核心素養(yǎng)觀下的解分式方程教學(xué)設(shè)計(jì)

周宇劍 唐耀平 蔣桃燕

[摘 要] 由生活實(shí)例引出解分式方程，感受模型思想，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。引導(dǎo)探究增根及其產(chǎn)生的原因，理解檢驗(yàn)的必要性。介紹相關(guān)數(shù)學(xué)史，滲透數(shù)學(xué)文化，適時(shí)歸納思路與方法及步驟，提升學(xué)生的歸納能力和思維能力。

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);解分式方程;教學(xué)設(shè)計(jì)

[基金項(xiàng)目] 2019年湖南省普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目“專(zhuān)業(yè)認(rèn)證背景下師范生培養(yǎng)模式構(gòu)建與實(shí)踐”（湘教通[2019]291號(hào)No.854）;2018年湖南科技學(xué)院應(yīng)用特色學(xué)科項(xiàng)目資助——數(shù)學(xué)、教育學(xué)（湘科院校發(fā)[2018]83號(hào)）

[作者簡(jiǎn)介] 周宇劍（1973—），女，湖南祁陽(yáng)人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究;唐耀平（1973—），男，湖南永州人，教授，理學(xué)院院長(zhǎng)，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G642.0 ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A ? ?[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）36-0315-02 ? ?[收稿日期] 2019-12-26

本文對(duì)解分式方程及增根產(chǎn)生的原因進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

一、教材分析

解分式方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)分式概念、分式的加減乘除的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)的內(nèi)容。主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，著重培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)。

二、學(xué)情分析

學(xué)生思維活躍，對(duì)新鮮事物充滿(mǎn)好奇心，學(xué)習(xí)興趣濃厚，具有強(qiáng)烈的探究欲。此前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)分式、分式的乘除、分式的加減以及含分母的一元一次方程的解法，但邏輯思維比較薄弱。

三、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能目標(biāo)

會(huì)解簡(jiǎn)單的可化為一元一次方程的分式方程;掌握解分式方程驗(yàn)根的方法。

（二）數(shù)學(xué)思考目標(biāo)

將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程從而求解，滲透轉(zhuǎn)化思想;理解增根產(chǎn)生的原因以及解分式方程要檢驗(yàn)的道理。

（三）問(wèn)題解決目標(biāo)

初步學(xué)會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中，用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

（四）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

通過(guò)創(chuàng)設(shè)具體情境，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、交流，解決實(shí)際問(wèn)題，豐富數(shù)學(xué)課堂的成功體驗(yàn)，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

四、教學(xué)過(guò)程片段

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

一艘輪船在靜水中的最大航速為30km/h，它以最大航速沿江順流航行90km所用時(shí)間，與以最大航速逆流航行60km所用時(shí)間相等，江水的流速為多少？

我們知道，像這樣的分母中含有字母的方程叫作分式方程。怎樣求出這個(gè)分式方程的解呢？這節(jié)課我們一起來(lái)探討解分式方程。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境，列出分式方程，樹(shù)立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（二）合作交流、探索新知

1.解分式方程。

想一想：如何解含有分母的一元一次方程？

將方程兩邊同時(shí)乘以分母的最小公倍數(shù)而達(dá)到去分母的目的。

思考：那么分式方程可不可以也先去分母，如果可以的話又怎么去分母？

獨(dú)立思考后小組交流。教師巡視課堂，幫助有困難的小組或同學(xué)。至少達(dá)成以下共識(shí)：①分式方程也可以去分母，就是找各分母的最簡(jiǎn)公分母，方程兩邊同時(shí)乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母;②去分母后，分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程。通過(guò)求解整式方程能夠求解分式方程。

師生共析方程的最簡(jiǎn)公分母為（30+v）（30-v）

去分母后得到整式方程90（30-v）=60（30+v）

求解整式方程，得到v=6。（暫不講檢驗(yàn)）

設(shè)計(jì)意圖：類(lèi)比解含有分母的一元一次方程的方法，讓學(xué)生通過(guò)自主探索、合作交流的方式探究出解分式方程的方法。提高學(xué)生的自信心與主動(dòng)獲得知識(shí)的意識(shí)。但若接著講檢驗(yàn)的話，由于該分式方程沒(méi)有增根，體現(xiàn)不出檢驗(yàn)的重要性，反而讓學(xué)生覺(jué)得突兀，不好理解，故暫且將檢驗(yàn)這個(gè)步驟擱置。

2.發(fā)現(xiàn)增根。

解分式方程去分母時(shí)，方程兩邊要乘以最簡(jiǎn)公分母。方程（1）去分母后，得到的整式方程的解是v=6，此時(shí)（30+v）（30-v）≠0，即去分母時(shí)，方程1兩邊同乘以一個(gè)不為0的式子，因此所得整式方程的解與方程1的解相同。

方程2去分母后，得到的整式方程的解是v=30，此時(shí)（30+v）（30-v）=0，即去分母時(shí)，方程2兩邊同乘以了一個(gè)等于0的式子，這時(shí)所得整式方程的解使方程2出現(xiàn)分母為0的現(xiàn)象，故這個(gè)解就不是方程2的解。

升華：由解兩個(gè)分式方程，最簡(jiǎn)公分母都相同，可是一個(gè)未知數(shù)的值是原方程的解，而另一個(gè)值卻不是原方程的解。生活中很多事物也是如此，我們觀察事物需要究其本性，不可被表面現(xiàn)象所迷惑。

增根的概念及產(chǎn)生的原因分析：解分式方程時(shí)，把分式方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，若求得的整式方程的解使最簡(jiǎn)公分母的值為0，那么它不是原分式方程的根，稱(chēng)它為原方程的增根。產(chǎn)生增根的原因：分式方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，方程的兩邊可能會(huì)同乘了一個(gè)使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍。因而不能確保原分式方程與之后的整式方程是同解的。

3.檢驗(yàn)。由于解分式方程有可能會(huì)出現(xiàn)增根，所以解分式方程時(shí)需要檢驗(yàn)。如何檢驗(yàn)才是最簡(jiǎn)便的？在理解增根產(chǎn)生的原因后，就明白檢驗(yàn)就是驗(yàn)證“去分母”這一步是否滿(mǎn)足同解原理，從而確認(rèn)檢驗(yàn)只要代入最簡(jiǎn)公分母即可。

4.師生共同完成解答過(guò)程后介紹分式方程及其增根的研究歷史。

5.歸納。

（1）解分式方程的一般方法：通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程求解。

（2）解分式方程的步驟三字口訣：一轉(zhuǎn)化、二求解、三檢驗(yàn)。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在參與分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)增根，并理解增根產(chǎn)生的原因，從而明白解分式方程必須要檢驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的推理能力。接著引導(dǎo)學(xué)生在思考中領(lǐng)會(huì)檢驗(yàn)的要點(diǎn)，有利于記憶。借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生感悟生活中觀察事物需要究其本性，適時(shí)介紹分式方程及其增根的研究史，滲透數(shù)學(xué)文化，達(dá)到立德樹(shù)人的目的。

本教學(xué)設(shè)計(jì)由生活實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生列出分式方程，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性的同時(shí)引出分式方程的求解問(wèn)題，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的優(yōu)越后，引導(dǎo)學(xué)生剖析增根產(chǎn)生的原因，明白檢驗(yàn)的重要性。該設(shè)計(jì)體現(xiàn)發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)、符號(hào)意識(shí)，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)運(yùn)算能力和推理能力，符合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)和立德樹(shù)人的要求。