移動荷載作用下考慮縱向連接間隙的浮橋結構計算

黃恒，陳徐均，施杰，魏梟

(陸軍工程大學 野戰工程學院，江蘇 南京 210007)

0 引言

浮橋是克服江河障礙的一種重要水上通道，其架設速度快，建造成本低，受河流的水深、河幅、河底土壤環境影響較小，在軍事和民用中都發揮著重要作用[1-4]。目前已建成浮橋的結構形式主要包括連續鋼筋混凝土浮箱結構、浮箱支撐的桁架上鋪設橋面板結構(橋腳分置式結構)、橋腳舟與橋跨結構合為一體的帶式浮橋結構等[5-7]。本文涉及的計算方法主要適用于帶式浮橋。

車輛在浮橋上行駛的速度對浮橋吃水以及浮橋內力會產生較大影響，通常速度增大，浮橋吃水增大，其結構受力也會發生變化。定量分析車輛移動速度對浮橋的影響，對于浮橋的正常使用至關重要。另一方面，為了便于浮橋架設拼組以及優化結構受力，浮橋的縱向連接處通常存在連接間隙，圖1即為帶式浮橋縱向連接處實圖[8]。連接間隙在荷載作用下會閉合，對浮橋的整體變形和受力產生影響，在浮橋的靜態和動態分析中必須加以考慮。連接間隙的合理取值，對于優化浮橋結構十分重要。

圖1 浮橋縱向連接處Fig.1 Longitudinal connection of floating bridge

對于浮橋結構的計算分析，已有多位學者進行了相關研究。Wu等[9]將靜水作用力簡化為線性彈簧和阻尼器，分析并得到了移動荷載作用下剛性浮體的運動特征。Giske等[10]基于1階和2階可靠性反求方法，給出了大跨度浮橋在波浪荷載作用下長期極限響應分析方法。林鑄明等[11]推導了移動荷載作用下彈性基礎梁的計算方法。陳徐均等[12]對通載浮橋動態位移的測試方法與數據分析進行了研究。Zhang等[13]基于簡支梁理論，建立帶式浮橋在移動荷載作用下的數學模型，分別對恒力荷載和質量荷載作用下的浮橋動力特性進行了模擬計算。孫建群等[14]通過水動力模型試驗，計算了多模塊浮橋在規則波作用下的水動力響應和彎矩分布情況。付世曉等[15-17]研究了間隙對拼組式浮橋靜態響應的影響，以非線性有限單元法為基礎，用Newmark直接積分和Newton-Raphson迭代方法求解，研究了移動荷載作用下非線性連接浮橋的三維非線性動力響應特征；此外，他們還通過模型試驗測量了動荷載作用下的浮橋豎向位移，得到了由多個非線性連接模塊組成的帶式浮橋在移動荷載作用下的水彈性響應。江召兵等[18]將桿單元和梁單元二者結合成非線性混合單元，對浮橋接頭的非線性間隙的影響進行了建模求解，并對浮橋的動態響應進行了分析。Wang等[19-20]對波浪作用下的帶式舟橋的水彈性響應和移動荷載作用下浮橋動態響應進行了相關研究。王丙等[21]對帶式浮橋在移動荷載作用下的動力響應進行了分析，得到了不帶鉸浮橋與帶鉸浮橋荷載、速度與內力的關系曲線。

但對于浮橋縱向連接間隙的理論計算方法研究較少，本文推導并驗證了移動荷載作用下考慮連接間隙的帶式浮橋計算方法。該方法可以求解存在連接間隙的浮橋在移動荷載作用下的變位和受力，能夠為浮橋設計提供相關理論指導。

1 移動荷載作用下長浮橋計算模型

1.1 彈性基礎梁模型

帶式浮橋設計計算時，可以將整個浮橋簡化為彈性基礎上的等剛度連續梁[11]。本文將連續體系長浮橋計算模型簡化為無限長彈性基礎梁，模型如圖2所示。坐標系O′x′y′為固定坐標系，O′為基礎梁上一點，其沿梁左右方向都為無限長，O′x′為沿梁方向，O′y′為垂直梁方向，豎直向下。Oxy為移動坐標系，O點為移動荷載P作用的位置，Ox為沿梁方向，Oy為垂直梁方向，豎直向下。OO′=vt，v為荷載移動的速度，t為荷載從O′運動到O的時間。

圖2 彈性基礎梁計算簡圖Fig.2 Calculation diagram of elastic foundation beam

由微分關系和力的平衡條件，受外力作用時，浮橋結構在x處的豎向變位y(x)，轉角θ(x)，彎矩M(x)和剪力Q(x)的關系為

(1)

式中：EI為將浮橋簡化為等截面歐拉梁后的抗彎剛度，E為彈性模量，I為浮橋橫截面慣性矩；q(x)為外荷載線集度；p(x)為水對浮橋底板的壓力線集度分布，由于浮橋的彈性基礎符合溫克爾地基假設，則p(x)=Ky(x)，K為基礎梁彈性剛度。

由于受水的浮力作用，將浮橋簡化為彈性基礎梁后，可得基礎梁剛度K為

(2)

式中：ρ為水的密度；g為重力加速度；A為單個橋腳舟的水線面面積；l為浮橋單跨長度。對于帶式浮橋，由于A=Bl，B為水線面寬度，則K=ρgB.

由(1)式可得彈性基礎梁靜荷載作用下的變位微分方程[11]為

(3)

考慮移動荷載作用時，需要加上浮橋和浮橋垂向運動產生的附連水質量的慣性力，則可得到浮橋的動力計算方程為

(4)

式中：m為單位長度浮橋的質量mb與單位長度浮橋垂向運動產生的附連水質量mw之和，即m=mb+mw，mb=mu/l，mu為單跨橋節的質量，單位長度浮橋垂向運動產生的附連水質量的計算公式[11]為

(5)

Cv為剖面修正系數，κ為三維流動系數，ζ為淺水修正系數，Bb為浮橋寬度。

(6)

則(4)式可以化簡為常系數微分方程：

(7)

1.2 長浮橋計算模型求解

由于在浮橋實際結構中，m2v4-4EIK<0總是成立[11]的，當q(x)=0時，(7)式的解為雙曲三角函數，此時，浮橋會產生振動，對(7)式求解得

y(x)=e-αx(C1cosβx+C2sinβx)+
eαx(C3cosβx+C4sinβx)，

(8)

由彈性基礎梁特性，利用其邊界條件，可對(8)式進一步求解。

1.2.1x≥0時函數的求解

當x→∞時，y(x)→0，由于e-αx→0，eαx>0，可得

C3cosβx+C4sinβx=0.

(9)

-C3cosβx+C4sinβx=0，

(10)

聯立(9)式和(10)式，解得C3=C4=0.

所以，

y(x)=e-αx(C1cosβx+C2sinβx).

(11)

αC1-βC2=0.

(12)

(13)

聯立(12)式和(13)式，解得

(14)

將(14)式代入(11)式中，可得x≥0時，

(15)

1.2.2x<0時函數的求解

利用同樣的方式，可以解得x<0時，

(16)

于是，x<0時，

(17)

可以證明：y(x)的函數圖像在區間(-∞,∞)上是關于y軸對稱的。為方便表示與計算，本文中的函數只表示x≥0的范圍，x<0范圍的函數，利用對稱性求解。

由(1)式中的微分關系，x≥0時，對移動荷載作用下彈性基礎梁結構的變位、轉角、彎矩、剪力求解得

(18)

式中：

(19)

(19)式中函數的微分關系為

(20)

可以證明：在區間(-∞,∞)上，y(x)和M(x)關于y軸對稱；θ(x)和Q(x)關于O點中心對稱。本文在繪制函數圖像時，只繪制x>0的范圍，對于x<0范圍的函數圖像，利用對稱性求解。繪制其變位曲線和彎矩曲線如圖3和圖4所示。

圖3 移動荷載作用下浮橋豎向變位曲線Fig.3 Vertical displacement curve of floating bridge under moving load

圖4 移動荷載作用下浮橋彎矩曲線Fig.4 Bending moment curve of floating bridge under moving load

1.3 多個集中荷載和均布荷載作用下浮橋變位和彎矩的計算

根據變位互等定理，對于無限長浮橋，浮橋上點x處的豎向變位和彎矩影響線分別和單位荷載P=1作用在點x處的變位圖和彎矩圖是完全一致的。根據影響線原理，計算浮橋上若干個集中荷載Pi(i=1,2,…,u)分別作用在xi(i為荷載序號，i=1,2,…,u)處時，浮橋上任意點x處的變位值和彎矩值分別為

(21)

(22)

計算均布載荷q(均布荷載的中點在點O處，長度為s)作用下，浮橋上點x(x≥0)處的變位和彎矩分別為變位影響線和彎矩影響線在區間[-s/2,s/2]的積分值，其計算結果為

(23)

(24)

浮橋上點x(x≤0)處的變位和彎矩可由對稱性得到。

2 連接間隙對浮橋變位和受力的影響

2.1 連接間隙及間隙閉合區間的說明

帶式浮橋縱向連接處存在間隙，間隙的存在使得橋節連接方便，同時也能適當減小橋節在外荷載作用下的結構內力。圖5為帶式浮橋縱向連接各間隙位置示意圖，其中：間隙1為浮橋上表面承壓板連接處的間隙，此處只能承受壓力，不能承受拉力；間隙2為浮橋下部單雙耳連接處的間隙，荷載作用下，此處主要承受拉力；間隙3處為方銷，可承受縱向拉力。根據文獻[15]，浮橋上表面抗拉連接件的活動間隙對浮橋最大變位和最大受力幾乎沒有影響。因此，本文在理論計算時只考慮間隙1和間隙2.

圖5 縱向連接處的各間隙位置Fig.5 Positions of gaps at longitudinal connection

浮橋受力變形時，間隙1和間隙2閉合，橋節之間會發生轉動，產生間隙角，如圖6所示。圖6中：γ為間隙角；Gap1為間隙1大小；Gap2為間隙2大小；h為間隙1與間隙2之間的距離。

圖6 間隙角示意圖Fig.6 Schematic diagram of gap angle

對于帶式浮橋，本文假設間隙1和間隙2對浮橋結構影響是可以疊加，則間隙角γ為

(25)

浮橋受荷載作用時，由于受靜水恢復力的作用，浮橋間隙閉合的區間與荷載大小有關。但由于引起間隙角γ閉合的靜水恢復力相對于荷載而言較小，暫不考慮其對間隙閉合的影響。本文假設，各連接處的間隙閉合與否根據該處彎矩值的正負而定。如圖7所示，浮橋承受正彎矩的區間內間隙為閉合狀態，承受負彎矩的區間內間隙為打開狀態。對連接間隙分析計算時，只考慮間隙閉合區間內間隙的影響。

圖7 連接間隙閉合區間Fig.7 Closed interval of connection gaps

2.2 間隙對浮橋變位和受力的影響

圖8表示單位荷載P=1作用在點O時，x處的彎矩為MxO；圖9表示x處發生單位轉角γ=1時，點O沿y軸方向的位移為yOx. 根據功能互等定理，有

MxOγ=yOxP，

(26)

又因為P=1，γ=1，故有

(27)

圖8 單位荷載與彎矩的關系圖Fig.8 Relationship between unit load and bending moment

圖9 單位轉角與豎向變位的關系圖Fig.9 Relationship between unit angle and vertical displacement

因此，圖8和圖9的圖形形狀是相同的。由圖8可知，正彎矩范圍為λ1，則間隙閉合區域的長度也為λ1.

由于彎矩和變位之間存在2次微分關系，彎矩與單位轉角的關系可通過微分運算求出，即x處發生單位轉角γ=1時，點O處的彎矩為

(28)

式中：

(29)

其與φ4(x)的微分關系為

φ′4(x)=φ5(x).

(30)

由(27)式和變位互等定理可知，點O處變位的轉角影響線的形狀與圖9是一致的，其正值范圍是λ1，如圖10所示。同理，由(28)式和變位互等定理，可得點O處彎矩的轉角影響線，如圖11所示。

圖10 變位的轉角影響線Fig.10 Angle influence line of displacement

圖11 彎矩的轉角影響線Fig.11 Angle influence line of bending moment

得到了變位和彎矩的轉角影響線，間隙角γj(j為坐標位置點的序號，j=1,2,…,k)對浮橋上點x處產生的變位和彎矩的影響值就是將間隙閉合區域范圍內間隙角γj與相應的坐標位置點xj(j=1,2,…,k)處影響線坐標值相乘，并將各項疊加，即

(31)

若間隙角都相等，角度都為γ；相鄰間隙角的距離等于浮橋單跨長度，長度都為l. 可近似的將間隙角γ均勻地分配在l的長度上，即間隙角集度為γ/l. 這樣，就可以利用積分運算求解間隙角對變位和彎矩產生的影響值。

(32)

求解可得

(33)

(34)

間隙角對浮橋上點x(x≤0)處產生的變位和彎矩的影響值可由對稱性得到。

本文在計算連接間隙對浮橋的影響時，近似地將該影響值作為一種附加值來考慮，該影響值與原有彈性基礎梁計算結果疊加后得到浮橋變位和受力的最終結果，即點x處最終的變位和彎矩值分別為

(35)

式中：集中荷載作用時，y(x)和M(x)分別為yP(x)和MP(x)；均布荷載作用時，y(x)和M(x)分別為yq(x)和Mq(x).

橋節之間縱向連接處，主要是上部承壓板受壓力，下部銷孔結構受拉力，根據彎矩和力的關系，橋節連接件部位的最終受力大小為

(36)

式中：N為上部承壓板或下部銷孔結構的數量；h為上、下連接位置的距離；計算下部銷孔結構受力時取正號，計算承壓板受力時取負號。

在荷載作用點前后一定的距離(通常為相鄰第3～5個橋節處)，浮橋會出現反彎現象，此時，下部銷孔受壓，上部方銷受拉。故下部的銷孔結構既能受拉也能受壓，其計算值為為正值時受拉，為負值時受壓；而上部承壓板只能承受壓力，在反彎區間，兩橋節上相對的承壓板處于不接觸狀態，此時，上部拉力由尖舟上的方銷承受，方銷位于圖5中間隙3的位置。因此，承壓板的計算值恒為負值，對于結果為正的時候，方銷受拉，兩浮橋相對的承壓板處于不接觸狀態，此時設定壓力值為0.

3 數值計算與分析

3.1 參數說明

圖12 浮橋的布置與荷載作用位置Fig.12 Arrangement of floating bridge and load position

為驗證本文計算方法的合理性，以文獻[15-16]、文獻[18]中的數據為參考，與本文結果進行對比分析。其浮橋的布置、荷載作用位置如圖12所示。浮橋是由15個相同的浮橋單元組成，橋節兩端連接處的標號n沿x軸方向為1～16，荷載中心作用于7號測點處。

相關計算參數如表1所示，圖13是浮橋橫斷面示意圖。

表1 相關計算參數Tab.1 Relevant calculation parameters

圖13 浮橋橫斷面示意圖Fig.13 Cross section diagram of floating bridge

3.2 有限元模型的建立與求解

為驗證本文方法的合理性，利用ANSYS有限元分析軟件，建立了浮橋等效模型，該模型與實橋具有等效的截面剛度。在計算過程中，對彈性基礎的剛度和連接間隙大小進行了等效換算，圖14為一個浮橋單元的模型結構及其網格劃分結果，整個浮橋模型共劃分105 460個網格和280 968個節點。

圖14 浮橋單元網格劃分結果Fig.14 Meshing result of floating bridge unit

本文只對靜荷載作用下，連接間隙分別為0 mm和5.5 mm的浮橋變位情況進行了模擬計算。模擬計算結果如圖15和圖16所示，兩圖中是將豎向變位放大了25倍的效果圖。

圖15 浮橋變位模擬結果(v=0 m/s, Gap1+Gap2=0 mm)Fig.15 Simulated result of floating bridge displacement (v=0 m/s, Gap1+Gap2=0 mm)

圖16 浮橋變位模擬結果(v=0 m/s, Gap1+Gap2=5.5 mm)Fig.16 Simulated result of floating bridge displacement (v=0 m/s, Gap1+Gap2=5.5 mm)

3.3 結果對比與分析

由于荷載作用位置位于7號測點處，可以認為荷載作用位置兩端的浮橋長度為無限長，即本文模型適用于文獻[15-16]、文獻[18]中的工況。下文將對各種方法計算的浮橋垂向位移和上部承壓板的壓力值進行分析和對比。

圖17為本文方法計算的浮橋變位結果與本文有限元數值模擬結果，文獻[18]中的試驗值和文獻[15]中數值模擬結果進行對比。間隙參數為Gap1+Gap2=5.5 mm (Gap1=4 mm，Gap2=1.5 mm)，荷載移動速度為v=0 m/s，即靜荷載作用下的對比結果。

圖17 靜荷載作用下的浮橋變位Fig.17 Floating bridge displacement under dead load

圖18為本文方法計算的浮橋連接件受力與文獻[15]中數值模擬進行對比的結果。

圖18 靜荷載作用下的浮橋連接件受力Fig.18 Connection force of floating bridge under dead load

圖19和圖20分別為本文計算的浮橋變位和受力結果與參考文獻[16]對比。間隙參數為Gap2=0 mm，Gap1分別為0 mm和5.5 mm，荷載移動速度v分別為3 m/s、7 m/s、10 m/s和15 m/s.

圖19 移動荷載作用下的浮橋變位Fig.19 Floating bridge displacement under moving load

圖20 移動荷載作用下的浮橋連接處受力Fig.20 Connection force of floating bridge under moving load

由圖19和圖20的結果可以得出，本文計算結果與文獻[16]結果對比，圖形的整體趨勢是一致的。因此，本文基于彈性基礎梁的方法來計算移動荷載作用下考慮連接間隙的浮橋是合理可靠的。

為進一步分析連接間隙和荷載移動速度對浮橋最大吃水Tmax(荷載引起的最大變位ymax與浮橋自重產生的吃水T0之和)和連接構件受力的影響，本文設定荷載為500 kN(該類浮橋最大設計通行荷載)，利用本文的方法，對比了不同間隙和不同速度的工況下浮橋的最大吃水Tmax和浮橋縱向連接部位最大受力情況。浮橋變位的最大值如圖21所示，圖中[T]為浮橋中心受載時的容許吃水。各工況浮橋連接處最大受力結果如圖22所示。

由圖21和圖22可知：連接間隙的存在改變了浮橋的變位和受力狀態；間隙越大，浮橋吃水增大，連接結構受力減小，車輛荷載行駛的速度對浮橋的吃水和受力有較大影響；速度越大，變位越大，浮橋連接處的受力也越大。結合前文(35)式和(36)式，可知浮橋最大吃水和受力是關于速度的遞增函數。

圖21 500 kN荷載作用下浮橋最大吃水Fig.21 Maximum draft of floating bridge under load of 500 kN

圖22 500 kN荷載作用下浮橋連接結構受力圖Fig.22 Maximum connection force under load of 500 kN

當荷載為浮橋設計最大通行荷載時，荷載移動速度為10 m/s時，縱向連接間隙為6 mm與間隙為0 mm計算結果對比，浮橋的最大吃水增大了9.49%，連接處接頭的受力減小了16.25%；縱向連接間隙為6 mm時，荷載移動速度為10 m/s與速度為0 m/s計算結果對比，浮橋最大吃水增大了11.95%，連接處受力增大了30.02%. 由此可見，速度與間隙的影響不可忽視。

浮橋受中心荷載的情況下，通常需要保證0.1 m的干舷，故容許吃水為0.64 m. 參考圖21，車速為10 m/s時，浮橋在設計時連接間隙應該控制在6 mm左右，實際情況是該類浮橋總的間隙為5.5 mm[15]. 因此，本文的理論計算結果與實際情況基本符合。

4 結論

1)本文基于彈性基礎梁的計算原理，考慮了移動荷載的影響，利用影響線的計算方法，對多個集中荷載和均布荷載作用下的浮橋結構進行計算。之后引入轉角影響線計算間隙的影響，對浮橋的變位和彎矩進行修正。通過與文獻[16]的結果和實際情況對比，驗證了本文方法的合理性。

2)浮橋縱向連接間隙的影響和荷載移動速度對于浮橋結構的變形和受力是不可忽視的。設計合理的連接間隙，對于優化浮橋結構至關重要；浮橋通載過程中，一定要按照限定的速度和載重通行，確保通行安全。

3)在本文研究的基礎上，可以通過建立浮橋動態響應模型，綜合考慮波浪荷載和流荷載作用下的浮橋連接間隙對浮橋變形和受力的影響，進一步完善浮橋結構原理。