三角形在圓錐曲線中的地位和作用

吳俊威

摘要：圓錐曲線是高考的重要考查部分，而三角形在圓錐曲線中無處不在，善于運用三角形的有關性質、定理來解決圓錐曲線的有關問題，有時能夠快速的、高效的解決圓錐曲線問題，達到事半功倍的目的。

關鍵詞：三角形;圓錐曲線;性質定理;核心素養

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）16-092-2

眾所周知，圓錐曲線是解析幾何的重要部分，在高考中占有較大的分量，解析幾何是數與形的結合，可以用坐標表示圖形，用坐標的運算解決圖形的運算，但這并不代表所有的問題都可以用坐標的運算解決，有些同學在解題的過程中不注意分析圖形特點，不管什么問題都喜歡用設點、設直線等的方法，用坐標的方法解決問題，這樣有些會越算越復雜，最后解決不了問題。而事實上很多圓錐曲線問題用坐標運算并不簡單，而是要分析題目，有些問題還是要用最基礎的圖形運算更好解決問題。而圖形運算的工具中，三角形是最基本最簡單，通常也是最有效的工具。在高考中，以三角形作為載體的考查是相當多的，它一般存在于三個板塊：解三角形、立體幾何和解析幾何，而本文著重論述三角形在圓錐曲線中的地位和作用，三角形在圓錐曲線中無處不在，它直接考查我們的直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學核心素養。我們應結合三角形的各種性質、定理，對問題和圖形認真分析，當我們能夠熟練運用三角形這些性質、定理，解決圓錐曲線的有關問題時，就能達到事半功倍的目的。下面通過三個方面去說明：

一、利用三角形的全等、相似和比例性質解決圓錐曲線問題

1.利用三角形全等解題

例1：已知F為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一個焦點，其關于雙曲線C的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為（）

（A）2（B）3（C）2（D）5

分析：此題容易產生一種比較麻煩的解法：點F（c.0）關于準線y=bax的對稱點為P，則點P的坐標可用a、b、c表示，然后把點P的坐標代入另一條準線y=bax上，這樣就得到一條有關a、b、c的關系式，化簡后可得離心率。這種方法雖然思路簡單，但是要求點F的對稱點P有點困難，一不小心就會算錯，或者有些根本求不出。但我們從△POF中分析不難得出△OFQ≌△OPQ，從而有∠FOQ=∠POQ，又兩條漸近線的斜率是互為相反數，所以有∠FOQ=∠POE，∴有∠FOQ=∠POQ=∠POE=60°，∴有tan∠FOQ=ba=tan60°=3，也即b2a2=c2-a2a2=3，可得離心率e =2?? ∴選C，明顯后面這種解法計算量少得多，解題過程簡潔得多。當然這里要求我們要有一定觀察能力、對圖形的分析能力，和對性質的熟練掌握，是要有一定的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養。

2.利用三角形比例性質解題

例2：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F作斜率大于0的直線l交拋物線于A、B兩點（A在B的上方），且l與準線相交于點C，若CB=4BF，則︱AF︱︱BF︱=（）

A.53B.52C.3D.2

分析：過B作BE⊥準線于E，AD⊥準線于D，設BF=m，則BC=4m，由拋物線的定義知BE=BF=m，設AF=AD=x，由BE//AD可得BEAD=CBCA，即mx=4m5m+x，解得x=5m3，所以AFBF=53，選A.

通過上面二個例子，我們可以看出，運用三角形的有關全等、相似和比例等性質來解圓錐曲線的有關問題，特別是小題，有時會很簡單、簡潔，有時甚至是秒殺的速度，當然上面二題也可以用設直線的方法做，但是難度會增加。

二、利用三角形的的有關性質解題

例3：橢圓x225+y216=1的左右焦點為F1，F2，弦AB過F1，若△ABF2的內切圓周長為π，A、B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則︱y1-y2︱的值為（）

A.53B.103C.103D.53

分析：此題涉及三角形內切圓問題，而內切圓的性質是：內切圓圓心到三條邊的距離相等，考慮所求的問題是︱y1-y2︱的值，由此我們要聯系到三角形面積的計算問題，三角形面積的有關內切圓計算方法是S△ABC=12r（AB+BC+AC），其中r為內切圓半徑，而此三角形ABC的邊經過了兩焦點F1，F2，根據橢圓定義有AB+BC+AC=20，而內切圓周長為π，所以半徑r=12，所以S△ABC=12×12×20=5，而另一方面S△ABC=12×︱F1F2︱·︱y1-y2︱=12×6·︱y1-y2︱，所以可得︱y1-y2︱的值為53，選A.這里是三角形內切圓性質的其中一個的應用，當然內切圓其他性質的應用也是很常見的，比如：圓外一點到到圓的兩條切線長相等，內心與各頂點的連線平分每個內角等等。

三、利用三角形的正弦定理、余弦定理解圓錐曲線問題

1.利用正弦定理解題

既然在圓錐曲線中有很多的三角形，那我們當然可以利用解三角形的知識解決問題，運用勾股定理、正弦定理、余弦定理等解題，這也是我們解題常見的，而有些甚至可以利用這些定理去得出一些二級結論，這對于解題也大有幫助。比如橢圓的焦點三角形問題，教材中我們最常見的就是利用正弦定理或余弦定理結合橢圓、雙曲線的定義進行解題，而事實上還可以得出一些好用的結論，如：在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F1，F2是焦點，P是橢圓上的一點，設∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=θ，由正弦定理F1F2sinθ=PF2sinα=PF1sinβ=PF2+PF1sinα+sinβ，而F1F2=2c，PF1+PF2=2a，所以2csinθ=2asinα+sinβ，即e=ca=sinθsinα+sinβ，也就是說，如果知道了焦點三角形的三個內角（實際上知道兩個就可以了），那么橢圓的離心率就很快求出了，這是橢圓的定義與正弦定理的結合應用。如果是雙曲線，只需要把式子改動一下就可以了：e=ca=sinθ︱sinα-sinβ︱，它的應用也是類似的。看一個例子：

例4：（2013全國2卷理11）已知F1，F2，是雙曲線E：x2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點，點M在雙曲線E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，則雙曲線E的離心率為（）

A.2B.32C.3D.2

分析：sin∠F1MF2=cos∠MF2F1=223，sin∠MF1F2=sin90°=1，所以離心率e=sin∠F1MF2︱sin∠F1MF2-sin∠MF2F1︱=2231-13=2，這樣不用邊的關系就可求出離心率，簡化了邊角轉換的問題，從而使運算簡化。

2.利用余弦定理解題

例5：（2019課標1，10有改動）已知橢圓C的焦點為F1（-1，0），F2（1，0），過F2的直線與C交于A、B兩點，若|AF2|=2|F2B|，|AB|=2|BF1|，求C的方程.

分析：條件只有c=1，由題意知，線段的關系都在△ABF1中，并且都跟兩焦點有關，所以這也是一個典型的焦點三角形問題，根據線段長的關系，可以設|F2B|=m，則|AF2|=2m，|BF1|=3m，而由橢圓定義知|AF1|=2m，要求出m的值，就必須要有方程，考慮△ABF1中，各邊都可以用m表示，且|F1F2|=2，所以可用余弦定理得方程，在△ABF1中，cosB=（3x）2+（3x）2-（2x）22·3x·3x=79，而在△BF1F2中，cosB=（3x）2+x2-222·3x·x=79，解得x=32，所以2a=23，a=3，b2=2，所以橢圓的方程為x23+y22=1.? 由此可知，熟練掌握正弦定理和和余弦定理解三角形對解決圓錐曲線問題有重要的作用，它能建立起三角形邊與角的橋梁，也能夠快速得到有關方程，通過解方程進而能快速解決圓錐曲線問題。

通過上面的三個方面論述，我們可以看出三角形在圓錐曲線中占有重要的地位，那我們只有充分掌握三角形的性質、定理，包括全等、相似和比例性質，才能靈活掌握解三角形的有關問題，也就是能快速、有效的解決圓錐曲線的問題。其中問題一和問題三，主要說明利用三角形的有關性質定理能夠快速解決圓錐曲線的有關問題，這個主要反映在小題當中;問題二，主要說明利用三角形的有關性質定理能夠對圓錐曲線的有關問題進行轉化，尋求解題的思路和方法，這個主要反映在大題中。所以，如果能夠熟練掌握以上的解題技能，對我們提高圖形分析、邏輯推理、直觀想象、和數學運算等數學核心素養有很大的幫助，最終提高高考數學解題能力。

[參考文獻]

[1]普通高中數學課程標準[M].北京： 人民教育出版社，2017.

[2]彭海燕.高考數學全國卷解密（浙江）.浙江大學出版社，2019.

[3]曲一線，5年高考3年模擬[M].北京：首都師范大學出版社，2020.

（作者單位：廣東省韶關市翁源縣翁源中學，廣東 韶關 512600）