新課標(biāo)下對(duì)高中生數(shù)學(xué)思維靈活性的培養(yǎng)

陶宏玲

[摘? 要] 隨著新課程改革的深入推進(jìn)，數(shù)學(xué)教師積極轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，更新教學(xué)觀念，將學(xué)生思維能力的培養(yǎng)提升到一個(gè)較高的層面. 文章對(duì)數(shù)學(xué)思維靈活性培養(yǎng)的具體路徑進(jìn)行探討，以期引起廣大數(shù)學(xué)教師的關(guān)注與研究.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);思維能力;靈活性;培養(yǎng)

由于受應(yīng)試教育的影響，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教學(xué)定位于知識(shí)技能的傳授，淡化對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的要求.但數(shù)學(xué)是一門以鍛煉思維能力著稱的學(xué)科，那么缺失了思維參與的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，其低效是不言而喻的. 眾所周知，思維的靈活性是多個(gè)思維品質(zhì)形成的基礎(chǔ)和保障，是眾多思維品質(zhì)的核心[1].因此，新課改風(fēng)向標(biāo)下，教師需在教學(xué)中強(qiáng)化思維靈活性的作用.

心理學(xué)研究表明，高中學(xué)生的思維已經(jīng)逐步趨向成熟化，早已實(shí)現(xiàn)了從經(jīng)驗(yàn)型向理論型的過渡. 作為高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)把握好學(xué)生思維發(fā)展的高速期，牢牢把握學(xué)生思維可塑性最大的成熟前期，進(jìn)行思維靈活性培養(yǎng)的具體路徑實(shí)施，讓數(shù)學(xué)的教育價(jià)值真正得以實(shí)現(xiàn). 那么，如何才是讓高中學(xué)生的思維更具靈活特點(diǎn)呢？筆者在教學(xué)實(shí)踐中做了如下探索：

訓(xùn)練逆向思維

“逆向思維”作為一種反常規(guī)方法的合理運(yùn)用，自然是相對(duì)于“正向思維”而論的，它們之間的區(qū)別在于思考問題的方向不同. 它隸屬于思維品質(zhì)領(lǐng)域，是重要的思考能力，同時(shí)也是一種求異思維的體現(xiàn). 不少問題通過正向思考解決時(shí)呈現(xiàn)“山窮水盡”的景象，而變換為逆向思維時(shí)則可達(dá)到“柳暗花明”的奇效. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維可拓寬學(xué)生的思路，克服思維定式的影響，開辟新的思維路徑，提高思維的靈活度. 例如，在講授三角公式、導(dǎo)數(shù)公式等數(shù)學(xué)公式時(shí)，可以通過逆向推導(dǎo)來活躍靈感，從而達(dá)到求解的目的.

例1：應(yīng)用排列數(shù)符號(hào)表示18×17×16×…×11×10=________.

分析：若引導(dǎo)學(xué)生去計(jì)算A■，不少學(xué)生則可以較為輕松地完成，多多少少對(duì)訓(xùn)練學(xué)生思維也有些益處.不過，本題“反其意而為之”，解決的關(guān)鍵是逆向思維與解題經(jīng)驗(yàn)，難度和思維量自然是提升了，思維的方式也發(fā)生了改變，對(duì)思維的訓(xùn)練也達(dá)到了.

例2：已知定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）對(duì)于定義域中的任意x都滿足f（x）+xf ′（x）>0，那么不等式■·f（■）>0的解集是________.

分析：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式來求導(dǎo)已知函數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性是正向思維的考查方法，學(xué)生解決起來難度較小，屬于低階思維要求.而本題以“其導(dǎo)函數(shù)”為載體，解決的關(guān)鍵是逆向思考原函數(shù)的解析式，突出考查了逆向思維，屬于高階思維要求.

開放題教學(xué)

開放題型的形式千變?nèi)f化，不僅可以開放條件，引領(lǐng)學(xué)生勤思和善思;而且可以開放結(jié)論，讓求異思維自然落地;同時(shí)也可以開放策略，為學(xué)生的思維空間留有余力. 其主要特征體現(xiàn)在思維靈活和策略多樣，對(duì)思維靈活性的培養(yǎng)大有裨益.因此，教師針對(duì)性地精選一些開放題型進(jìn)行訓(xùn)練，給予學(xué)生靈活思維的時(shí)機(jī)，并鼓勵(lì)求異思維，激勵(lì)學(xué)生多方法、多途徑思考，這有利于培養(yǎng)學(xué)生孜孜不倦的探究精神及創(chuàng)造力.

例3：請(qǐng)寫出一個(gè)以下兩個(gè)條件均滿足的函數(shù)________.

（1）在定義域（0，+∞）上單調(diào)增加;

（2）對(duì)于任意x，y>0，都有f（xy）=f（x）+f（y）+1成立.

傳統(tǒng)題型中，一道題僅僅只有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案，不利于思維靈活性的發(fā)展.為了改變這一現(xiàn)狀，本題中僅僅出示了函數(shù)的2個(gè)性質(zhì)，給予學(xué)生思維馳騁的廣闊空間，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)自身所學(xué)內(nèi)容，靈活機(jī)動(dòng)地進(jìn)行檢索，答案自然也是多種多樣和豐富多彩的，從而有效地活躍了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

展開變式訓(xùn)練

在教學(xué)中，我們不少教師會(huì)發(fā)現(xiàn)，一道典型例題教師分析后學(xué)生可以掌握，而之后的練習(xí)中對(duì)試題稍加“變臉”，不少學(xué)生就思維卡殼，無從下手. 若想改變這一現(xiàn)狀，應(yīng)增強(qiáng)數(shù)學(xué)中的變化性，可以結(jié)合習(xí)題教學(xué)中的變式訓(xùn)練來拓展學(xué)生的思路，達(dá)到啟迪思維同時(shí)潛移默化地提升思維靈活性的目的.

例4：已知A（2，2），點(diǎn)F1為橢圓■+■=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，試求出PA-PF1的最大值.

分析：從三角形的特征進(jìn)行探究可得：動(dòng)點(diǎn)P位于線段AF1的延長(zhǎng)線和橢圓交點(diǎn)時(shí)，PA-PF1有最大值■，該最大值為線段AF1的長(zhǎng).

從差式延伸開來，可作如下變式：

變式1：原題的條件不變，將問題“試求出PA-PF■的最大值”變換為“試求出PA+PF■的最小值”.

變式2：原題的條件不變，將問題“試求出PA-PF1的最大值”變換為“試求出PA+■PF1的最小值”.

變式3：原題的條件和問題均改變，變換為“已知A（-6，2），點(diǎn)F1為雙曲線■-■=1的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該雙曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求PA+■PF■的最小值”.

注重等價(jià)轉(zhuǎn)化

等價(jià)轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，其本質(zhì)就是將陌生問題轉(zhuǎn)換成熟悉的、已知的范疇內(nèi)可以解決的問題的方法，在一次一次的轉(zhuǎn)化中，實(shí)現(xiàn)思路的變通，強(qiáng)化學(xué)生解題中的應(yīng)變能力.因此，在日常教學(xué)中，教師需做到因地制宜，從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平出發(fā)，設(shè)計(jì)融入等價(jià)轉(zhuǎn)換思想的教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生將陌生、煩瑣、復(fù)雜、抽象的問題熟悉化、形象化、簡(jiǎn)捷化，逐漸提升綜合素質(zhì)以及思維靈活性. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，等價(jià)轉(zhuǎn)換的例子各種各樣，如立體幾何中與線面平行或垂直問題通?？梢赞D(zhuǎn)換成線線平行或垂直的問題來解決;而面面平行或垂直的相關(guān)問題又可以轉(zhuǎn)化成線面平行或垂直的問題進(jìn)行解決[2].

例5：試判斷函數(shù)f（x）=■的奇偶性.

分析：學(xué)生在判斷時(shí)，一般都是以f（-x）為原型進(jìn)行變形，找尋出f（-x）和f（x）的關(guān)系. 不過觀察本題可以發(fā)現(xiàn)，分母和分子的結(jié)構(gòu)都十分復(fù)雜，運(yùn)算過程煩瑣不堪，不少學(xué)生束手無策.事實(shí)上，判斷函數(shù)的奇偶性等價(jià)于■可否等于1或是-1，此處等價(jià)轉(zhuǎn)換思想充分運(yùn)用就有效地簡(jiǎn)化了此題的運(yùn)算. 求解過程如下：

解■=■·■=■=■= -1.

所以f（-x）=-f（x），又因?yàn)閒（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）是奇函數(shù).

當(dāng)然，在實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程中，學(xué)生需將問題逐步轉(zhuǎn)換為最易于操作的問題，在不經(jīng)意的轉(zhuǎn)換中，“打通”思路脈絡(luò)，有效激活思維.

體會(huì)“正難則反”的思想

一些數(shù)學(xué)問題從正面著手解決時(shí)常常會(huì)困難重重，此時(shí)可以轉(zhuǎn)換方向，從反面入手解決，這樣的策略就是“正難則反”. 正難則反易，“正難則反”是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想，千古傳誦的“草船借箭”的歷史故事從很大程度上顯示了此數(shù)學(xué)思想的巨大威力. 有意識(shí)地訓(xùn)練這種思維方法，可以引導(dǎo)學(xué)生通過正向遷移改善解決問題的能力.例如，在求解概率問題時(shí)，可從對(duì)立事件的概率公式P（A）+P（■）=1入手，優(yōu)化解題策略，減輕煩瑣計(jì)算，提高解題效率.

例6：已知拋物線y=x2-x+m，y=x2+2mx+4和y=mx2+mx+m-1中，至少有一條拋物線與x軸相交，試求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：從“正面”入手解決，則需分類討論“三條拋物線至少有一條與x軸相交”的多種情況，過程繁不堪言. 如果從結(jié)論的反面入手，也就是思考“三條拋物線都不與x軸相交”這一種情況，由此將其轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)根”的問題，進(jìn)而求其補(bǔ)集以達(dá)到求解本題的目的.

解：據(jù)題設(shè)反面“三條拋物線都不與x軸相交”，設(shè)上述三條拋物線的判別式分別為Δ1，Δ2，Δ3，則有Δ1=1-4m<0，Δ2=4m2-16<0，Δ3=m2-4m（m-1）<0，解得■

又因?yàn)閥=mx2+mx+m-1是拋物線，所以m≠0.

再求補(bǔ)集，則m的取值范圍為mm≤■或m≥2且m≠0？搖.

“正難則反”的思想具有靈活性和發(fā)散性，常常打破常規(guī)思維的禁錮，是創(chuàng)新思維的源泉.

總之，新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下，良好的思維品質(zhì)是學(xué)生受益終身的法寶.本文在多個(gè)實(shí)例的分析過程中，自然呼出思維的靈活性，并與多種思維品質(zhì)相關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生參與到思維活動(dòng)中來，以思維引導(dǎo)學(xué)習(xí)，使思維品質(zhì)的自然形成成為學(xué)生主動(dòng)思維的結(jié)果[3]■. 當(dāng)然，思維品質(zhì)的提升也不是一蹴而就的，學(xué)生應(yīng)當(dāng)努力磨煉，使自己成為思維活躍中的一名“猛將”，讓數(shù)學(xué)思維在自身的磨煉中真正“落地”;教師也應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造性地運(yùn)用好教材這一“利劍”，不斷攀登數(shù)學(xué)課程改革的新高度.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 趙思林，朱德全. 試論數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)策略[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（2）.

[2]? 錢從新. 運(yùn)用推廣與引申的方法培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（1）.

[3]? 李海洋. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性[J]. 成才之路，2007（08）.