含源項的Smoluchowski方程的預李群分類

林府標，張千宏

(貴州財經大學數學與統計學院，貴陽 550025)

Smoluchowski凝聚方程[1-2]

(1)

是既含偏導數又含積分項的非線性積分—偏微分方程，歷史悠久，應用領域廣泛[1-5].x表示粒子的尺寸或體積或質量，f(x，t)表示種群密度分布函數，t表示時間.K(x，y)是內核聚合函數，表示體積或質量分別是x和y的粒子生成體積或質量為x+y的粒子的合成率，并且具有非負對稱性

K(x，y)=K(y，x)≥0.

(2)

鑒于許多實際模型應用的需要，不同類型的眾多核函數已被提出[5-7]，例如描述稀氣相系統中的碰撞自由分子核函數. 諸多實際應用領域中，核函數在物理和化學中的應用是最廣泛的[6]，其它應用領域還涉及生物科學和天文學等. 但是一類既重要又有廣泛應用領域的核函數是γ次齊次核函數[7]，即存在某個冪指數γ滿足齊次核函數方程

K(σx，σy)=σγK(x，y)，

(3)

對任意的常數σ，x，y>0皆成立. 特別地，三類簡單且數學上容易處理的重要γ(γ=0，1，2)次齊次核函數K(x，y)分別為

K(x，y)=k0，k1(x+y)，k2xy，

(4)

其中，k0，k1，k2均為正常數，γ(γ=0，1，2)次齊次核函數(4)在云滴聚合中的應用可參見文獻[4]. 另外，利用性質(3)容易證明γ次齊次核函數滿足方程

xKx(x，y)+yKy(x，y)=γK(x，y)，

(5)

從而可得到此一階線性偏微分方程(5)的一般解為

(6)

其中，H是一個任意一元可微函數. 若令變換y=xs，利用齊次核函數的性質(3)或(6)式可以得到

(7)

注意到(7)式，帶齊次核函數(3)的方程(1)可以改寫并記為

(8)

同時考慮既有聚合又有破損過程的群體平衡方程[5]可以寫成

(9)

(10)

鑒于群體平衡方程(9)和(10)與方程(8)有著密切的結構特征以及實際應用和理論探究的需要，研究帶齊次核函數(3)并具有任意項源函數S(x，t，f)的非齊次Smoluchowski方程

Lf=S(x，t，f)

(11)

的結構、性質、顯式解析解等都是具有實際應用價值和理論意義的，其中算子Lf見齊次方程(8)．

雖然方程(1)的應用領域廣泛[2-5]，但對任意的核函數(2)一般是很難精確求解的，甚至可以說要找到方程(1)的顯式解析解幾乎是不可能的. 甚至對極少數的特殊齊次核函數K(x，y)，方程(8)的精確解也是知之甚少的，除非采用數值方法或實驗技術，例如文獻[8]. 因此一方面，需要不斷創新和探索精確求解的一些新方法和技術；另一方面，有時候即便求出了解析解，或是以隱函數形式出現，或不便于實際模型的應用. 例如對常數核函數K(x，y)=k0，1940年Schumann[3]給出了方程(8)的一個隱式解析解

(12)

隱式解析解(12)的柯西問題對應的初始密度分布函數和一階矩V分別為

經典李群分析法[9-12]不能直接用于解析求解積分—偏微分方程(8)和(11)，而需要采用改進的李群分析法[13-14]. 近些年來，改進的李群分析法[13-14]在許多學科領域得到了進一步應用和發展，特別地在探究積分—偏微分方程、時滯偏微分方程和隨機微分方程的顯式解析解和完全群分析方面是一個行之有效的工具[15-25]. 然而利用改進的李群分析法[13-14]求解非齊次積分—偏微分方程(11)的決定方程時卻非常困難，甚至幾乎是不可能的. 該決定方程的求解依賴于積分—偏微分方程(11)本身的結構性質和特征，而不像用經典李群分析法[9-12]求解偏微分方程的決定方程那樣有相對普遍和適用的統一有效解法．

預李群分類法以一種建議性和啟發性的思維方法首次呈現在文獻[26]中，最初用于偏微分方程，近幾年來預李群分類法[26-27]作為研究偏微分方程的部分群分析、群不變解和解析解的工具之一，已得到深入的改進[28]和受到學術界的關注[29]. 隨著改進的李群分析法[13-14]在許多非線性科學領域的應用，特別是在積分—偏微分方程中的應用[15-23，25]. 促使預李群分類法[26-28]得到進一步研究和發展，特別是已被用于研究帶任意項源函數的非齊次積分—偏微分方程、群體平衡方程和Boltzmann方程[17，30]．

本文在前人的工作和文獻[25]的基礎上，利用預李群分類法探究帶有任意項源函數的非齊次積分—偏微分Smoluchowski方程(11)的部分群分析．

1方程(8)接受的李群和最優化子李代數系統

文獻[31-32]借助于覆蓋的概念以及將積分—偏微分方程轉化為邊界和泛函微分方程組，給出了方程(8)的對稱. 文獻[25]利用改進的李群分析法[13-14]和文獻[16-18]求解積分—偏微分方程的決定方程的算法框架也給出了方程(8)的決定方程的通解和所接受的不變群的對稱算子

(13)

特別地，帶常數核函數K(x，y)=k0的方程(8)所接受的不變群的對稱算子為

(14)

帶和核函數K(x，y)=k1(x+y)的方程(8)所接受的不變群的對稱算子為

(15)

帶乘積核函數K(x，y)=k2xy的方程(8)所接受的不變群的對稱算子為

(16)

應用構造積分—偏微分方程精確解的方法[13-14]和預李群分類法[17，30]研究方程(8)和(11)的群分析、群不變解和顯式解析解，需要構造方程(8)的不變群的全體生成元(13)的三維李代數L3=span{X1，X2，X3}的最優化子李代數系統，其中相應的γ=0，1，2.

根據算法[13-14]和李代數L3=span{X1，X2，X3}的交換運算表1得內自同構

表1 李代數L3=span{X1，X2，X3}的交換運算表

求解對應的李方程得內自同構相應的李群分別為

其中bi(i=1，2，3)分別是對應李群Ai(i=1，2，3)的群參數.根據文獻[33]中的兩步算法獲得三維李代數L3=span{X1，X2，X3}的一維、二維和三維最優化子李代數系統分別為

{X1}，{X2}，{X3}，{X1+(1+γ)X2+εX3}，

{X1+αX2}，{X1+αX2，X3}，{X1，X2}，{X2，X3}，

{X1，X2，X3}，α∈，ε=±1.

2預李群分類法

既然非齊次積分—偏微分方程(11)對應的齊次積分—偏微分方程(8)的對稱和全部群分析已給出，這暗示可以充分利用預李群分類法的算法思想[26-28]來探究非齊次積分—偏微分方程(11)的性質、結構、對稱、群不變解和顯式解析解以及源函數S的群分類等.因此，在偏微分方程的預李群分類法[26-28]和積分—偏微分方程的預李群分類法[17，30]的啟發下，探究非齊次積分—偏微分方程(11)的預李群分類算法．

2.1預李群分類算法和方程(11)的決定方程

方程(8)接受的無窮小李對稱算子(13)對應的標準Lie-B?cklund算子[12-14]為

假設方程(11)接受的標準Lie-B?cklund算子[12-14]為

這里cj(j=1，2，3)是常數，則算子X相應的標準Lie-B?cklund延拓算子[12-14]變成

xKx(x，y)f(y，t)]dy.

(17)

(1+γ)tDt(Lf)-xDx(Lf)，

(18)

c2(f+tft)-c3ft]Sf，

[(1+γ)tft-xfx]·

g(s)=[(1+γ)tft(x(1-s)，t)-

x(1-s)fx(x(1-s)，t)]f(xs，t)+

f(x(1-s)，t)[(1+γ)tft(xs，t)-xsfx(xs，t)].

剩余的情形可以類似地通過計算給出. 因此，非齊次積分—偏微分方程(11)的決定方程[12-14]為

(19)

這里|(11)表示方程(11)的任一解f=f(x，t)都滿足決定方程(19). 注意到Lf=S和算子(18)，決定方程(19)具體變成

c1xSx+[c3+(c2-c1(1+γ))t]St-

c2fSf=[c1(1+γ)-2c2]S.

(20)

2.2獲得決定方程(20)的另外一種方法

鑒于齊次積分—偏微分方程(8)所接受的不變群的無窮小李對稱算子(13)較簡單且構成的李代數的維數是有限的，決定方程(20)可以利用相應的一維李群變換法而得到. 事實上，方程(11)的任一解被算子(13)對應的李群變換映射為同一方程的解. 因此，構造一個被變換的任一解代入該方程，然后關于群參數求導并取群參數為零即可獲得決定方程(20)，其具體算法核心思想闡述如下. 首先求解對稱算子(13)對應的李方程得其相應的李群為

其中aj∈(j=1，2，3)是群參數. 假設g=g1°g2°g3是李群gj(j=1，2，3)的合成，則得到群g為

(21)

(22)

把李群g和g-1的相應變換和(22)式代入方程(21)，運用齊次核函數的性質(3)或(6)式，通過計算整理可以獲得

S(xea1，tea2-(1+γ)a1+a3ea2-(1+γ)a1，fe-a2)=

f(x(1-s)，t)f(xs，t)ds+

(23)

根據假設條件李群g把方程(11)的任一解f=f(x，t)變換成同一方程(21)的解，所以方程(23)變成

S(xea1，tea2-(1+γ)a1+a3ea2-(1+γ)a1，fe-a2)=

e(1+γ)a1-2a2S(x，t，f).

(24)

進一步取ai=cia(i=1，2，3)，其中ci∈(i=1，2，3)和a∈均為群參數. 對方程(24)兩邊同時關于群參數a求導并令a=0，則可以得到決定方程(20)．

在齊次方程(8)所接受的無窮小李代數的維數有限且較簡單的前提下，采用預李群分類法獲得非齊次方程(11)的決定方程(20)的后一種方法比前一種更簡捷．

3方程(11)的預李群分類

決定方程(19)和(20)具有兼容性，由于當S=0時它們都有相同的解.決定方程[12-14](19)并不需要很困難地按照求解積分—偏微分方程的決定方程[15-23，25]的啟發探索性思維去探求通解，相反卻是求解一個關于源函數S(x，t，f)的一階線性非齊次偏微分方程(20). 鑒于預李群分類算法的核心思想，因此采用決定方程(20)探究源函數S(x，t，f)和帶齊次核函數(4)的方程(11)的部分群分析．

3.1源函數S(x，t，f)的求解

情形1一維子李代數{X1+αX2}.

X1+αX2:c1=1，c2=α，c3=0.

把系數ci(i=1，2，3)的值分別代入決定方程(20)得

xSx+(α-1-γ)tSt-αfSf=(1+γ-2α)S.

對任意一個連續可微的二元函數ψ，該一階線性非齊次偏微分方程的一般解可寫成

(25)

情形2二維子李代數{X1+αX2，X3}.

X1+αX2:c1=1，c2=α，c3=0，

X3:c1=0，c2=0，c3=1.

把系數ci(i=1，2，3)的兩組值分別代入決定方程(20)得

xSx+(α-1-γ)tSt-αfSf=(1+γ-2α)S，

St=0.

對任意一個連續可微的一元函數φ，該一階線性非齊次偏微分方程組的一般解為

S(x，t，f)=x1+γ-2αφ(xαf)，α∈.

情形3三維子李代數{X1，X2，X3}.

X1:c1=1，c2=0，c3=0，

X2:c1=0，c2=1，c3=0，

X3:c1=0，c2=0，c3=1.

把這些系數ci(i=1，2，3)的值都分別代入決定方程(20)得

xSx-(1+γ)tSt=(1+γ)S，

tSt-fSf=-2S，St=0.

對任一常數c，該一階線性非齊次偏微分方程組的一般解為

S(x，t，f)=cx1+γe2f.

剩余子李代數對應方程(11)的源函數S(x，t，f)可以類似地求出，為了行文簡潔，不再一一給出其求解過程，其相應結果列于表2至表5．

3.2方程(11)的群不變解

情形1K(x，y)=k0，{Y1+αY2}.

(26)

其中，φ(z)滿足約化的積分—常微分方程

(27)

(28)

顯式解析解(28)滿足性質當t→+∞,f(x，t)→0和當x→+∞,f(x，t)→0. 它們分別表明非負顯式解析解(28)是漸近穩定的和對任意尺寸(質量或體積)足夠大的微粒子其種群密度分布函數必然為零[5]. 顯式解析解(28)對應的邊界條件和柯西問題的初值條件分別為

用顯式解析解(28)易計算出種群的平均總量M0(t)(零階矩)和種群的總質量M1(t)(一階矩)在t時刻分別為

(29)

受(29)式中一階矩M1(t)數值結果的啟發，對帶一般非負核函數(2)的方程(1)的任一解f(x，t)，性質(29)中的一階矩仍然為常數，即種群的總質量仍然保持守恒. 事實上，用x乘以方程(1)的兩邊，然后從0到∞關于x積分，交換二重積分的積分次序后再利用核函數的對稱性(2)容易證明

(30)

(30)式表明對帶一般非負核函數(2)的方程(1)的任一解f(x，t)滿足種群質量守恒，即一階矩μ1(t)滿足恒等式

情形2K(x，y)=k1(x+y)，{Z1+αZ2}.

其中，函數φ(z)滿足約化積分—常微分方程(39)．

情形3K(x，y)=k2xy，{T1+αT2}.

其中，函數φ(z)滿足約化積分—常微分方程(44)．

剩余的子李代數對應的群不變解可以類似求出，其結果列于表2至表4.其中二維和三維子李代數對應方程(11)的群不解，需要研究二維和三維子李代數的一維最優化子李代數分類.由于求解的方法與前面的情形類似，故為了行文簡潔，省略其具體求解過程，僅把其相應源函數的分類結果列于表5．

表2 帶源函數S(x，t，f)的方程(11)的群不變解和約化方程，K(x，y)=k0，ε=±1Tab.2 The invariant solutions and reduced equations of equation (11) withthe source term S(x，t，f)，where K(x，y)=k0，ε=±1

表3 帶源函數S(x，t，f)的方程(11)的群不變解和約化方程，K(x，y)=k1(x+y)，ε=±1Tab.3 The invariant solutions and reduced equation of equation (11) withthe source term S(x，t，f)，where K(x，y)=k1(x+y)，ε=±1

續表2

表4 帶源函數S(x，t，f)的方程(11)的群不變解和約化方程，K(x，y)=k2xy，ε=±1Tab.4 The invariant solutions and reduced equation of equation (11) withthe source term S(x，t，f)，where K(x，y)=k2xy，ε=±1

表5 帶齊次核函數(3)的方程(11)的源函數S(x，t，f)的群分類Tab.5 The group classfication of the source function S(x，t，f) for equation (11) with the homogeneous kernel (3)

(31)

(32)

(33)

(34)

ε=±1，

(35)

ψ(x，φ)=0，

(36)

(37)

ε=±1，

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

εzφ′+3εφ+

(43)

(44)

4結論與探討

利用預李群分類法給出了非齊次積分—偏微分方程(11)的決定方程的兩種算法. 應用預李群分類法獲得了帶源函數的非齊次積分—偏微分方程(11)的部分群分析、源函數的解析式、群不變解、顯式解析解和約化的積分—常微分方程. 所獲得結果表明預李群分類法不但能應用于帶源函數的積分—偏微分方程而且是行之有效的解析求解工具之一．

采用改進的李群分析法[13-14]直接研究非齊次積分—偏微分方程(11)的完全李群分析，是一個棘手的問題，包括對任意項源函數S(x，t，f)的李群分析. 另外，如何運用改進的李群分析法[13-14]探究積分—偏微分方程(9)和帶非齊次核函數(2)的積分—偏微分方程(1)的對稱、群不變解、約化的積分—常微分方程和顯式解析解等都值得在今后的研究工作中進一步深思和探討．