高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限的幾何解釋教學(xué)設(shè)計(jì)

袁冬芳 曹富軍

[摘 要] 針對(duì)數(shù)列極限概念的抽象性和重要性，從幾何視角出發(fā)形象化、具體化理解代數(shù)概念，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題的能力。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列極限;幾何解釋;數(shù)學(xué)思想方法

[基金項(xiàng)目] 2017年度內(nèi)蒙古科技大學(xué)教改重點(diǎn)項(xiàng)目“在線課程開發(fā)模式下高等數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育的深度改革”（JY2017012）

[作者簡(jiǎn)介] 袁冬芳（1985—），女，寧夏平羅人，碩士，內(nèi)蒙古科技大學(xué)理學(xué)院副教授，主要從事數(shù)據(jù)分析與建模研究;曹富軍（1984—），男，寧夏中寧人，博士，內(nèi)蒙古科技大學(xué)理學(xué)院副教授，主要從事偏微分方程數(shù)值解法研究。

[中圖分類號(hào)] G424 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）36-0282-02 ? ?[收稿日期] 2020-03-02

數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)不僅僅是完成知識(shí)的繼承，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問題的能力[1]。因此，如何更形象、更充分地解釋代數(shù)概念所反映的關(guān)系，深入挖掘數(shù)學(xué)概念所蘊(yùn)含的幾何解釋，提升學(xué)生對(duì)抽象概念的理解和認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)應(yīng)用的意識(shí)和能力具有重要意義。

如果說初等數(shù)學(xué)研究的是常量數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)則主要研究的是變量數(shù)學(xué)，而極限的思想與方法則建立起了常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)之間的橋梁，如何將學(xué)生們固有的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行合理的過渡，是高數(shù)教學(xué)亟待解決的問題。極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和基本組成部分，同時(shí)是區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志，伴隨著微積分的建立，在高等數(shù)學(xué)的舞臺(tái)上扮演著一個(gè)極其重要的角色，貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程之中，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級(jí)數(shù)的收斂性等定義都建立在極限的基礎(chǔ)上[2]。因此，極限在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到了十分重要的作用，對(duì)極限概念的理解將影響整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。本文從幾何意義角度闡述數(shù)列極限概念，希望加強(qiáng)學(xué)習(xí)者對(duì)此概念的深刻理解。

本次課以數(shù)列極限的幾何解釋為重點(diǎn)授課內(nèi)容，在此之前學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的思想和定義，旨在通過本次課幫助學(xué)生深刻理解數(shù)列極限的準(zhǔn)確定義。首先，回顧數(shù)列極限的思想和準(zhǔn)確定義。其次，通過數(shù)軸上的點(diǎn)、割圓術(shù)計(jì)算圓周率、二分法求方程的根以及特殊數(shù)列極限的變化規(guī)律幾個(gè)不同角度形象化展示數(shù)列極限的精確定義。最后，根據(jù)幾何解釋進(jìn)一步總結(jié)對(duì)數(shù)列極限的認(rèn)識(shí)。可以發(fā)現(xiàn)，這樣的認(rèn)識(shí)不但讓學(xué)生理解了晦澀難懂的ε-N定義，同時(shí)拓展了學(xué)生的思維，了解到數(shù)列極限的實(shí)用性。

一、數(shù)列極限的“ε-N”定義

（一）古代數(shù)列極限的思想

借鑒《莊子·天下篇》中對(duì)“截丈問題”的一句名言，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”體會(huì)一個(gè)無限變化數(shù)列歸于零的過程，引出數(shù)列極限的準(zhǔn)確定義。

（二）數(shù)列極限的準(zhǔn)確定義

通過對(duì)以上六點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，相信同學(xué)們對(duì)數(shù)列極限的定義會(huì)有一個(gè)全面而系統(tǒng)的理解，這對(duì)于后期的學(xué)習(xí)將是非常有利的。同時(shí)，通過割圓術(shù)求圓周率和二分法求方程的根的理解，拓展了同學(xué)們對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]暢娜麗，聶立川，劉瑞英.由數(shù)學(xué)概念的幾何意義談數(shù)學(xué)概念的學(xué)與教[J].高等數(shù)學(xué)研究，2008，11（2）：43-45.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].（第七版）北京：高等教育出版社，2014：7.