觀察聯想而有深度

唐秀農

[摘? 要] 深度學習和深度教學理念的引進促進高中數學教學理念、內容編排發生了變化，拓寬了學生的學習思維，豐富了教師的教學方法. 本文就深度學習和深度教學的內容選用進行分析，整合教學內容，更新了數學教學理念.

[關鍵詞] 觀察;聯想;深度學習;深度教學

筆者所在學校生源位居廣州市第三生源組. 學校學習風氣較為濃厚，學生學習數學態度較為端正，但學生卻常因自己動手解題沒有思路而倍感焦頭爛額，面對考試總感覺“我命由天不由我”. 經調查了解，學生普遍反映：（1）公式、定理、公理能背誦默寫卻不知何時何處使用;（2）看完題目無法提取有效信息;（3）能接受課堂傳授知識卻對課后相應練習束手無策. 筆者以為，學生存在的三個現象反映了學生在日常的學習中處于淺層學習狀，尚未能對課本知識、數學思想方法進行深層次的理解與整合，未能真正意義上提高其數學核心素養. 基于以上原因，近年來，筆者在高三復習教學中嘗試引導學生深度學習、進行深度教學，通過引導學生觀察題目說聯想和感受，主抓基礎、提煉方法、重視思想的總結和提升，堅持不懈，學生的數學成績和素養有了明顯的提升.

黎加厚教授在國內首次介紹了深度學習的概念，提出深度學習是指在理解的基礎上，學習者能夠批判地學習新思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，做出決策和解決問題的學習. 具體在數學教學中的指導作用，筆者以為是學生在了解數學的定義和概念前世今生、在理解它們的內涵與外延基礎上，自主提出已認知的數學知識、思想和方法，并將其和新知識內容相結合，通過對紛繁的題干觀察分析、抽象聯想、具體應用、回顧反思加深對知識的掌握.

習題是反映學生數學素養的鏡子、是提高數學素養的橋梁. 學生通過讀題、審題、聯想、類比、歸納、反思，明確解題的原則，體會到學習知識從淺層次認識發端到深層次認識收尾，充分感受數學知識、思想、方法、能力、應用和技巧.

下面是“向量”一章小結復習時，由一道習題發散生成的習題課的教學實錄概況.

人教版A版數學必修4第119頁13題改編題：已知向量a，b滿足a=b=2，a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，則b-c的最小值為________.

該題初看很平常，再看似乎有些難入手，但從不同角度觀察、審視、聯想、剖析、探究，發現它涉及了向量的模長與數量積的運算和幾何意義、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系、兩點間的距離、點到直線的距離、三角函數的基本關系、向量三角不等式等，還涉及劃歸與轉化、數學結合、函數等數學思想與方法，飽含豐富的知識點，具有積極的訓練意義. 然而在實際教學中有些教師不屑一顧，往往就題講題，忽視了其內在信息和引導作用，殊為可惜. 下面僅以此題為例，談談如何引導學生進行深入學習，以期同仁不吝指正.

對題目的外在淺層認識

認識1：見到a=b=2，a·b=2，給人的感覺是向量a，b的長度以及它們的夾角是確定不共線的，由平面向量基本定理自然想到可以將向量a，b表示向量c，那么問題就迎刃而解了.

認識2：見到已知（a-c）·（b-2c）=0，不難聯想到向量數量積為零，意味著兩向量互相垂直，而向量a，b的長度和夾角已經確定. 為確定向量c的位置，很快就有了對已知條件的變形（c-a）·c-■b=0，從而確定向量c的終點的軌跡是以向量a和■b終點所在線段為直徑的圓.

認識3（深層）：從所求問題出發直接把求模的問題轉化為求數量積也是一種常見的思路. 由（a-c）·（b-2c）=0得c2=■b·c+a·c-1，將其代入b-c2=b2-2b·c+c2，化簡得b-c2=3-■b·c+a·c. 該式子中的變量既有模長，又有夾角，計算難度會增大，往下計算會導致學生半途而廢或算錯. 重新審視題目的條件和所求的問題，從整體上把握該式，聯想到向量中的三角不等式，結合已知條件，構造一個能與條件（a-c）·（b-2c）=0有關且又能消掉向量c的式子，問題便可得解.

由所求的問題出發，通過“外在認識”將已知條件進行適當變形，尋找其幾何意義，由淺到深，為即將實施的解題過程提供了夯實的條件儲備——萬事俱備，只欠東風.

對題目的教學分析和引導

教學分析引導1：有了認識1就知道思路之一是將向量a，b表示向量c，若是令c=xa+yb，會增加向量數量積的運算，自然而然地引導學生建立坐標系解決問題. 而在建系寫點的坐標過程中，問題“求b-c的最小值”可聯想到令向量b的縱坐標比令向量a為0更加容易運算，充分體現了“目標導航”的作用，減輕了計算量，體現了解題的技巧.

解法1：借助“認識1”中得到的思路，不難得到a=（1，■），b=（2，0）. 設c=（x，y），代入（a-c）·（b-2c）=0，化簡得（x-1）2+y-■■=■■，即向量c的終點的軌跡是以1，■為圓心，■為半徑的圓. b-c=■的幾何意義為點（2，0）到圓上的點的距離，其最小值為圓心到點（2，0）的距離減去半徑，即■.

“坐標法”是解與平面向量基本定理有關問題的一個通法，有助于減少運算量.

解法2：同解法1，b-c=■的幾何意義是以點（2，0）為圓心的圓的半徑長. 當兩圓外切時，半徑長最短，即圓心距離減去半徑：■-■=■.

以上兩種解法均為“坐標法”，此法把向量問題轉化為解析幾何問題，既能復習向量的知識和方法，同時又回顧了有關圓的知識，實現了一箭雙雕，是解決向量問題的一種通法.

教學分析引導2：由（a-c）·（b-2c）=0可化簡為（c-a）·c-■b=0，向量c的終點的軌跡是以向量a和■b的終點所在線段為直徑的圓.

解法3：如圖1所示，易得∠AOB=■，BC=1，■=■b，AC⊥OB，不妨設∠CAD=θ，則∠BCD=θ，CD=ACsinθ=■sinθ. 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosθ=1+3sin2θ-2■sinθcosθ=■-■sin（2θ+φ）tanφ=■，故BD2≥■=■=■■，當且僅當sin（2θ+φ）=1時，取到等號. 故其最小值為■.