解決高考三視圖中一類問題的新方法

吳豐田

[摘要]文章的方法來源于“牟合方蓋”形成的過程，先通過一個視角，固定幾何體的大致范圍，這樣可以簡化幾何體中的點、線的數量，排除了三視圖中的“干擾視線”，使圖形變得更簡潔，起點更低;再依次結合其他兩個三視圖，即可確定幾何體中所有的頂點，從而可以簡捷地解決高考中三視圖還原幾何體的問題。

[關鍵詞]高考三視圖;三視圖還原幾何體;新方法

三視圖是近幾年來高考的熱點，也是培養學生直觀想象核心素養的重要載體。高考試題對三視圖的考查主要包含以下題型：判斷幾何體的三視圖、由三視圖還原幾何體并計算。張國治等[1]給出了由幾何體的三視圖還原幾何體的一種通法，傅香平”[2]提供了三視圖還原實物圖的新視角。以上兩種方法，有效地彌補了學生直觀想象能力的不足。本文對一類三視圖還原幾何體問題給出了新的方法。

三視圖的規律：正（主）視圖和俯視圖的長相等;正（主）視圖和側（左）視圖的高相等;側（左）視圖和俯視圖的寬相等，即——“長對正，寬相等，高平齊”。

本文中方法涉及題型為三視圖中含有三角形的，若三視圖中沒有三角形，或者圖形復雜的則可以用上文提到的兩種方法求解。

步驟如下：

（1）由三視圖中三角形所在視圖入手，畫出一個直三棱柱;

（2）由三視圖中另兩個視圖確定幾何體的頂點;

（3）連接幾何體的頂點，去掉輔助線，對比三視圖進行驗證。

下面通過兩個例題加以說明。

1.角度一：從側視圖的三角形入手

（3）連接幾何體的頂點，即可將三視圖還原為幾何體（圖1-4）。

波利亞在《怎樣解題》中指出：考慮解答的各個細節，并盡可能使它們顯得簡單;考慮解答中比較冗長的部分并盡可能使它們簡短些;試著一眼就能看出整個解答;對你的解答中或大或小的部分進行改進，嘗試改進你的整個解答，使它直觀[3]。張國治根據三視圖的概念和投影規律，先由“三等”關系畫出正方體或長方體，再由逆投影作垂線段，利用“六向對應”關系及三視圖中虛實線的交點，確定逆投影點，然后再利用垂線段交點和三視圖中的虛實線段排除“可疑點”確定“最優點”，最后將“最優點”逐一連線得到還原后的幾何體。該方法在實際操作過程中由于步驟多，“干擾視點”“干擾視線”多，構圖復雜，由于學生的空間想象能力發展不充分，導致在處理復雜問題時耗時且易錯。本文所述新方法正是對此方法的改進與簡化，相較而言學生入手思維起點更低，步驟更加簡潔，作圖更直觀，圖中“干擾視點…干擾視線”明顯減少，從而降低了思考難度。

例2：將如圖所示的三視圖還原為幾何體[2]。

1.角度一：從正視圖的三角形入手

步驟如下：

解析：（1）該幾何體的三視圖中正視圖為三角形，故由此可以作出如圖2-1所示直三棱柱ABC-A₁B₁C₁;

（2）由側視圖可以確定棱CC₁，的中點D為該幾何體的頂點，并可以排除點C，C₁，再結合俯視圖可以確定A₁，B，B₁，A₁為該幾何體的上的點;

（3）連接幾何體的頂點，即可得到原幾何體（圖2-2）。

2.角度二：從側視圖的三角形入手

解析：（1）題中三視圖的側視圖為三角形，由此可以作出一個直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，如圖2-3所示;

（2）由正視圖可以確定C₁在該幾何體上，并排除點C，由俯視圖可以確定A，A₁，B₁，B為幾何體的頂點;

（3）連接幾何體的頂點，如圖2-4所示即該幾何體的直觀圖。

本題也可以從俯視圖的三角形入手，此處不再贅述。

解決高考中的三視圖問題，關鍵在于還原幾何體，在解題過程中必須要熟悉基本幾何體（柱體、錐體、臺體）的三視圖。但三視圖問題往往虛實結合，靈活多變，對空間想象能力有較高要求，很多考生感到無從下手，毫無方向。本文的方法來源于“牟合方蓋”形成的過程：先通過一個視角，固定幾何體的大致范圍，這樣可以簡化幾何體中的點、線的數量，排除了三視圖中的“干擾視線”，使圖形變得更簡潔，起點更低，再依次結合其他兩個三視圖，即可確定幾何體中所有的頂點，從而得到幾何體。本文所述方法，雖然表達簡潔，容易操作，但仍存在局限性，還需業內再多加探討。

[參考文獻]

[1]張國治，程似錦，席光煜，等.三視圖還原幾何體的一種高效通法[J].數學教學，2016（06）：6-19.

[2]傅香平三視圖還原實物圖的新視角[J].數學教學，2014（04）：27-29.

[3]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011：29