細雨潤物 讓思維“生長”
——學本課堂中培養高階思維的嘗試

趙薇萍

數學被稱為“思維的體操”，在數學教學中對學生的思維訓練是必不可少的。思維能力的訓練是一種有目的、有計劃、有系統的教育活動。思維訓練的主要目的是改善思維品質，提高學生的思維能力。優秀的思維品質主要包括深刻性、靈活性、獨創性、批判性、敏捷性和系統性等幾個方面。本文就其中的四個方面談談教學中的幾點嘗試。

一、縱橫勾連，培養思維的系統性

系統性是指思維活動的有序程度，以及整合各類不同信息的能力。數學是門系統性很強的學科。教學時，應引導學生站在系統的高度學習知識，注重知識的整體結構，經常整理歸納知識。尋找新舊知識的聯系與區別，挖掘共性，分離個性，在比較中學習新知識。注重知識的縱橫聯系，在融會貫通中提煉知識，領悟其關鍵、核心和本質。

1.立足基礎，知曉原理。

數學的概念、性質、定理、公式的得出都有嚴格的推理論證。教學中，要引導學生在探究新知的過程中理解算理，了解來龍去脈，做到知其然并知其所以然。比如，四年級學習乘法分配律，這是重點，也是難點。課本中通過種樹情境來引入，定律的得出依托于具體事例，再通過幾個式子的計算驗證得出定律。教師可以通過乘法意義這個算理來幫助學生進一步理解，如35×3+35×7，理解成3 個35 加7 個35 等于10 個35，寫成35×（3+7）計算比較簡便，也就是把相同加數的個數先合起來再乘相同加數。筆者用這樣的圖示來助推學生對乘法分配律的理解。

抽離具體情境從算理層面分析學生就不會生搬硬套定律了。把乘法意義和運算定律聯系起來，使前后知識產生無縫對接。

學習數學知識時要引導學生立足基礎，追本溯源，知曉原理，這是培養思維系統性的起點。

2.縱橫勾連，觸類旁通。

每學習一個知識點，都要讓學生知道前因后果，明白知識從哪里來，到哪里去。比如第一學段學習整數加法的計算方法，學生知道了要相同數位上的數相加就是把計數單位的個數相加，接著學習小數加法和分數加法時，教師也要講清算理，讓學生知道，小數點對齊就是把相同數位對齊了再加；分數相加，分母相同的情況下，分母不變，分子相加，都是計數單位的累加，知識之間是相通的（如圖）。

把教材中貌似分離的小數加法、分數加法和整數加法連接起來，溝通了知識之間的聯系，共同納入到加法體系中，完善了學生的知識結構，有利于培養思維的系統性。

注重知識之間的相互滲透和遷移，只有知識形成體系后，才能真正被消化和吸收。比如三年級學習排列和組合，課上主要通過列舉法讓學生知道有序思考，才能不重不漏。課本中例1 是“用0、1、3、5 能組成多少個沒有重復數字的兩位數”。課后有不少習題，學生基本都能輕松完成，可面對下面一題時，不少學生卻一籌莫展。

筆者在課上啟發道：“我們可以把四個垃圾桶編上號，想一想，“其他垃圾”桶位置有限制，編幾號呢？”學習能力強的學生馬上聯想到，“‘其他垃圾’桶不能放到最左邊”相當于0 不能放在最高位，“其他垃圾”桶編0 號，把另外三個垃圾桶編上1、2、3 號，就像用0、1、2、3 排四位數一樣排它們的位置。隨著學生的回答，筆者在黑板上寫下了“其他垃圾0，廚余垃圾1，可回收物2，有害垃圾3。”“現在如果請你用0、1、2、3 排四位數，你會嗎？”“會?！睂W生恍然大悟。有些學生的系統思維能力本身比較強，只要教師稍加啟發，就能給其他學生起到導向作用。“那生活中還有什么事可以這樣想呢？”筆者乘勝追擊，希望借此促進“排列”這個知識體系的形成。

考慮問題，要從整體出發，處理好整體與局部的關系。學習新知的同時不忘溝通聯系舊知，使學生的知識結構具有序列性、系統性。

二、巧妙變通，培養思維的靈活性

靈活性是指思維活動的靈活程度。它的特點包括：一是思維起點靈活，即從不同角度、方向、方面思考，能用多種方法來解決問題；二是思維過程靈活，從分析到綜合，從綜合到分析，全面而靈活地進行“綜合分析”；三是概括遷移能力強，運用規律的自覺性高；四是善于組合分析，伸縮性大；五是思維的結果往往是多種合理而靈活的結論。靈活性反映了智力的“遷移”，如我們平時說的“舉一反三”“運用自如”等。靈活性強的人，善于從不同的角度與方面進行思考，能較全面地分析、思考問題和解決問題。

1.一題多解，發散思維。

發散思維是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式，一題多解是培養發散思維能力的有效方法。課本中有很多可以一題多解的題目。如三年級學習長方形面積后有這樣一道題，筆者指導學生就怎樣求面積展開了討論。受當時掌握知識所限，學生想出了五種方法，如果掌握知識多一些，方法更多。兩個長8 厘米、寬3 厘米的長方形拼成的圖形，面積是多少？如下圖。

解法一：8×3×2-3×3

解法二：（8-3）×3+8×3

解法三：8×8-（8-3）×（8-3）

解法四：（8－3）×3×2＋3×3

解法五：（8－3＋8）×3

這幾種方法從不同角度去思考，體現了思維的靈活性。解決一個問題，往往有多種途徑。教師要抓住這種可一題多解的問題，組織好課堂討論，讓學生暢所欲言，相互啟發，培養學生的發散思維能力。

2.對比優化，巧妙變通。

學習過程中，我們要引導學生多維思考，善于變通，靈活解決問題。在得出解決問題的多種方法后，可以把不同方法加以對比，進行優化。

如下題，可組織學生討論，用什么方法可以很快知道哪位老師打字更快？

王老師4 分鐘打了385 個字，李老師5 分鐘打了512 個字。哪位老師打字打得更快？

學生有的通過計算385÷4,512÷5；有的通過估算385÷4≈400÷4=100，估大了，實際小于100,512÷5≈500÷5=100，估小了，實際大于100，所以李老師快。還有學生說，385÷4 商是兩位數，512÷5 商是三位數，所以李老師快。這三種方法，一種比一種靈活。

三、敢于質疑，培養思維的批判性

批判性是指思維活動中獨立發現和批判的程度。思維的批判性品質，來自于對思維活動各個環節、各個方面進行調整、校正的自我意識。它具有分析性、策略性、全面性、獨立性和正確性等五個特點。

1.討論辨析，自我修正。

數學是門邏輯性很強的學科，思考表達都要精準嚴密，不能以偏概全，不能有絲毫紕漏。課本中有些描述性的話一定要嚴謹，在學生初步得出結論后，我們要引導學生進行推敲。比如，學習和0 有關的除法時，經過0÷2=0,0÷8=0……這樣幾道習題的計算，學生很快得出結論：“0 除以任何數都得0?！睂W生已經知道了“任何數乘0 都得0”，再加上這幾道習題，所以這個結論是順其自然得到的。不仔細推敲，似乎是正確的。在大家都覺得這個結論正確的情況下，筆者出示，“0÷0=（ ）”，這下教室里熱鬧了，有的說，等于0，有的根據做除法想乘法的方法，說有無數種可能。經過思考，學生說，不確定?！澳悄銈兡茏约喊堰@個結論修改正確嗎？”討論到這兒，正確結論“0除以任何不是0 的數，都得0”已是呼之欲出。

還可以通過判斷題來提高思維的批判性。如學習分數的意義后，可以通過這樣的題讓學生判斷：“有兩根同樣長的繩子，一根減去了四分之三米，另一根減去了四分之三，兩根繩剩下的長度相等?！边@道題思維含量很高，可以大做文章。針對學生判斷的兩種情況，教師可以讓認為對的或錯的都各自說出理由，再舉例說明什么情況下第一根長，什么情況下第二根長，什么情況下兩根一樣長。

在知識易混淆處或概念模糊時，我們要引導學生展開討論，辯一辯、理一理，自我改正錯誤，得出正確結論。

2.大膽質疑，挑戰權威。

學起于思，思源于疑。我們還要培養學生大膽質疑的學習態度。比如三年級學習了周長和面積之后，我看到一本書上有這樣一道拓展題：“用64 米長的竹籬笆，利用一面墻圍成一個養雞場。如果每條邊的長度都是整米數，怎樣圍才能使養雞場的面積盡可能大呢？”書上的答案是這樣的：

不仔細思考，這個答案很完美，在周長相等的情況下，長和寬越接近，面積越大。真的是這樣嗎？我啟發學生通過畫圖來探究是否還有其他可能性。學生通過進一步探究發現還有面積更大的。請看下面圖示。

32×16=512（平方米）

21×22=462（平方米）

512＞462

原來當一邊靠墻，兩條寬加起來和長相等時，面積才是最大的。

我們要用批判的眼光來看待問題，多問幾個“為什么”，善于發現問題和提出問題，解決問題時一定要獨立思考，考慮周全。

四、標新立異，培養思維的獨創性

獨創性即思維活動的創造性。在實踐中，除善于發現問題、思考問題外，更重要的是要創造性地解決問題。獨創性源于主體對知識經驗或思維材料高度概括后集中而系統的遷移，進行新穎的組合分析，找出新異的層次和交結點。概括性越高，知識系統性越強，伸縮性越大，遷移性越靈活，注意力越集中，則獨創性就越突出。

1.推陳出新，大膽嘗試。

要培養學生的創新能力，教師首先要有創新精神，敢于對課本中的留白部分做出自己的決策。如三年級學習《年、月、日》時，課后習題中有保質期的推算，課本中沒有規范的表示范例，要想書面表達清楚有點麻煩，怎么辦？筆者指導學生用圖示法。以作業本中一道習題為例，2019年3月1日的早晨，幾號的牛奶還能喝？思考過程：2019年是平年，二月是28 天，牛奶2月24日生產，經過7天保質期，保質到3月2日。表示方法一：28-24+1=5（天），7-5=2（天）。所以3月1日早晨24 號牛奶還能喝。表示方法二：2月24日保質7 天，到3月2日，顯然第二種方法更簡潔明了。

2.獨辟蹊徑，標新立異。

有些學生很有自己的想法，不走尋常路，敢于提出不同意見。對于這些“另類”的學生，我們要呵護有加。比如用連乘解決問題，超市一周賣出5 箱杯子，每箱12 個，每個45 元，一共賣了多少錢？

課本呈現兩種解法：

解法一：45×12×5，先算每箱賣了多少錢，再算一共賣了多少錢。

解法二：12×5×45，先算每箱共有多少個保溫杯，再算一共賣了多少錢。

還有第三種解法嗎？課本中沒有提到。

如果有學生列出的算式是45×5×12，你認為對嗎？不仔細想，似乎是沒道理的，因為5 箱和每個45 元這兩個信息間沒有直接的聯系。但是當有學生能自圓其說，把這個算式解釋通，你還認為這沒道理嗎？學生說，假設每箱只有一個杯子，5 箱能賣45×5元，實際每箱有12 個，是假設的12 倍，再乘12。這么一假設，還挺有道理。所以只要能說清算理，都可以算對。課本例題沒出現這種方法，我們也可以讓學生用。教師要鼓勵學生多思考，敢為人先。我們要以開放的、包容的心態去接納學生的奇思妙想。

綜上所述，引導學生探究知識的過程中，教師要做個有心人，指導學生在務實的基礎上縱橫勾連所學知識，構建起知識體系，學會巧妙變通，敢于批判質疑，勇于標新立異，力求通過日常教學活動使學生成為具有高階思維能力和富有創新精神的新型人才。