1-Bit壓縮感知理論研究

賈威

摘 要：1-Bit壓縮感知作為壓縮感知理論的重要分支，在原有理論的基礎上進一步簡化，在量化時僅保留測量值的符號，并能由此重構信號，使采樣和量化能夠同時進行，提高了采樣速度，節約了存儲空間。本文介紹了1-Bit壓縮感知理論的發展過程、基本理論、實際應用，并且詳細分析了常用的、一致性較好的二進制迭代硬閾值算法和符號匹配追蹤算法。

關鍵詞：壓縮感知;1-Bit壓縮感知;二進制迭代硬閾值;符號匹配追蹤

中圖分類號：TN911.7文獻標識碼：A文章編號：1003-5168（2020）23-0011-04

Abstract： As an important branch of compressed sensing theory， 1-Bit compressed sensing is further simplified on the basis of the original theory， only the sign of the measured value is retained during quantization， and the signal can be reconstructed from this， so that sampling and quantization can be performed simultaneously， and the sampling speed is increased， saving storage space. This paper introduced the development process， basic theory and practical application of 1-Bit compressed sensing theory， and analyzed in detail the commonly used and consistent binary iterative hard threshold （BIHT） algorithm and symbol matching sign pursuit （MSP） algorithm.

Keywords： compressed sensing;1-bit compressed sensing;binary iterative hard threshold;matching sign pursuit

隨著我國經濟社會的高速發展、現代通信技術的進步和信息傳播速度的提升，信號帶寬、信號處理量逐漸增大，表現在日常生活中就是人們對圖像、音頻、視頻信息質量的要求越來越高，這就對信號轉換、存儲及傳輸帶來了諸多挑戰。

在數字系統中，模擬信號需要經過量化和采樣過程轉換為方便計算機處理的數字信號。Nyquist采樣定理指出，當采樣頻率不小于信號中最大頻率的兩倍時，人們才能準確無失真地還原信號。在超寬帶通信等越來越多的領域中，采樣頻率要求非常高，一般的模數轉換設備難以實現。

為了解決以上問題，研究人員在前人算法的基礎上提出了壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論[1]。該理論指出，若一個信號具有稀疏表示，那么它可由一系列線性的、非自適應的觀測量精確重建，即可以通過比較少的觀測量就可以將信號稀疏感知表示，從而提高采樣速率，節省存儲空間。

在實際的數字信號處理應用中，采樣后的信號必須經過量化才能進行數字化處理。隨著采樣率的提高，量化器的量化速率也要相應提高，這就對量化器造成更大的壓力。為了從量化精度角度出發降低采樣率，人們逐漸研究出1-Bit壓縮感知理論。

1-Bit壓縮感知理論的特點是在信號經量化器量化后僅保留符號信息，大小均為1 bit，然后利用測量符號對原始信號進行重構。量化過程僅需要一個比較器就可以實現，大大簡化了量化設備，而且減小量化位數至一位，可以實現高速量化和高速采樣。本文將從基本理論、重構算法和實際應用的角度對該術進行介紹。

1 基本理論

1.1 傳統壓縮感知理論

傳統壓縮感知理論的主要原理可以概括為三個關鍵步驟：信號的稀疏表示、測量矩陣的設計和重構算法的研究。

壓縮感知的輸入信號必須是本身稀疏的或者在某種空間基底下稀疏的，因為現實中的信號往往不是稀疏的，所以人們首先要對信號進行稀疏變換，使原始信號具有稀疏性。假設原信號[x∈RN]是[N]×1維離散時間信號，由信號理論可知，空間中的任何一組向量都可以用一組基進行線性表示，則原信號可以被表示為：

利用修改后的公式求解的過程與BIHT算法一致，不再贅述。

2.2 MSP算法

2009年，Petros提出了符號匹配追蹤（Matching Sign Pursuit，MSP）算法，該算法是一種貪婪算法。

與大多數貪婪算法一樣，MSP算法在第[t]次迭代中會生成一個由觀測值和支持集形成的信號估計值[xt]，然后在下一次迭代中更新支持集，從而對信號估計值[xt]進行更新，直到重構的信號[xt]滿足要求。MSP算法每次迭代過程中的求解的最優問題是將[（diag（y）Φx）-22]最小化。

其中，[diag（y）]是生成一個方陣，方陣的主對角線上依次放置測量符號[y]中的元素，其余元素為0;[?-]表示對括號內矩陣中元素取負所做的功，即將所有大于0的元素置零，小于等于0的元素保留。[（diag（y）Φx）-22]類似一個罰函數，目的是懲罰信號估計值[xt]和待估計原始信號[x]中不同的元素，由1-Bit壓縮感知基本理論的內容可知，觀測值為[yi]=sign（[φixi]），重構信號為[xt]，如果重構信號[xt]與原始信號[x]相同，則[yi]和sign（[φixi]）的符號值也相同，兩者的乘積為正數，經過[?-]運算后，正數元素也就是重構信號[xt]與原始信號[x]相同的位置的元素置零，兩者不同位置的元素將會被保留下來。

2.3 1-Bit壓縮感知的應用

1-Bit壓縮感知技術可以實現量化與采樣同時進行，簡化量化設備，節省存儲空間，提高模數轉化速率，在信號處理領域有廣闊的應用前景。

1-Bit壓縮感知的實現需要的硬件簡單。采樣器只需要一個比較器就能實現，通過與零電平進行比較，大于0的信號值取1，小于0的信號值取-1，實現了高速采樣。例如，在多諧波信號采集系統中[5]，1-Bit量化節約了大量存儲空間，提高了采樣率。

1-Bit壓縮感知對非線性失真不敏感，具有較好的魯棒性。1-Bit測量只獲得信號的符號值，因此當信號值在一定范圍內波動時，測量值不會發生改變，這就使得1-Bit壓縮感知能夠很好地應用到硬件條件易受到溫度、濕度、光照等因素影響的環境中，使系統得到優化。

3 結論

本文從多個方面詳細介紹了1-Bit壓縮感知理論。首先從時代背景出發，對1-Bit壓縮感知理論的產生發展以及與當下技術的結合進行了介紹，其次介紹了壓縮感知的基本思想與理論推導，然后結合1-Bit壓縮感知理論，對該理論應用的核心部分——重構算法進行了介紹，并列舉了兩種常用算法，最后列舉了該理論在幾個技術領域內的應用。近些年來，1-Bit壓縮感知理論在國內外眾多研究人員的努力下不斷完善，已經在很多領域得到了應用，也向更多領域發展。完善理論，構建更加精確的算法，拓寬技術應用，是1-Bit壓縮感知理論研究人員未來努力的方向。

參考文獻：

[1]約琳娜·埃爾達.壓縮感知理論與應用[M].北京：機械工業出版社，2019.

[2]Candes E J.The restricted isometry property and its implications for compressed sensing[J].Comptes Rendus Mathematique，2008（9）：589-592.

[3]Donoho D L.Compressed sensing[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006（4）：1289-1306.

[4]Plan Y，Vershynin R.One-bit Compressed Sensing by Linear Programming[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，2013（8）：1275-1297.

[5]楊柳.1-Bit壓縮感知技術研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業大學，2014.