基于思辨能力發展的數學開放題課例資源開發

思辨能力是一種高階思維能力，是為“依據標準，對事物或看法做出一種有目的、有理據的判斷的能力”。數學思辨能力是學生數學素養水平的一個重要標志，是小學數學教學不可或缺的一環。

開放題學習能有效發展學生的數學思辨能力，但在小學數學教科書中，現成的開放題數量較少。從這個角度來說，加強開放題課例資源的開發是培養學生思辨能力的迫切要求。小學數學開放題包括條件開放題、結論開放題、策略開放題、綜合開放題，對常規題的改造角度有很多，可以對條件或問句進行增減，也可以對習題內隱活動、解題策略進行全局性的優化和建設性的改良，從而使常規題變成開放題，讓問題解決過程更具思維張力和學習魅力，讓學生從“淺層思考”邁向“深刻思辨”。下面筆者結合常規題改造、后續教學中思辨問題及活動開展，談談開放題課例資源的開發和使用。

課例1：條件開放題的資源開發

條件開放題包含條件不全、條件多余和條件隱含等類型，需要學生在觀察、類比、分析、聯想、抽象和概括等思維過程中抓住有用條件，發現隱含條件，不用或少用干擾條件和多余條件，以便從不同角度尋找解決問題的方法。

【原題】（蘇教版數學教材一年級下冊第11頁）桃樹和梨樹一共有15棵。

（1）桃樹有6棵，梨樹有多少棵？

□○□=□（棵）

（2）梨樹有9棵，桃樹有多少棵？

□○□=□（棵）

【分析】在“桃樹和梨樹一共有15棵”的前提下，通過具體給出其中一種果樹棵數求另一種果樹棵數，兩小題之間具有桃樹6棵、梨樹9棵這樣的條件和問題之間的互逆特點。此題的改編是減少指定條件，讓學生自行假設條件。

【教學指要】本題教學時可以呈現不同指向、不同難度、不同開放度、不同區分度的問題推動學生的思辨。思辨問題一開始可以由教師逐步給出，通過一段時間訓練后再由教師啟發學生提出。考慮到一年級學生的身心特點，可以具體設計三個層次的問題（括號中文字為思辨要點）。

思辨1：梨樹和桃樹棵數之間有什么關系？15棵是什么意思？（分析，建立條件和問題相關性）

思辨2：可以先假設哪種果樹是多少棵？還可以是多少棵？（假設，有根據地嘗試）

思辨3：梨樹和桃樹的棵數有多少種不同的情況？按照一定順序寫一寫。（反思，有條理地列舉）

課例2：結論開放題的資源開發

結論開放題就是根據已知條件進行判斷，所獲得的結論不確定。學生對每一個結論的審視都直接指向對知識本質的理解和對所學內容的批判性利用。

【原題】（蘇教版數學教材五年級上冊第68頁）購買下面的水果各要多少元？（得數保留兩位小數）

【分析】數學源于生活，又服務于生活。學習能否真實發生，首先取決于探索問題的真實性。本題思辨點在于如何結算，學生能否想到人民幣單位而主動保留兩位小數，又能否根據實際支付方式對計算結果保留合適的近似數？

【開放題】李阿姨在超市買散裝東北大米。售貨員將大米稱重后貼上價格標簽。已知大米標簽上單價：5.98元/千克，質量：3.624千克。付款時李阿姨會付多少錢？

【教學指要】改編后的開放題非常考驗學生的思辨能力，結論的多樣性來自對生活場景的不同理解，此題的不同結論較為隱蔽。“標多少元”“付多少元”與生活息息相關，是兩個有聯系又有區別的問題。首先是人民幣的單位和實際流通情況，標簽總價是21.67元，現金支付時受硬幣流通影響，則不會精確到分，實付21.6或21.7元（這里不考慮菜市場中隨機讓利和討價還價情況所帶來的其他付款可能）;其次是考慮付款方式對結論的影響，用支付寶、微信、刷卡時一般扣除21.67元。習題使用時，可以圍繞三個思辨方面拾級而上，探索和經歷實際問題解決的過程。

思辨1：標簽上的總價會是5.98×3.624的乘積嗎？總價為什么保留兩位小數（21.67元）？（聯系，總價保留兩位小數）

思辨2：會直接付21.67元嗎？如果付30元，怎樣找零？（質疑，付款和找零中的數學現實）

思辨3：有其他付款方式嗎？各付多少元？需要找零嗎？（反思，多種付款方式）

課例3：策略開放題的資源開發

一題多解，是策略開放題的顯著特征。從一種解題策略到多種解題策略，學生在變換思維角度、調用不同知識儲備時，思辨能力必定全面提升。

【原題】（蘇教版數學教材五年級下冊第74頁）寫出一個比[15]大又比[14]小的分數，并互相說說自己是怎樣想到這個分數的。你還能再寫出幾個這樣的分數嗎？

【分析】此題是蘇教版教科書中呈現的典型開放題，答案不唯一，解題策略有多種。如果僅關注答案多樣，習題中蘊含的思維靈活性和深刻性就得不到較好的體現。教學時教師可從重點策略上著手，組織學生思辨。“先通分，再比較每組分數的大小”是學生之前接觸最多的題型。通分是學生的首選，要找到更多的中間分數，學生一般會用更大的數作為分母。一再調整分母時，學生的苦惱隨之而來。

【教學指要】思辨就是通過一定的標準評價思維進而改善思維。本題教學時如果時間允許，可以“小題大做”，安排一整節課來讓學生充分感受，獲得更加開放、自信的思辨情感。學生先獨立思考，接著合作交流，然后教師引導，最后回顧反思。學生思考和教師引導可圍繞以下三個思辨問題。

思辨1：使用通分的方法，找一個或找多個中間分數，分母為什么要變化？（分析，方法的局限性）

思辨2：還有沒有其他方法？[14.1]可以嗎？化成小數可以嗎？還有沒有其他方法？（比較，方法的靈活性）

思辨3：不同方法之間有什么聯系？你喜歡哪種方法？（溝通，方法的邏輯性）

此題常用解決策略有同分母、同分子、化小數等。

方法一：化成同分母，即通分。

方法二：化成同分子。[15=1050]，[14=1040]，根據同分子分數的大小比較方法，符合要求的分數有[1049]，[1048]，[1047]，…[1041]。

方法三：化成小數。[15=0.2，][14=0.25，]大于0.2而小于0.25的小數有無數個，寫出幾個小數后再分別化成分數。[0.21=21100，][0.211=2111000]等。

課例4：綜合開放題的資源開發

綜合開放題，通常只給出一定的情境，其條件、解題策略與結論都需要在情境中自行設定與尋找。比如，皮球在傾斜的木板上能滾多遠？怎樣測量一個石頭的體積？學校一天的垃圾有多少？綜合開放題具有明顯的實踐性。

【原題】（蘇教版數學教材四年級下冊19頁）讀出橫線上的數：2010年第六次全國人口普查顯示，我國人口總數大約是1 339 720 000人，其中，少數民族人口總數大約是113 790 000人。

【分析】此題信息主體是第六次全國人口普查。全國人口普查屬于國情國力調查，是提供全國基本人口數據的主要來源。在普查標準時點上采集的人口數據是準確數，也是唯一數，而在實際生活情境中，根據不同的對話群體，所使用的近似數是不同的。這就是生活的數學化和數學的生活化。題中全國人口總數和少數民族人口總數均為整萬的近似數。人口普查數據是最真實、最直接、最權威的多位數，用好這一素材，可以統攝整個單元教學。

【開放題】從報紙、書籍或網上收集第六次全國人口普查數據，選擇一些數據與同學交流。

【教學指要】本題最佳的打開方式是實踐活動。基于問題設計活動，基于活動解決問題，學生可以立足以下三個層面思考和辨析。

思辨1：什么是人口普查？第六次全國人口普查是什么時候？普查哪些內容？第六次人口普查全國總人口是多少？（關注，了解活動意義）

思辨2：從哪里獲得權威的人口數據？世界各國（洲）人口情況是怎樣的？（闡述，掌握有效數據獲取途徑）

思辨3：怎樣根據生活情境去選擇合適的總人口近似數？為什么不使用精確數？（評價，表達上善解人意）

具體來說，教師設計及落實的活動依次有以下幾方面。

講一講：什么是人口普查？建議采用小學生數學微演講的方式。

查一查：第六次人口普查數據是多少？全體學生分小組查找資料，推薦訪問國家統計局官網。

聽一聽：教師播放《新聞聯播》中第六次人口普查數據公報的視頻，讓學生了解大數的讀法。

讀一讀：讀出自己感興趣的一些數據。

比一比：呈現媒體上大數的真實材料，了解四位一級和三位一節的大數讀寫方法。

說一說：根據生活場景的不同，說出各種統計量不同的近似數，大約是多少萬、多少億。了解數據的無法精確和沒必要精確。

做一做：制作一份數學手抄報，羅列第六次人口普查各種數據。

估一估：第七次全國人口普查將于2020年11月1日0時開展。通過估計，保持對人口普查數據持久的關注和敏感。

在素養為本的教學下，數學開放題的設計要考慮如何提升學生的推理能力和數學思維能力，還要考慮如何促進學生的合作交流能力。將常規題開發成開放題，教師要吃透原題，尊重原題，多角度解讀習題素材的內在價值，找準習題的生長點、支撐點和延伸點，不能為開發而開發。

（作者單位：江蘇省昆山市玉峰實驗學校）

參考文獻

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