高中數學核心素養培育途徑之我見

倪偉

[摘? 要] 核心素養的落地取決于核心素養的培育途徑，在高中數學教學中，教師顯然需要考慮到學生面臨的考試評價，同時又要考慮到核心素養的落地，某種程度上來講，這是一個基于傳統走向現代，基于現實走向理想的過程. 核心素養是指向學生的未來成長目標的，數學學科核心素養只在高中數學課堂上去培育學生的數學核心素養. 數學抽象作為數學學科核心素養的重要組成部分，對它的理解一方面要延續傳統，另一方面需要賦予其新的內涵.

[關鍵詞] 高中數學;核心素養;數學抽象

隨著核心素養概念的提出，教師對其的思考就越來越深入，在思考的過程中，一個常見的問題就是：核心素養如何從理論變成實際？這其實就是核心素養如何落地的問題. 核心素養的落地取決于核心素養的培育途徑，在高中數學教學中，教師顯然需要考慮到學生面臨的考試評價，同時又要考慮到核心素養的落地. 前者是傳統的教學需要，后者是先進的教育理念;前者面向實際，后者不可避免的具有一定的理想成分. 因此高中數學學科核心素養的培育途徑探究，某種程度上來講，是一個基于傳統走向現代，基于現實走向理想的過程. 這個過程中，既需要教師有現實的目光，又需要教師有理想的情懷，兩者之間的銜接與平衡，決定了核心素養培育途徑是否有效. 本文以數學抽象為例，談談筆者的一些淺見.

從抽象到數學抽象的概念理解

在高中數學學科核心素養的六個要素當中，數學抽象首當其沖，應當說數學抽象是抽象的下屬概念. 而抽象作為一個概念，在日常生活和教育教學中被人們按自己的理解經常使用著. 特別值得注意的是，教學中由具體到抽象等，這里面存在對抽象理解的混亂、誤解，所以需要澄清認識. 這實際上是一個對抽象和數學抽象兩個概念的理解問題，其實需要認識到的是：抽象與數學抽象之間并沒有絕對的界限，因為對數學的研究本身就源自數學家對現實世界的抽象. 數學家在研究數學的過程當中，發現實際生活中的事物的某些屬性對于數學研究而言并沒有任何作用，于是就把這些屬性予以去除，于是抽象也就發生了.

至于在數學的視角下強調數學抽象這個概念，實際上只不過是在抽象的過程中凸顯出數學的特征. 數學是研究數與形的一門學科，高中數學的知識體系對數與形界定得非常清楚，因此在實際教學中，數學抽象是無法回避的，很多時候數學抽象都是數學概念建立或者數學規律建立的一個重要前提. 譬如函數概念的建立，在實際教學中總是給學生創設一個情境，如生活中某一個城市人口的數量與年份之間的關系，當給出一系列數據之后，學生會自發地建立人口數量與年份的坐標系，然后通過描點法得出相應的圖像. 于是一個形象的生活問題就變成了一個抽象的數學問題，這實際上就是一個數學抽象的過程. 由此也可以看出，將復雜的生活情境抽象成簡潔的數學關系，是數學學習的一個重要思路. 當然從數學學科核心素養的角度來看，這也是一個數學抽象素養要素培育的機會. 其實分析到這里，高中數學同行應當認識到的是，正是因為數學抽象本身就是數學學科的一個重要特征，而且存在于幾乎所有數學知識的建構過程當中，所以數學抽象才被稱為數學學科核心素養六個要素中的第一個，也因此在高中數學教學中，一旦遇到數學與生活有聯系的素材，往往都需要進行數學抽象. 當然數學抽象的方向也是明確的，那就是建立相應的數學概念或者規律.

高中數學教學中數學抽象培育

有了上述理解之后，教師就需要特別重視一個問題，那就是如何對學生實施數學抽象的教育，并且評估學生數學抽象能力的形成效果. 如上所說，數學抽象位居六個數學核心素養要素之首，史寧中教授更是認為：數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 所以在實際教學中，教師不妨建立“基于實際事物抽象出數學研究的對象，以培養學生的數學抽象能力”這樣的思路，去實施數學抽象素養要素的培育. 具體來看一個例子：

在函數概念的教學中，根據教學經驗可以發現，學生對函數這個概念是能夠接受的，但是對于函數定義所強調的一些基本要求，往往由于理解不透而影響了對函數概念的理解. 比如說函數定義中強調“都有唯一的元素和它對應”，這個“唯一”不少學生都不理解，在剛剛學習函數概念的時候，他們都會問道：為什么不可以是兩個元素與之對應呢？

學生之所以有這樣的思考，那是基于他們并不完善的邏輯推理出來的，而幫學生化解這個理解上的難題，最好的方法并不是強化定義，而應當是以學生已有的思維，去尋找更好的方法. 在筆者看來，數學抽象就是一個比較好的方法.

當學生提出這個問題之后，回過頭去思考曾經進行過的數學抽象，比如上面提到的氣溫與時間之間的關系. 一個非常有意思的現象是，當筆者讓學生再去思考這個素材時，不少學生在短時間之內就有了新的發現：一個年份中的人口數量不可能有兩個值. 與此類似的是：一天中某一個時刻的氣溫也不可能有兩個值. 于是有學生就嘗試著提問：是不是說一個量（實際上學生想表達的是集合，下同）與另外一個量之間的對應關系只是“唯一對應”的時候，這種關系才可以用函數來表述？當筆者假裝聽不懂學生的問題時，另外有學生會補充：是不是說一個集合與另外一個集合之間如果不是唯一對應的關系，那么這種關系就不是函數？分析學生提出這兩個問題背后的思維，實際上可以發現這就是一種數學抽象思維，正是因為通過數學抽象，學生才較好地建立了理解函數的基礎，也才認識到函數最大的本質就是唯一對應.

實際上當學生分析到這一步的時候，說明他們已經對函數的概念有了更深入的理解，也就是說學生已經通過自己的努力回答了曾經遇到的問題. 再回過頭來看學生自己解決問題的這個過程，實際上其中的數學抽象體現得比較明顯：學生帶著問題回過頭來看自己曾經遇到過的生活素材，然后想象其中的對應關系——這實際上是在前面所進行的抽象基礎上的進一步的抽象，是高階水平的數學抽象. 正是通過這個抽象過程，學生發現了“唯一對應”是函數關系成立的前提條件，于是這樣的一個過程就成為學生數學抽象素養得到培育的過程.

核心素養視角下理解數學抽象

核心素養是指向學生的未來成長目標的，數學學科核心素養只在高中數學課堂上去培育學生的數學核心素養. 數學抽象作為數學學科核心素養的重要組成部分，對它的理解一方面要延續傳統——很早以前數學抽象就已經是數學學科教學的一個重要概念，另一方面又需要賦予其新的內涵. 因此有人這樣說：數學抽象是數學教學的永恒主題. 在核心素養背景下思考數學抽象，有著重要的歷史意義與現實意義.

筆者對這一觀點是贊同的，如果承認現實就可以發現，當前的應試使得包括數學抽象在內的所有的核心素養要素的培育，都面臨著一些困難. 這主要體現在以考試為形式的評價，往往考查的是學生對數學知識的應用能力，盡管其中也涉及數學思維等. 但是不可否認的是，應試能力往往來自機械的重復，也就是現在人們所說的“刷題”，相當一部分學生在遇到熟悉的題目的時候，都能夠得心應手，而遇到新題目的時候往往就束手無策，這正是刷題的后果. 要想讓學生在新的情境當中，依然能夠有效地運用數學知識去分析問題并解決問題，關鍵還是需要培養學生的能力，并且讓這種能力能夠上升為學生的素養. 很顯然，數學抽象就是其中關鍵的一步，也是一個基本素養. 如果學生具有較強的數學抽象能力，那么在分析問題的時候，往往就能尋找到很好的切入視角，從而可以將難的問題變得更容易，將復雜的問題變得更簡潔.

最后再從核心素養視角下的高中數學教學來看，數學學科核心素養的培育是必須實現的一個重要目標. 因此數學教師要敢于從當前的實際中跳出來，要努力滿足學生的應試需要，同時又要引領并滿足學生的成長需要，尤其是在課堂教學中，要讓學生實質性地參與數學抽象的每一個過程，認識數學抽象這種創造性活動的一般性原則與方法. 只有在這樣的角度想認識包括數學抽象在內的數學學科核心素養，才能為核心素養的培育尋找到一條康莊大道.