黏彈性邊界對(duì)圓形襯砌隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響

袁宗浩，戴凱鑫，潘曉東，蔡袁強(qiáng)，史 吏

(浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

隨著國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展和人民生活水平日益提高，城市地面交通也承受了巨大的壓力。近年來(lái)政府越來(lái)越重視城市地鐵以及隧道的發(fā)展，但是隧道內(nèi)部的動(dòng)力荷載對(duì)隧道襯砌以及周?chē)馏w產(chǎn)生的破壞性影響不容忽視，這也引起了工程研究人員對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的重視。蔡袁強(qiáng)等[1]將襯砌視為殼體，運(yùn)用Flugge殼體理論研究了爆炸荷載作用下飽和土中隧道的動(dòng)力響應(yīng)；高盟等[2]考慮耦合質(zhì)量的影響，分析了飽和土參數(shù)，襯砌參數(shù)和耦合質(zhì)量對(duì)襯砌動(dòng)力響應(yīng)的影響；王瀅等[3]采用Graff加法公式進(jìn)行坐標(biāo)變換，求出極坐標(biāo)下控制方程的通解，研究了飽和半空間中襯砌隧道的動(dòng)力響應(yīng)；黃曉吉等[4]采用傅里葉變換，計(jì)算對(duì)比了彈性土體隧洞，飽和土體隧洞，飽和土襯砌隧洞在移動(dòng)環(huán)形荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)；徐長(zhǎng)節(jié)等[5]考慮土體飽和度的影響，研究了彈性準(zhǔn)飽和土中球空腔的動(dòng)力響應(yīng)；楊驍?shù)萚6]考慮隧洞襯砌內(nèi)壁對(duì)爆炸波的反射作用及瞬態(tài)荷載的負(fù)壓效應(yīng)，研究了深埋圓形隧道在隧洞軸線(xiàn)發(fā)生爆炸時(shí)的軸對(duì)稱(chēng)動(dòng)力響應(yīng)；陸劍駿等[7]研究了飽和彈性土-深埋圓形隧道襯砌耦合系統(tǒng)在突加集中荷載作用下的非軸對(duì)稱(chēng)動(dòng)力響應(yīng)；曾晨等[8]研究了徑向單位簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載作用下隧道的三維動(dòng)力響應(yīng)；吳傳俠等[9]研究了深埋圓形隧道的準(zhǔn)飽和彈性土在軸對(duì)稱(chēng)瞬態(tài)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)；蒲軍平等[10]對(duì)公路隧道沖擊響應(yīng)的2D有限元進(jìn)行了研究分析；王哲等[11]對(duì)淺埋暗挖隧道地面沉降槽寬度系數(shù)取值進(jìn)行了研究；王克忠等[12]研究了滲流-應(yīng)力耦合下深埋引水隧洞變形穩(wěn)定性；Senjuntichai等[13]研究了突加荷載、階躍荷載、三角脈沖荷載形式下，飽和土固相與流相參數(shù)對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響。以上學(xué)者的研究均是基于襯砌與飽和土介質(zhì)完全黏結(jié)假設(shè)下完成的，然而實(shí)際工程中，由于不均勻沉降、隧道開(kāi)挖等原因，襯砌外邊界和周?chē)馏w的接觸并不是完全黏結(jié)的，而是存在一定的空隙，會(huì)對(duì)隧道的動(dòng)力響應(yīng)產(chǎn)生影響。

此前已有一些學(xué)者采用不完美黏結(jié)邊界對(duì)襯砌與土體的非均勻接觸進(jìn)行模擬，不完美黏結(jié)邊界的基本原理是在襯砌與土體之間引入一層彈簧-黏壺單元，均一化的描述由于襯砌-土體脫開(kāi)等原因造成的接觸界面上的弱化。Fang等[14]引入彈性邊界模型，研究了巖石介質(zhì)中，兩個(gè)相鄰圓形襯砌隧道之間的相互作用；Yi等[15-16]引入彈性邊界模型，研究了圓柱形入射P波的頻率和波源與隧道之間的距離等因素對(duì)巖石和襯砌的動(dòng)態(tài)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)的影響，以及平面入射P波下，巖石與襯砌的硬度比對(duì)巖石與襯砌的動(dòng)態(tài)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)的影響；Fang等[17-18]引入帶有剛度系數(shù)和黏性系數(shù)的黏彈性邊界模型，研究了入射波為P波，SV波情況下，不同入射波頻和不同邊界系數(shù)下非圓柱形隧道的界面響應(yīng)；Seyyed等[19]研究了移動(dòng)環(huán)荷載下，不完美黏結(jié)邊界對(duì)飽和土中圓形襯砌隧道軸對(duì)稱(chēng)彈性動(dòng)力響應(yīng)的影響。以上多針對(duì)波場(chǎng)入射和移動(dòng)荷載作用下的穩(wěn)態(tài)問(wèn)題進(jìn)行研究，尚未有關(guān)于瞬態(tài)荷載作用下襯砌與土體非均勻接觸對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)影響的研究。筆者基于Biot理論[20]，運(yùn)用Laplace變換推導(dǎo)飽和土與襯砌的控制方程，通過(guò)在襯砌與飽和土接觸界面引入黏彈性邊界模型[21]，即襯砌與土體通過(guò)線(xiàn)性彈簧和阻尼器并聯(lián)相接，在襯砌與土體相接界面施加應(yīng)力連續(xù)、位移不連續(xù)邊界條件，進(jìn)而考慮了由于襯砌-土體脫開(kāi)等原因造成的接觸界面上的弱化，并通過(guò)徑向剛度系數(shù)Kr和阻尼系數(shù)Cr描述該黏彈性邊界的力學(xué)特征。根據(jù)邊界條件和控制方程，求解了各個(gè)表達(dá)式中的待定系數(shù)。最后討論3 種瞬態(tài)荷載形式下黏彈性邊界上不同徑向剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 計(jì)算模型

飽和土體中一半徑為r，襯砌厚度為h的隧道，隧道內(nèi)部作用一瞬態(tài)荷載，考慮3 種瞬態(tài)荷載形式：突加荷載、階躍荷載、三角脈沖荷載，其中突加荷載可對(duì)應(yīng)于實(shí)際工程應(yīng)用中的隧道水力壓裂，階躍荷載對(duì)應(yīng)于隧道的開(kāi)挖掘進(jìn)，三角脈沖荷載常對(duì)應(yīng)于隧道內(nèi)部的爆炸。飽和土體與襯砌外邊界處為黏彈性邊界，計(jì)算模型如圖1所示，荷載形式如圖2所示。

圖1 計(jì)算模型Fig.1 Geometric model

圖2 瞬態(tài)荷載Fig.2 Transient loadings

2 飽和土與襯砌的控制方程及求解

2.1 飽和土控制方程具體求解過(guò)程

根據(jù)Biot波動(dòng)原理，飽和土的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

流體的運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

幾何方程為

(3)

本構(gòu)關(guān)系為

σr=λe+2Gεr-(1-n)σf

(4)

σθ=λe+2Gεθ-(1-n)σf

(5)

-nσf=(1-n)kfe+nkfξ

(6)

由式(1～6)可得飽和土體控制方程分別為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(11)進(jìn)行Laplace變換后，可得

(12)

(13)

由式(12，13)可得

(14)

(15)

將式(14)分解可得

(16)

(17)

其中

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，式(16，17)的通解為

(18)

(19)

(20)

(21)

將式(20，21)代入式(12，13)可得

Ci=αiBi

(22)

根據(jù)位移應(yīng)力與勢(shì)函數(shù)的關(guān)系以及虛宗量貝塞爾函數(shù)的遞推公式，可得飽和土Laplace變換域內(nèi)表達(dá)式為

(23)

(24)

(25)

2.2 襯砌控制方程具體求解過(guò)程

將襯砌視為彈性介質(zhì)，幾何方程為

(26)

本構(gòu)方程為

σc=(λc+2Gc)εr+λcεθ

(27)

控制方程為

(28)

(29)

代入式(28)可得控制方程為

(30)

對(duì)式(30)進(jìn)行Laplace變換可得

(31)

(32)

式中：AL，BL為待定系數(shù)。根據(jù)位移和應(yīng)力與勢(shì)函數(shù)的關(guān)系為

(33)

(34)

再根據(jù)虛宗量貝塞爾函數(shù)的遞推公式，可得襯砌Laplace變換域內(nèi)表達(dá)式為

(35)

(36)

3 邊界條件

根據(jù)文獻(xiàn)[18，21]，在襯砌外邊界上，引入與時(shí)間相關(guān)的黏彈性邊界模型，假設(shè)襯砌與土體通過(guò)線(xiàn)性彈簧和阻尼器并聯(lián)相接，在襯砌與土體相接界面施加應(yīng)力連續(xù)，位移不連續(xù)邊界條件。可得襯砌內(nèi)邊界上為

σc=-f(t)

(37)

黏彈性邊界上為

ur=wr

(38)

σr=σc

(39)

(40)

式中：Kr，Cr分別為黏彈性邊界模型線(xiàn)性彈簧的剛度和阻尼器的阻尼系數(shù)。瞬態(tài)荷載形式經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換后，可得突加荷載為

f(s)=f0/s

階躍荷載為

f(s)=(1-e-s)f0/s2

三角脈沖荷載為

f(s)=(1-e-s)2f0/s2

由式(37～40)可得待定系數(shù)為

(41)

AL=(-f(S)-D2BL)/C2

(42)

B1=((C2D-CD2)BL-
Cf(s))/(C2E2)

(43)

B2=BB1

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

C3=kLI1((R+h)kL)

(52)

D3=kLK1((R+h)kL)

(53)

E1=β1K1((R+h)β1)+
Bβ2K1((R+h)β2)

(54)

E2=C1+D1B

(55)

F=C+C3(Kr+sCr)

(56)

J=D-D3Kr+C3sCr

(57)

H=-E1(Kr+sCr)

(58)

求得待定系數(shù)后，回代到式(23～25，35，36)，可得位移和應(yīng)力在變換域中的解。

4 數(shù)值算例分析

4.1 算例驗(yàn)證

采用Durbin[22]的Laplace數(shù)值逆變換方法計(jì)算應(yīng)力和位移在時(shí)域中的解，其表達(dá)式為

(59)

當(dāng)aT為5～10，N為50～5 000時(shí)，數(shù)值驗(yàn)算結(jié)果更收斂，因此取a=0.5，T=20，N=2 000進(jìn)行計(jì)算。

由文獻(xiàn)[16]可知：當(dāng)Kr→∞,Cr→0，黏彈性邊界退化為完美黏結(jié)邊界，因此取退化后的黏彈性邊界參數(shù)(Kr=1030，Cr=0[14])以及完美黏結(jié)邊界條件進(jìn)行算例對(duì)比驗(yàn)證，以突加荷載作用為例，完美黏結(jié)邊界條件參考文獻(xiàn)[21]。土體與襯砌計(jì)算參數(shù)如下：土體泊松比μ=0.3，土體剪切模量G=2×107Pa，土骨架密度ρs=2 500 kg/m3，土體阻尼系數(shù)Ct=3×105N/(m·s)，孔隙率n=0.3，土體彈性模量Et=5.2×107Pa，襯砌密度ρc=2 800 kg/m3，動(dòng)力滲透系數(shù)kd=10-10m/s，襯砌泊松比μc=0.2，襯砌厚度h=0.3 m，襯砌剪切模量Gc=2×108Pa，流體密度ρf=1 000 kg/m3，體積模量kf=2×109Pa，襯砌阻尼系數(shù)Cc=2.5×107N/(m·s)，動(dòng)力黏滯系數(shù)η=0.001 Pa·s，襯砌彈性模量Ec=4.8×108Pa，附加質(zhì)量密度ρa(bǔ)=150 kg/m3，荷載參數(shù)f0=5×106Pa。半徑R=6 m，計(jì)算突加荷載下飽和土體與襯砌的徑向位移和應(yīng)力。由圖3，4可知：當(dāng)Kr=1030，Cr=0，黏彈性邊界條件與完美黏結(jié)邊界條件曲線(xiàn)完全重合，從而驗(yàn)證了筆者解答的正確性。

圖3 土體徑向位移ur對(duì)比Fig.3 Comparison of soil radial displacement

圖4 土體徑向應(yīng)力σr對(duì)比Fig.4 Comparison of soil radial stress

4.2 Kr，Cr對(duì)位移響應(yīng)的影響

當(dāng)Kr→∞，Cr→0，黏彈性邊界表示完美黏結(jié)邊界，當(dāng)Kr→0，Cr→∞，黏彈性邊界表示完全松散邊界。結(jié)合實(shí)際工程情況，真實(shí)的襯砌與周?chē)馏w接觸界面處于這兩者之間。參考文獻(xiàn)[16，23-24]，取Kr為0.01Et(R+h)，0.1Et(R+h)，Et(R+h)；Cr為0.01Ct，0.1Ct，Ct。研究不同Kr，Cr值對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響。

在黏彈性邊界上取一觀察點(diǎn)，為方便觀察動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程前期的影響，突加荷載下算例的響應(yīng)時(shí)間取至1 s，階躍荷載和三角脈沖荷載下算例的響應(yīng)時(shí)間取至5 s。首先研究剛度系數(shù)對(duì)土體徑向位移的影響，取Cr為0.1Ct，Kr為0.01Et(R+h)，0.1Et(R+h)，Et(R+h)。由圖5可知：3 種荷載下，Kr越大，土體徑向位移峰值越大，這是因?yàn)楫?dāng)Kr越大，黏彈性界面上荷載傳遞更加充分，從而在周?chē)馏w中引起更大的徑向位移響應(yīng)；突加荷載下，在荷載施加的初始階段，土體中觀察到了波動(dòng)的傳播，土體徑向位移曲線(xiàn)呈振蕩衰減形式，隨后由于荷載輸入形式的影響，曲線(xiàn)快速趨于穩(wěn)定。階躍荷載和三角脈沖荷載下，曲線(xiàn)規(guī)律符合荷載輸入形式，在荷載達(dá)到最大值時(shí)位移達(dá)到峰值，最終位移趨于穩(wěn)定。由Kr=0.1Et(R+h)和Kr=Et(R+h)兩條位移曲線(xiàn)可知：隨著Kr的增大，剛度系數(shù)的作用在減弱。3 種瞬態(tài)荷載峰值相同的情況下，突加荷載下土體徑向位移峰值最大，階躍荷載和三角脈沖荷載下位移峰值相差不大。

圖5 Kr對(duì)土體徑向位移的影響Fig.5 Effect on the soil radial displacement of Kr

圖6研究了阻尼系數(shù)對(duì)土體徑向位移的影響，取Kr為0.1Et(R+h)；Cr為0.01Ct，0.1Ct，Ct。由圖6可知：3 種荷載作用下，阻尼系數(shù)對(duì)土體徑向位移響應(yīng)的影響較小，這是因?yàn)楣P者研究的瞬態(tài)荷載傳遞主要是在徑向，剛度系數(shù)作為力傳遞的主要影響因素起到了決定性的作用。

圖6 Cr對(duì)土體徑向位移的影響Fig.6 Effect on the soil radial displacement of Cr

圖7研究了剛度系數(shù)對(duì)襯砌徑向位移的影響，取Cr為0.1Ct；Kr為0.01Et(R+h)，0.1Et(R+h)，Et(R+h)。由圖7可知：3 種荷載作用下，Kr越大，襯砌徑向位移峰值越小，這是由于當(dāng)Kr越大時(shí)，襯砌與土體接觸越緊密，有更多的能量經(jīng)由黏彈性界面?zhèn)鬟f到周邊土體中，從而引起的襯砌位移響應(yīng)越小，這也表明當(dāng)考慮襯砌與土體接觸界面的弱化時(shí)，襯砌與土體位移連續(xù)的基本假設(shè)不再成立。筆者模型為考慮瞬態(tài)荷載作用下襯砌與周?chē)馏w相互作用對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響提供了新的思路。3 種荷載下，襯砌徑向位移曲線(xiàn)規(guī)律和土體徑向位移曲線(xiàn)規(guī)律一致。由于阻尼系數(shù)襯砌徑向位移的影響較小，且與圖6所得出的結(jié)論基本一致，此處就不再展示阻尼系數(shù)對(duì)襯砌徑向位移的影響結(jié)果。

圖7 Kr對(duì)襯砌徑向位移的影響Fig.7 Effect on the lining radial displacement of Kr

4.3 Kr對(duì)應(yīng)力響應(yīng)的影響

由黏彈性邊界模型可知，假設(shè)襯砌與土體通過(guò)線(xiàn)性彈簧和阻尼器并聯(lián)相接，在襯砌與飽和土體接觸界面位移不連續(xù)，但應(yīng)力連續(xù)(σr=σc)，因此在黏彈性邊界上取一觀察點(diǎn)，土體徑向應(yīng)力與襯砌徑向應(yīng)力相等。研究剛度系數(shù)對(duì)土體(襯砌)徑向應(yīng)力的影響，取Cr為0.1Ct；Kr為0.01Et(R+h)，0.1Et(R+h)，Et(R+h)。由圖8可知：3 種荷載作用下，Kr越大，土體(襯砌)徑向應(yīng)力峰值越大，這是因?yàn)楫?dāng)Kr越大，黏彈性界面荷載傳遞更加充分，從而對(duì)土體(襯砌)產(chǎn)生更大的徑向應(yīng)力響應(yīng)，這也更加直觀地體現(xiàn)了黏彈性界面上的力傳遞。由于阻尼系數(shù)對(duì)土體(襯砌)徑向應(yīng)力的影響較小，此處不再展示阻尼系數(shù)對(duì)土體(襯砌)徑向應(yīng)力的影響結(jié)果。

圖8 Kr對(duì)土體(襯砌)徑向應(yīng)力的影響Fig.8 Effect on the soil (lining) stress of Kr

4.4 觀察點(diǎn)距離對(duì)土體位移響應(yīng)的影響

由4.2，4.3節(jié)可知：阻尼系數(shù)Cr對(duì)土體徑向位移影響較小，因此本節(jié)僅研究了Kr值對(duì)土體徑向位移隨觀察點(diǎn)距離變化的影響。設(shè)觀察點(diǎn)到隧道中心的距離為Z，取Cr為0.1Ct；Kr為0.01Et(R+h)，0.1Et(R+h)，Et(R+h)，計(jì)算每個(gè)觀察點(diǎn)隨時(shí)間變化的土體徑向位移峰值，以Z為橫坐標(biāo)，畫(huà)出3 種荷載作用下，土體徑向位移隨觀察點(diǎn)距離變化的曲線(xiàn)。由圖9可知：當(dāng)觀察點(diǎn)離隧道中心越遠(yuǎn)，土體徑向位移幅值越小，位移幅值衰減速度越慢，這是因?yàn)楫?dāng)觀察點(diǎn)離隧道中心越遠(yuǎn)時(shí)，傳遞到觀察點(diǎn)的能量越少，引起的位移響應(yīng)就越小，從而位移幅值衰減速度越慢；隨著Z的增大，突加荷載下，位移幅值最大，位移幅值衰減速度最快，階躍荷載與三角脈沖荷載下，位移幅值曲線(xiàn)非常接近；3 種荷載下，Kr越大，土體徑向位移幅值越大，這與圖5得出的結(jié)論相符。

圖9 Z對(duì)土體徑向位移的影響Fig.9 Effect on the soil radial displacement of Z

6 結(jié) 論

根據(jù)Biot波動(dòng)理論，采用Laplace變換以及數(shù)值逆變換方法，計(jì)算了瞬態(tài)荷載作用下黏彈性邊界對(duì)圓柱形襯砌隧道的動(dòng)力響應(yīng)，討論了徑向剛度系數(shù)Kr與阻尼系數(shù)Cr對(duì)飽和土體與襯砌位移、應(yīng)力的影響。得出以下結(jié)論：1) 3 種瞬態(tài)荷載作用下，剛度系數(shù)對(duì)土體與襯砌的徑向位移、應(yīng)力影響較大，且剛度系數(shù)越大，飽和土體徑向位移峰值越大，襯砌徑向位移峰值越小，飽和土體與襯砌徑向應(yīng)力峰值越大；2) 阻尼系數(shù)對(duì)土體與襯砌的徑向位移、應(yīng)力影響較小；3) 3 種瞬態(tài)荷載作用下，隨著剛度系數(shù)的增大，土體徑向位移峰值增大，襯砌徑向位移峰值減小，這也表明當(dāng)考慮襯砌與土體接觸界面的弱化時(shí)，襯砌與土體位移連續(xù)的基本假設(shè)不再成立，筆者模型為考慮瞬態(tài)荷載作用下襯砌與周?chē)馏w相互作用對(duì)隧道動(dòng)力響應(yīng)的影響提供了新的思路；4) 3 種瞬態(tài)荷載峰值相同時(shí)，突加荷載下，土體與襯砌徑向位移、應(yīng)力峰值最大，階躍荷載和三角脈沖荷載下，土體與襯砌徑向位移、應(yīng)力峰值相差不大，徑向位移和應(yīng)力的曲線(xiàn)輸出與荷載輸入形態(tài)一致；5) 土體徑向位移幅值隨觀察點(diǎn)到隧道中心距離的增大而減小，突加荷載下，位移幅值衰減速度最快，階躍荷載與三角脈沖荷載下，位移幅值曲線(xiàn)非常接近。