一類Cantor-Moran譜測度的極大正交集

殷峰麗，白 梅

(周口師范學院數學與統計學院，河南 周口 466001)

對于一個具有緊支撐的Borel概率測度μ，若存在指數函數族E(Λ):={e2πiλx:λ∈Λ} (Λ為中的可數子集)為Hilbert空間L2(μ)的正交基，則稱μ為譜測度，稱Λ為譜測度μ的譜.關于譜測度理論的研究已經有很長的歷史，可以追溯到1967年 Landau[1]的著名工作.自1974年Fuglede[2]提出著名的譜集猜想后，此理論獲得廣泛關注并取得了豐碩成果[3-10].經過近半個世紀的蓬勃發展，目前依然是傅里葉分析及其應用中的研究熱點之一．

由于不同的譜對應的傅里葉級數的收斂性未必相同，為了更好的研究收斂性，有必要尋找更多的譜，而尋找更多譜的渠道之一是完全刻畫極大正交集.Dutkay等[11]于2009年刻畫了四分康托測度的所有極大正交集，他們是借助4進制展式以及二分樹上的譜標簽進行刻畫的.2013年，戴欣榮等[12]考慮了連續型數字集所誘導的自相似測度，他們利用q分樹上的極大映射對極大正交集Λ進行分類.受這些思想的啟發，本文關注一類Cantor-Moran測度[13-14]，考慮給出其極大正交集的刻畫.Cantor-Moran測度的具體構造如下：

是一個由無窮個離散測度卷積生成的Borel概率測度，稱其為Cantor-Moran測度，這里δE=(#E)-1∑e∈Eδe，#E表示集合E的勢．

1預備知識及主要結論

1)E(Λ)中任意元素兩兩正交；

2) 若α?Λ，eα不與eλ正交 (λ∈Λ).

給定測度μ，其傅里葉變換為

對于測度μ{pn，dn}，通過計算可得其傅里葉變換為

這里，Mdn(ξ)=e-πidnξcos(πdnξ)，Pn=p1…pn.令Ζ(h)={ξ:h(ξ)=0}，則

且

(1)

i)τ(?)=τ(0n)=0，n≥1;

ii) 對任意k≥1，τ(i1i2…ik)∈(ik+2

給定一個極大映射τ，定義如下集合

及

定理1Λ(0∈Λ)是L2(μ{pn，dn})的極大正交集當且僅當存在極大映射τ使得

2主要結論的證明

本節給出定理1的證明，為此首先給出一個引理.為了行文的完整性，詳述如下.

引理1[15]令Ck={-1，0，1，…，bk-2}，其中整數bk≥3(k≥1)，則對任意n∈，n≠0，存在唯一的σ=σ1σ2…σk(σk∈Ck，σk≠0)，使得

n=σ1+σ2b1+…+σkb1b2…bk-1∶=π(σ).

此外，若n=0，則σ=σ1=0．

證明對任意n∈及|n|

則n=π(σ).當|n|>b1時，則n可以被唯一的分解為n=c1+n1b1，這里c1∈C1.若|n1|

注此引理說明了任意整數按照此種方式展開，展式是唯一的，由于展開式中每層的系數屬于不同的數集，因此此種展式也稱整數n依Moran進制C1×C2×…展開．

k∈，m∈2

其中a0=0. 由引理1將aλ依Moran進制C1×C2×…展開，則有

(2)

為前n項系數確定的Λ中所有元素依(2)展開式第n+1項系數的全體，其中ci∈C1，1≤i≤n. 有如下引理．

引理2設0∈Λ?. 若Λ是L2(μ{pn，dn})的極大正交集，則D(?)僅含有兩個奇偶性不同的元素. 進一步，若D(c1，c2，…，cn)(cj∈Cj)非空，則它也僅含有奇偶性不同的兩個元素. 特別地，0∈D(0，…，0)．

證明顯然0∈D(?)，0∈D(0，…，0). 若D(?)只含有一個元素，則D(?)={0}. 取C1中奇數α，則對任何λ∈Λ，由公式(2)可得

下面用歸納法證明所得結論. 假設上述情況對n-1成立. 若D(c1，c2，…，cn)非空，則所有D(c1，c2，…，ck)(k≤n)也非空. 可以說明D(c1，c2，…，cn)必定含有至少兩個元素. 否則，考慮

這里α∈Cn+1且與D(c1，c2，…，cn)中元素奇偶性不同. 斷言θ與Λ中所有元素都正交. 事實上，若λ∈Λ，則λ可表為

令k為滿足Ι|k≠Ι′|k的第一個指標. 由于dn+1|dn，故

下證必要性. 定義τ(?)=0且二分樹的第一層各分支τ(i1)對應D(?)中與i1共奇偶的數. 對于I=i1i2…in，定義τ(Iin+1)對應D(τ(I|1)，…，τ(I|n))中與in+1共奇偶的數. 由歸納法和引理2知，τ是定義好的，且對任意k≥1有τ(0k)=0.