫紹榮主編.高等教育方法概論 修訂版.華東師范大學出版社，2010.12.

[2]文艷平.秦國杰編著 PBL的理論和實踐.中國科學技術出版社，2007.02.