概念的定義、理解與應用

【摘要】百分數是小學數學教學中的重要內容，且因其豐富的內涵而時常讓學生甚至教師感到困惑。本文運用數學分析、認知分析和教學分析的課堂教學研究分析框架深度剖析： 百分數能帶單位嗎？使教師在理解百分數的“數、比、比率、統計量和算子”五種不同意義的同時，了解學生對百分數概念認知常見的錯誤類型，并通過百格圖等案例澄清如何通過合理的教學任務設計幫助學生建立正確的認知。進一步，本文希望借助百分數這一案例的分析過程，展現如何運用由上述三類分析構成的框架進行其他教學案例分析，從而幫助教師改進教學，逐漸成長為研究型教師。

【關鍵詞】百分數 數學分析 認知分析 教學分析 百分數教學

在一次數學教學高級研修班上，與會教師圍繞分數和百分數之間的關系展開了一次“特殊”的研討。討論圍繞以下推理過程展開：

在現場交流過程中，所有教師認為“噸可以表示為噸”是正確的，而“20%噸”的表示是錯誤的。通過進一步的分析討論，教師們對以上推理中的數值計算幾乎沒有提出質疑，但加上單位后的表述方式是否合理則莫衷一是。

表面上看，上述問題是分數、以100為分母的分數和百分數之間的相互轉化;而這一問題的背后，實際上考查的是教師對分數、百分數概念的理解。為了達到考查目標，我們進一步在教師中詢問以下問題：噸、20%噸的表述方法對嗎？參與詢問的所有教師說噸的表述是正確的，而20%噸的表述是錯誤的。

盡管分數有比的含義，但這里教師很明顯是將分數看成數量，但卻將20%只看作是一個比。所以，20%一定不能帶單位。同時，我們在準備這篇文章的過程中，也觀摩了幾位特級教師關于百分數意義的課例，在這些課例中都一致強調百分數不能帶單位，把20%噸是否正確作為一個例子，讓學生進行判斷。對于百分數能否帶單位這個問題，在學生沒有任何疑問的情況下，教師一再強調百分數不能帶單位。我們的問題是，有必要如此強調百分數不能帶單位嗎？一方面分數也具有比的含義，教師對于分數帶單位毫無疑義，而對于百分數帶單位卻堅決反對。那么，百分數是不是分數？百分數與分數是否具有共同的數學本質？

在本文中，我們將繼續沿用已有系列文章中的框架，依次從數學分析、認知分析和教學分析三個層面對此教學案例進行探討。數學分析是從數學的角度出發，討論以上推理是否合理，合理之處在哪，不合理之處在哪，如何解釋或解決。認知分析則探討教師和學生在碰到類似的問題時，有什么樣的認知困難或認知障礙，以及為什么會有這樣的困難或障礙。教學分析則是在對數學分析和認知分析的基礎上進行教學設計，以幫助學生克服認知困難，實現對這個數學概念的清晰理解。我們的重點是沒有必要過分強調百分數不可以帶單位，以及過分將百分數與分數分割開來，甚至要過分人為的不把百分數看作是一種特殊的分數。當然，我們并不否定在很多情境下百分數不能帶單位的事實。

一、數學分析

在小數出現之前，古羅馬就出現了倍數的計算，到了中世紀（第5～15世紀），百分數的計算逐漸標準化。直至15世紀后期和16世紀初期，百分數的計算已經成為算術的一部分，應用于涉及盈利、稅收等類型的問題。到17世紀，百分數更多地標準化為表示利率的數。

大約在1650年，百分數的意大利語per cento（每一百中）縮減為百分號“%”，百分號的引入是百分數發展歷史上的一個轉折點，百分數的表達逐漸脫離具體的基準，其含義更多地傾向于抽象關系（比及比率）。到了19世紀，隨著概率論與統計學的發展，各種類型的數據急劇增長。百分數很快成為數據比較的標準方式，百分數的直觀表達方式如餅圖等也在這個時期出現。

數學辭海中定義“百分數（percentage）為一種特殊的分數。指分母是100的分數，或表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數分母常用符號‘%表示，稱為百分號，并寫成分子與百分號并列的形式。例如5%、1.5%……”。該定義強調百分數是一種特殊的分數，也就是既可以是數，也可以是比。百分數之所以不容易理解，是因為它有多種內涵。根據Parker和Leinhardt（1995）對百分數的內涵界定，百分數至少有五個方面的含義：數、比、比率、統計量和算子五種不同的意義。

（1）作為數，可以與分數、小數互化。如20%=0.20=。

（2）作為比，本質是同類量之比，而且同類量的度量選擇同一度量單位。例如，某某獲得了40%的選票，此處40%意指投給某某的人數與全部投票人數的比為40%。

（3）作為比率，是另一種比的形式，其指不同類型量之比。 如某品牌汽車的油耗為5.8%（L/km），某一化學液體的質量濃度為3%（g/ml）。

（4）作為統計量，即用于表示某一特定數量相對于另一數量的相對大小，經常被用于表示人口統計或管理類的統計量。例如，今年的開銷增長了12%等。作為統計量的百分數通常有兩種用法：①用單獨的百分數描述一個特定的比率（如7.5%的失業率）;②用兩個百分數的比（如相較于國家一月份的失業率7.5%，某省一月份的失業率為8%，由此來比較國家一月份的失業率和某省一月份的失業率）。這兩種用法都是為了省略原始統計數據，且更易于解釋數據所要表達的含義。

（5）作為一個算子，反映了自變量（輸入值）和因變量（輸出值）之間的一個函數關系，在這種情況下，百分數常常揭示兩個量之間的線性關系。

從百分數的定義來分析，它是“表示一個數是另一個數的百分之幾的數”，這個定義的本質在于兩個數之間的比較，但我們知道，數具有抽象性，就像“1”表示一個蘋果、一個人、一頭牛等構成的集合在數量方面的共同屬性。因此，當我們考慮現實問題或物理問題時，每一個數都與特定的事物相聯系，此時的數常以名數的形態出現，如3千米、5克等。當我們考慮被比較的兩個對象的物理屬性時，就有兩種情形：第一種情形，同類量之比，對應于比，由于共同的度量單位相消，最后的比值就不帶單位;第二種情形，不同類型量之比，如速度就是路程與時間的比值，單價就是物品總價與物品數量的比值，此時對應于比率，此時的百分數就是帶單位的。當然，在現實生活中及現行教材中，百分數更多的都表示同類量的比值，但不同類型量的比值也完全符合百分數的定義。我們沒必要一定要把不同類型量的比值從百分數的含義中剔除掉。

盡管百分數的“比率”的內涵與百分數的定義是相容的，但這方面內涵的應用確實是比較少見的。百分數的統計量及算子的內涵，其本質為“比”，因此，百分數最為常見的內涵包括兩個方面：第一類作為數的含義，可以帶單位;二是作為關系，即比的含義，不帶單位。

二、認知分析

從認知角度出發，教師們認為上面案例的推理是錯誤的，可能的原因有三個：①將==20%中的三者均作為數，故而認同三者之間的等量轉換;但在推理過程中，將和作為數，20%作為比，從而20%噸的表示是不能接受的，故認為推理是錯誤的。②將==20%中的三者均作為比，故而同樣認同三者之間的比的轉換;同樣，在推理過程中，20%噸的表示不能接受，從而認為推理錯誤。③將==20%中的三者均作為數，故而認同三者之間的等量轉換;但在推理過程中，將三者又同時作為比，但20%噸的表示不能接受，從而認為推理是錯誤的。

我們通過以上的認知分析并結合對百分數意義的課堂觀摩發現，絕大多數的教師認為，百分數不能帶單位，而且堅定地認為在課堂有必要給學生強調百分數不能帶單位。當我們進一步追問百分數不能帶單位的原因時，教師們的回答是百分數是一個比。那我們要分析這樣的理由是否充分。

我們先回顧分數的引入，人教版數學三年級上冊教材引入“幾分之一”時，呈現了這樣的問題情境：把這塊月餅平均分成4塊，每塊是它的四分之一，寫作;把一個圓平均分成3份，每份是它的三分之一，寫作。顯然，分數是在比較意義下引入的，它的本質也是一個比，特級教師吳正憲在她的著作《小學數學基本概念解讀》中也強調了這一點，她在論述分數與百分數的相同點時，強調百分數與分數的實質是一樣的，都表示兩個數的倍數關系，這時的分數與百分數沒有計量單位，它們都是率。人教版數學五年級下冊教材在“分數的意義與性質”的引入中，又呈現了這樣的問題情境：把桌上的月餅、蘋果平均分給兩位同學，每人得到塊月餅、個蘋果。此時的分數就是作為數來引入的。假如我們把這樣的情境改造一下：把桌上的月餅、蘋果平均分給兩位同學，每人得到50%塊月餅、50%個蘋果。盡管這樣的說法和我們習慣上的說法有一定出入，但這樣的說法沒有邏輯問題，也沒有違背百分數的定義。

既然分數有比的屬性，也有數的屬性，可以帶單位，那么我們到底承不承認百分數是特殊的分數？數學辭海中已明確地把百分數界定為特殊的分數，吳正憲在對百分數的描述中也采用了辭海中百分數的定義。如果我們承認百分數是分數，那么分數所具有的性質百分數是一定有的。因此，百分數也像分數一樣具有比的屬性，也具有數的屬性。

再進一步分析，百分數到底能不能帶單位，一定要看具體的情境，不能絕對化，不能一再強調百分數就不能帶單位，絕對量與相對量之間很容易實現轉化。如一瓶鹽水重1千克，鹽的含量為5%，這瓶鹽水中有多少千克鹽？這里的鹽的含量5%就是一個比，但最后鹽水中的鹽有5%千克，最后的5%千克就是一個數量。如果說這里5%千克的表示有誤，非要寫成千克，這又有多大的必要性？如果說僅僅由于百分數是一個比值，它就不能帶單位，我們把這個結論絕對化，可能會帶來一些滑稽的結果。如，圓周率π就是一個比，現在的問題是半徑為1厘米的圓面積為多少，答案就是π平方厘米。如果我們說圓周率是一個比值，不能帶單位，那么這個問題該如何解答呢？帶不帶單位，帶什么單位，這是物理學非常關心的問題，在物理學專門有量綱分析，解決的就是單位問題。總之，單位往往是由一個關系式決定的，因此，在數學中考慮單位問題時，一定要分析數學算式的具體情境，針對具體情境才能決定單位的問題。雖然作為比的百分數沒有單位，但是它可以作為一個算子，當輸入量帶單位時，輸出量有時盡管還是百分數的形態，但這時輸出量已經是一個絕對量了，所以就帶了單位。

而教材在給出百分數定義后，所舉的例子也都是同一類型量的兩個數之比，此時的確沒有單位，那是因為兩個比的量的單位被抵消了，而且所有的例題或其他學習材料也都只是突出了百分數作為同一類型量比的形式。因此，才會導致教師產生這樣的疑惑。當然，百分數帶單位來表示某一數量在生活中確實比較少見。

百分數作為分母為100的特殊分數，在不同情境下其內涵不同。那么在教學過程中如何正確、多角度地認識百分數，避免理解上的誤區呢？下面我們對百分數進行教學方面的分析。

三、教學分析

百分數之所以是一個讓學生甚至教師感到困惑的概念，其主要原因在于百分數內涵的豐富性。學生能夠很好地掌握百分數的程序性知識，但其概念性知識對于學生甚至教師都構成了挑戰。然而，教材中舉的例子只強調了同一類型量的兩個數之比的特性。例如，人教版數學六年級上冊教材對百分數的定義為“百分數表示一個數是另一個數的百分之幾，如14%表示一個數占另一個數的”，北師大版數學教材的定義與人教版數學教材的定義類似。而蘇教版數學教材定義為“像，，這樣表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數，百分數又叫做百分比或百分率”及浙教版教學教材的定義為“，，，，這些分數的分母都是100，像這樣表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫百分數。百分數又叫百分比（或百分率）”。通過以上定義我們發現百分數具有數的屬性。而且目前的小學數學教學中，有大量的練習題目涉及百分數、小數及分數之間的轉化。百分數作為一個數，它是小數和分數的另一種表征形式而已，這種表征有它的優勢。因此，我們建議教材在舉例時不僅要突出百分數作為比的屬性或形式，還應該舉一些體現百分數作為數的屬性的例子。

此外，從前面的案例可以發現，目前教學中或許太過強調百分數不能帶單位，以至于教師和學生逐漸形成一種思維定式，一提到百分數就只能是兩個同類型量的比，完全是一種不同于分數的數，因而一定不能帶單位。但根據百分數的五種屬性，在教學中教師要使學生形成百分數的概念意象，加強百分數的概念性理解，豐富對百分數內涵的體驗，就需要給學生提供豐富而恰當的情境。

從百分數作為數的屬性方面來說，以分為單位去度量元，那么1分就是1%元。用百分數表示這種變化率及特定比值的情況比較少見。但也有一些很生動的例子，如某品牌汽車的油耗為5.8%（L/km），某化學液體的質量濃度為3%（g/mL）。

根據前文對百分數內涵的分析，百分數可以作為一個統計量，如2018年中國GDP比上一年增長6.6%，雖然這里的6.6%來自一個比，但它實際上也是可以直接用于比較大小的數。比如，2017年的中國GDP增長量為6.9%，所以2018年的增長量少于2017年增長量的0.3%。這樣的百分數是能夠直接用于計算或者進行大小比較的。

另外，對于百分數作為比的屬性，在教學中教師可給學生提供下面的例子，幫助學生體會百分數作為比的含義與數的含義的區別。

“在星期六售出的雪糕中，有40%是巧克力味的。在星期天售出的雪糕中，有50%是巧克力味的。于是小林說，雪糕店在星期天售出的巧克力味雪糕比在星期六售出的巧克力味雪糕多，因為50%比40%大。你認為小林說的對嗎？試加以解釋。”

分析小林的說法，首先要搞清楚這里50%與40%的含義，這里的50%與40%是兩個比，分別表示“雪糕店周六巧克力蛋糕的賣出率及周日巧克力蛋糕的賣出率”，這兩個賣出率可以比較大小，所以小林說50%比40%大，這個說法是沒問題的。但小林的錯誤在于把“比”看成是數量進行比較，要得到數量，必須還要考慮50%與40%的參照量，即雪糕店周六、周日賣出的巧克力總量。

因此，教師在教學過程中需要注意，百分數的內涵是豐富的，什么情境下是比，什么情境下是數。只有引導學生認真分析情境，搞清楚每一個情境下百分數的確切內涵，學生才有可能做出正確的判斷。而由于擔心學生會混淆相對比及數量，一味強調百分數不能帶單位的做法是不可取的。

如果把百分數理解為比，而把比僅限于同類量之間的比，一再強調比不能帶單位，這種做法會給以后的教學帶來干擾。如，在正比例的學習中，，就是一個比，假如我們給正比例賦予具體情境，如=速度，當速度保持恒定時，距離與時間之間就是一個正比例關系。如果我們一再強調比不能帶單位，那么這里的速度就沒有單位。

四、結語

百分數是小學數學教學中的重要內容，雖然小學階段對百分數的應用并不多，而且也只在六年級時才開始接觸，但作為一類重要的數，教師首先要明確其內涵和意義。借助Parker 和 Leinhardt 的研究結果，提出了百分數的五個方面的內涵，可能有一些小學教師對百分數作為一個數及不同類型量之間的比有質疑。然而，百分數作為數的屬性及作為不同類型量之比的屬性與百分數的定義是完全相容的。當然，百分數作為一個數及作為不同類型量之比的屬性在日常生活中不多見。

根據其五種內涵，教師在教學過程中應該幫助學生明晰百分數作為比和數的兩種屬性，而且這兩種屬性需要依賴問題所在的情境才能進行判斷。由于百分數既有數的內涵，又有比的內涵，這就使得學生極容易犯錯誤，有時會把百分數比的含義理解為數的含義。教師要引領學生認真分析問題情境，結合具體情境厘清百分數的數的含義與比的含義。

在小學數學課堂教學中，沒有必要一再強調百分數不能帶單位，一方面這樣的強調缺乏充分的依據，有理數從本質上講就是比，但我們并沒有對有理數可以帶單位產生過質疑;另一方面，過于強調比不能帶單位會給以后的教學帶來干擾，尤其不利于學生學習正比例的相關內容。

本文并不是要強調教師要教給小學生百分數的五種內涵，而是希望通過對案例的分析，幫助教師明晰對百分數內涵的認識，并在遇到類似問題時，能夠運用數學分析、認知分析和教學分析這一框架進行其他教學案例的分析，從而從數學的本質、學生學習的特點以及教學設計的角度改進自己的教學，提升學生學習水平，促進自己的專業發展，逐漸成長為研究型教師。

①：“游迪”一名取自美國特拉華大學校名的英文縮寫（UD），是蔡金法教授（西南大學、University of Delaware）及訪問學者共同使用的筆名。作者還包括姚一玲（杭州師范大學教育學院）、賈隨軍（浙江外國語學院教育學院）、張玲（西南大學數統學院）、劉啟蒙（北京師范大學中國基礎教育質量監測協同創新中心）、鞏子坤（杭州師范大學理學院）、陳雪梅（河北師范大學教師教育學院）、徐冉冉（西南大學數統學院），特別感謝澳門大學江春蓮教授提出的寶貴意見。本文是根據蔡金法教授和訪問學者們在數學教育討論班中的若干研討內容整理而成。這一討論的最終目的是通過對教學實踐案例的研究，讓高校的數學教育研究者關注并參與到一線數學教育實踐，共同學習和探討這一過程中產生的問題，讓高校的理論研究能夠更好地為教學實踐進行服務。

【參考文獻】

[1]《數學辭海》編輯委員會.數學辭海[M].山西教育出版社，2002.

[2]林夏水.論量的層次性[J].哲學研究，1992（2）.