《向量的概念及表示》教學設計及反思

姚云

摘 要：向量是高中數學中重要的概念之一，它具備幾何和代數雙重身份，能夠解決很多實際問題。教學時可以從物理、生活中抽象向量的概念，并通過它的兩個特點“大小”和“方向”歸納出其他相關概念。

關鍵詞：向量概念 教學設計 教學反思

一、教學內容解析

本節選自蘇教版必修4第二章第一節，是本章的起始課。向量是近高中數學中重要的數學概念之一，它具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，是數形結合的橋梁，成為溝通代數、幾何、三角的有力工具。向量的概念從大量的生活實例和豐富的物理素材中抽象出來，反過來，它的理論和方法又成為解決生活實際問題和的物理學重要工具。本節課是向量的入門課，概念較多，但難度不大，學生可借鑒對物理學中的位移、力、速度等的認識來學習。

二、教學目標

《數學課程標準》2017版指出：本單元的學習，可以幫助學生理解平面向量的幾何意義和代數意義，掌握平面向量的概念。故教學目標如下：

1.了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示;

2.掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念;

3.培養學生歸納總結的能力，會主動探究概念的形成過程，并體會到探究問題的樂趣。

三、教學重難點

1.教學重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量。

2.教學難點：理解零向量，單位向量，相等向量，平行向量的含義，讓學生感受向量，平行或共線向量等概念形成過程。

四、教學過程

1.情境引入

（1）高德地圖和紙質地圖有何區別？你認為什么是最重要的是提供了路線的什么？

（2）玄武湖公園有三個景點O，A，B，如圖：一觀光車將游客從景點O送至景點A，半小時后，觀光車再將游客從A送至景點B。從景點O到景點A有一個位移，從景點A送至景點B也有一個位移。①在圖中標出兩個位移;②請說出位移和距離的異同。

（3）①A處的我方軍機可以如何報告C處敵機的位置？②敵機沿CB方向逃竄，我方軍機要抵近攔截。如果我方軍機的時速值大于敵機，是不是就可以攔截到敵機？為什么？③經計算，最終我方軍機最早在B處攔截到敵機。請指出我機和敵機的速度方向。

（4）你能不能再舉出一些既有大小又有方向的量？

[設計意圖]：通過三個具體實例，感受向量與數量的區別，并抽象出向量的概念。

2.講授新課

（1）向量的定義：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示

①幾何表示：向量常用一條有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小;箭頭所指的方向表示向量的方向。

②符號表示：向量可以用有向線段的起點和終點字母表示，在印刷時，常用粗黑體小寫字母 a ， b ，c 來表示;手寫時則可用帶箭頭的小寫字母 ，， 來表示。

（3）學生活動

請在坐標紙上畫出若干向量，并思考向量有什么特點？你畫的有哪些特殊的向量？

[設計意圖]：在明確了向量的概念及表示后，由學生在坐標紙上畫出一些向量，并請同學歸納一些特殊的向量。從而得到向量的其他相關概念。

（4）向量的相關概念

①向量的大小稱為向量長度（或稱為向量的模）.記作;

②零向量——長度為零的向量，記作.規定：零向量的方向是任意的;

③單位向量——長度等于1個單位長度的向量;

④方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，也稱為共線向量;

⑤規定：零向量與任意向量平行;

⑥長度相等，方向相同的向量叫作相等向量;

⑦長度相等，方向相反的向量叫作相反向量。

[設計意圖]：引導學生從大小和方向兩個方面總結歸納向量的相關概念。從學生所畫的圖形中理解平行向量、共線向量、相等向量、相反向量等概念。

（5）學生思考

①向量與有向線段有什么區別？

②單位向量唯一嗎？

③平面直角坐標系內，所有起點在原點的單位向量，它們終點的軌跡是什么圖形？

④若兩個向量平行，則它們所在直線一定平行嗎？

⑤平行于同一個向量的兩個向量平行嗎？

⑥模相等的兩個共線向量是相等向量嗎？

[設計意圖]：通過以上問題對概念進行辨析，加深對向量相關概念的理解。

3.例題講解

例1.已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標出的向量中：

（1）試找出與共線的向量;

（2）確定與相等的向量;

（3）與相等嗎？

[思考]：以正六邊形的頂點及O點為起點和終點，還能找到哪些和共線的向量？

[設計意圖]：例1的目的是為了讓學生加深對相等向量，共線向量的理解。設置思考題的目的是為了讓學生找出其他符合條件的向量，加深對向量概念的理解，注意做到不重不漏。

例2.如圖所示的為的方格紙（每個小方格都是邊長為1的正方形），試問：起點和終點都在小方格的頂點處且與向量相等的向量共有幾個？與向量長度相等的共線向量共有幾個？

[設計意圖]：兩道例題的目的是為了加深對平行向量、共線向量、相等向量、模長相等的向量的理解。例2將向量放在坐標系中，除了便于判斷方向和計算長度外，也為后面學習向量的坐標表示作鋪墊。

4.練習鞏固

教材P61T1-5.

5.課堂小結

本節課你學到了什么？

五、教學反思

向量由于具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為多項內容的媒介。既有其深刻的數學背景，也有其現實的物理背景。

本節課是一節概念教學課。概念的教學需要注重概念的形成過程。因此在向量的引入部分，大量使用了物理中的例子，使學生初步感受既有大小又有方向的量。在向量的相關概念形成過程中，利用坐標紙讓學生自己畫出一些向量，通過探究總結歸納出相關的概念。概念形成后又通過一些思考題進行概念的辨析，加深對平行向量、共線向量、零向量等概念的理解。

本節課的概念形成過程中使用了學生自主探究環節，本應成為本節課的亮點。但是由于經驗不足加上準備不夠充分，對課堂的預設不足，導致學生在總結概念過程中產生了混亂。其實在學生探究過程中，此時教師應該利用向量的定義，從“方向”和“大小”兩個方面引導學生思考，并總結。于是，平行向量（共線向量）就很容易被概括出來，相等向量、相反向量等概念的產生也比較自然。