基于Python與ANSYS的達芬方程計算程序

盛慶軻 梁海琴

摘要：達芬方程作為典型的非線性振動方程，可以直觀地用來說明與線性振動的區別。分別采用有限元程序ANSYS和編程語言Python對達芬方程進行求解。針對ANSYS界面操作效率低、數據后處理能力不足等問題。以PyQt5為平臺，封裝ANSYS和Python的求解以及數據處理過程，并制定可視化操作界面。程序包含達芬方程參數輸入、ANSYS計算、Python計算和數據后處理四個功能。以多組系統參數為例，使用該程序計算達芬方程，計算結果表現了非線性振動中初值影響、多穩態解和諧波響應運動特性。

關鍵詞：達芬方程;非線性振動;有限元;可視化設計

中圖分類號：TP391.9 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2020）08-0076-04

0 引言

機載設備往往由多個零部件構成，隨著科學技術的迅速發展，零件自身的復雜性和連接關系也趨于復雜。目前對于機載設備的振動強度主要采用有限元軟件進行計算校核，然而有限元的振動計算是基于小變形線性理論。當結構簡單、振幅較小、連接關系變化不大時，按線性理論是計算可以得到較為滿意的結果[1]。

一切力學問題在本質上都屬于非線性問題。對于非線性系統，響應和輸出之間并不是線性關系，按照線性理論計算得到的結果精度可能不足，甚至導致本質上的錯誤。非線性振動會出現幅頻曲線彎曲、諧波、分岔混沌共振等線性振動不存在的現象[2]。在非線性振動振動理論研究中，具有代表性的方程有達芬方程、Van-der-Pol方程等[3]。

達芬方程對應的動力學表達式如式（1）所示，也稱為達芬系統，其中剛度包含立方項。

（1）

其中：x代表位移，m代表質量，c代表阻尼，k1代表線性剛度，k2代表非線性剛度，f（t）代表外載荷。

ANSYS的腳本語言APDL能夠實現有限元模型的參數化建模計算功能，但其可視化程度較低，一般基于其他編程語言對其進行二次界面開發。Python是一種面向對象的動態解釋型語言，應用領域廣泛[4]。Qt是由C++語言編寫的跨平臺GUI庫，PyQt5則是將Python語言與Qt融合，具有Python開發效率高的特點[5]。

本文以PyQt5為平臺，基于Python對ANSYS求解達芬方程的過程進行封裝并設計可視化操作程序，同時加入了基于Python科學計算庫的達芬方程計算和結果顯示功能。

1 計算程序的功能設計

達芬方程計算程序主要包含四個功能，分別是參數輸入、提交ANSYS計算、提交Python計算和結果顯示模塊。由于Python語言自身的特點，許多功能的實現需要引用Python標準庫和第三方庫。程序的總體設計框圖如圖1所示。

（1）參數輸入包括質量系數、阻尼系數、剛度線性系數和立方項系數、載荷幅值和頻率、初始位移和速度、求解時間和步長。（2）提交ANSYS計算前提是用戶電腦需要裝有ANSYS軟件，然后設置ANSYS.exe的啟動位置、工作目錄和APDL文件名即可，程序會在指定目錄下生成文件并且調用ANSYS主程序進行求解。（3）提交Python計算只需前面的參數輸入完畢后，利用Python科學計算庫求解即可。（4）對于非線性微分方程，一般很難找到精確的解析解，大都是從定性和定量兩個方向來研究。相平面法[6]是常用的定性方法之一，它是描述系統速度與位移的對應關系，可以直接判斷方程解的平衡性、周期性和穩定性等。

1.1 基于Python實現ANSYS二次開發

利用Python對ANSYS二次開發的主要過程分為提取界面輸出參數及相關信息、生成指定參數下的APDL文件和提交ANSYS計算。

1.1.1 APDL命令流文件的生成

在APDL建模命令流之前引入相關的參數化變量，然后對該字符串進行正確的格式化，即可得到特定輸入下特定的ADPL文件。

本文編寫的APDL腳本程序主要采用質量單元mass21和非線性彈簧單元combin39，分析類型為瞬態非線性，根據初始條件中的位移和速度是否為0，生成不同的APDL命令流以模擬相應的初始條件。

1.1.2 Python調用ANSYS程序

首先在計算程序設置APDL文件的存儲位置和文件名稱，程序即可在指定目錄下生成2.1中描述的APDL文件，主要代碼如下所示：

file = str #獲取存儲位置的絕對路徑

with open （file，） as f：? #打開文件

f.write（s）? #寫入2.1中的字符串

接下來需要設置啟動ANSYS.exe的路徑，依次生成執行批處理的Python文件。在Python中采用OS標準庫完成系統操作，并且依據OS庫執行的接口可以實現跨平臺訪問。生成批處理文件的代碼如下所示：

最后再利用os.system命令運行上述的批處理文件，即可完成Python對ANSYS的調用計算。

1.2 提交Python計算

當達芬方程的系統參數和求解參數輸入完成后，即可提交Python進行求解。整個過程基于Python的科學計算庫[7]Numpy和Scipy，求解達芬方程采用Scipy庫的odeint函數，該函數是基于龍格-庫塔算法編寫的。

1.3 結果顯示

達芬方程計算程序的結果顯示功能是基于Python科學計算庫Matplotlib完成的，通過讀取ANSYS和Python的計算結果進行顯示。

2 可視化界面設計

達芬方程計算程序的界面設計基于Python的第三方庫—PyQt5，基于PyQt5的界面與邏輯分離方法，利用Qt Designer設計程序頁面，主程序編寫各控件的功能以及相互之間的信號傳遞函數等實現整個程序的開發，最終效果如圖2和圖3所示。

（1）達芬方程參數輸入。參數輸入采用Qt內置的Qline Edit本文輸入框來接收，并添加了數據檢測功能。（2）ANSYS計算?？紤]到ANSYS計算達芬方程是一個瞬態非線性分析類型，計算步長會計算結果的收斂性和時長影響較大，程序能夠根據用戶輸入的達芬方程參數給出一個范圍供用戶選擇;為了能夠合理地利用計算機資源，程序會基于Psutil庫獲取CPU的邏輯個數，給出范圍供用戶選擇。這兩個功能都調用QSlider滑動條類完成。（3）Python計算。這部分由一個QButton按鈕類和QLabel標簽類組成，當提交Python計算完成時，標簽將會顯示“計算完成”。（4）結果顯示。在PyQt5中引入Matplotlib庫實現對計算結果的查看。并采用QtableView表格類讀取達芬方程的時域計算結果，并提供保存功能，可對結果進行更深入的分析與繪制圖形。

3 實例分析

本節以具體數據為例，利用本程序計算達芬方程并根據結果描述非線性振動的一些特點。

受迫振動是指系統在周期性的外力作用下所發生的的振動。以表1所示的三組方程參數為例，說明達芬系統受迫振動的一些特點，計算受迫振動時需要一定的計算時長，可根據響應曲線大致判斷響應的穩定性。

對于線性振動，受迫振動響應必然是與載荷相同頻率的簡諧運動。當系統本身和載荷參數確定后，系統的振動響應就已確定，響應幅A值與載荷頻率呈現一一對應的關系。

系統2-1的計算結果如圖4所示，可以看出當初始位移不同時，達芬方程受迫振動的幅值可能不同。即達芬系統的響應幅值與頻率不再呈現一一對應關系，這是非線性振動的多穩定解現象。

系統2-2的計算結果如圖4所示，可以看出當初始位移為1或3時（這兩者的差異是由于初值不同造成的相位差導致），幅值不僅與初值為5不同，而且已經不再是簡諧運動。

取初始位移等于1和5，進一步查看系統2-2穩態階段的相平面圖，如圖5所示。從相平面圖中可以看出初始位移為1時相軌跡已經從橢圓發生了畸變，這是非線性振動的諧波現象。

4 結論

（1）以非線性振動方程—達芬方程為研究對象，基于有限元程序ANSYS和編程語言Python編寫了可視化計算程序。該程序能夠快速的完成不同參數下達芬方程的求解與結果顯示，降低了軟件使用難度并提高分析效率。（2）介紹了基于Python語言對ANSYS二次開發的主要步驟，以及該程序的主要功能和結構。（3）以具體參數為例，說明非線性振動與線性振動的區別，包括初值影響、多穩定解和諧波運動。

參考文獻

[1] 黃安基.非線性振動[M].成都：西南交通大學出版社，1993.

[2] 王海波.Duffing方程非線性振動特性的計算與分析[D].西安：西安建筑科技大學，2009.

[3] 許磊，陸明萬，曹慶杰.Van der Pol-Duffing方程的非線性動力學分叉特性研究[J].應用力學學報，2002（4）：130-133+168.

[4] 蔡敏.Python語言的Web開發應用分析[J].無線互聯科技，2019，16（04）：27-28.

[5] Pina-Martins F，Paulo O S.Ncbi mass sequence downloader–large dataset downloading made easy[J].SoftwareX，2016（5）：80-83.

[6] 張立軍，曾慶東，劉志平.機械工程中常見振動的相平面分析[J].機械設計與制造，2000（1）：32-33.

[7] 姚建盛，李淑梅.Python在科學計算中的應用[J].數字技術與應用，2016（11）：76.