從一道高考題的思路剖析談高考備考建議

◇ 廣東 黃 惠

2020年高考剛剛結(jié)束，今年全國(guó)卷Ⅰ解析幾何大題中第(2)小題考查的主要內(nèi)容是直線與橢圓的位置關(guān)系中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)也是常規(guī)問(wèn)題，具有一定的綜合性，主要考查考生在“動(dòng)”中找“靜”的能力，需要考生具有較強(qiáng)的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)據(jù)處理等能力．

直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的主要求解思路:要證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，只需證明直線的方程是直線系的形式(含參數(shù))．根據(jù)題設(shè)，這個(gè)參數(shù)可以是動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以是直線的斜率，所以?xún)煞N方法本質(zhì)上是一樣的，不同的是選擇直線方程的哪種形式問(wèn)題．

1 高考題的解題思路剖析及引發(fā)的思考

例(2020全國(guó)卷Ⅰ理科20題)已知A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，G為E的上 頂 點(diǎn)為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．

(1)求E的方程；

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn)．

1.1 高考題的思路剖析

(2)思路1我們會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P是主動(dòng)點(diǎn)，C，D是點(diǎn)P的從動(dòng)點(diǎn)，那么C，D的坐標(biāo)可以用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來(lái)．根據(jù)題意，點(diǎn)C，D分別是直線PA，PB與E的交點(diǎn)，故聯(lián)立直線與曲線方程即可，這樣點(diǎn)C，D的坐標(biāo)就都跟某個(gè)參數(shù)有關(guān)，即直線CD的點(diǎn)斜式方程只含一個(gè)參數(shù)(注意要考慮參數(shù)的值是否會(huì)使斜率不存在的情況出現(xiàn))，這樣就可以找出定點(diǎn)．

解法1由(1)知A(－3，0)，B(3，0)，設(shè)P(6，t)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，則直線PA的方程為y＝聯(lián)立方程得

思路2要想證明直線CD恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，只需確定直線CD的直線系方程，為了減少參數(shù)個(gè)數(shù)，可設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋m(斜率不存在時(shí)，單獨(dú)證明)，通過(guò)題目已知條件找出k與m的關(guān)系．要找出k與m的關(guān)系就必須列出關(guān)于k，m的等式，通過(guò)分析可知等式來(lái)源于直線AC，BD相交于點(diǎn)P．

解法2當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí)，設(shè)直線CD:x＝n，則由(1)知A(－3，0)，B(3，0)，設(shè)P(6，t)，由kAC＝kAP得

同理，由kDB＝kPB得

當(dāng)直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx＋m，聯(lián)立方程

設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則

直線AC的方程為把x＝6代入同理，由直線BD得P(6，化簡(jiǎn)得

把③④代入⑤，得

把含有根號(hào)的放到等式的一邊，整理得

1.2 引發(fā)的思考

縱觀近幾年解析幾何大題，不難發(fā)現(xiàn)，高考考查的知識(shí)點(diǎn)和能力點(diǎn)都沒(méi)有超出通性通法的范疇，由此引發(fā)如下三點(diǎn)．

1)認(rèn)清解析幾何的本質(zhì)

要引導(dǎo)學(xué)生利用代數(shù)來(lái)研究幾何問(wèn)題，通過(guò)幾何圖形反映代數(shù)形式．要關(guān)注學(xué)生對(duì)幾何圖形的掌握情況，是否會(huì)用圖形語(yǔ)言來(lái)表達(dá)幾何問(wèn)題，同時(shí)，要關(guān)注學(xué)生是否會(huì)用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題．

有了總體框架之后，立足于學(xué)生是否會(huì)操作，有沒(méi)有掌握幾何問(wèn)題“解析化”的過(guò)程，從方程、數(shù)值、圖形中是否能找到幾何對(duì)象，分析其特征，找到代數(shù)的方法，通過(guò)代數(shù)結(jié)果，得出幾何結(jié)論．

2)重視基本問(wèn)題

圓錐曲線中最基本的兩個(gè)問(wèn)題，一是曲線的定義，二是曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的來(lái)源．其他問(wèn)題都是在這兩個(gè)問(wèn)題的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，所以一定要重視定義的形成過(guò)程和方程的推導(dǎo)過(guò)程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中常見(jiàn)的模型主要有相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、與弦長(zhǎng)有關(guān)的三角形和四邊形問(wèn)題、定點(diǎn)和定值問(wèn)題、與向量結(jié)合問(wèn)題等，這些都要有所積累，研究這些問(wèn)題中的共同特征，掌握基本的解決問(wèn)題的方法．

3)注重解題策略

解析幾何問(wèn)題考查難度屬于中上水平，涉及數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力，要得出最后結(jié)果對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)困難重重，所以平時(shí)要從這些方面入手:如何引入?yún)?shù)，引入?yún)?shù)的原則是什么(盡量減少參數(shù)個(gè)數(shù)，聯(lián)系所學(xué)的基本模型列出等式，簡(jiǎn)化運(yùn)算)；如何設(shè)計(jì)運(yùn)算思路，即優(yōu)化解題過(guò)程，關(guān)注運(yùn)算的對(duì)象，識(shí)別題目所存在的模型有哪些(定點(diǎn)、定值、弦長(zhǎng)有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題等)；如何更接近最后的結(jié)果，代數(shù)方法的選擇(函數(shù)與方程思想、設(shè)而不求、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式、整體消元等)．雖然題目的問(wèn)法可能不同，但是掌握一定的策略之后就可以順利求解．

2 高考備考建議

1)要在理解知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)的前提下掌握有關(guān)考點(diǎn)

高考試題中，有直接考查知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單記憶的試題，但更多的是在對(duì)本質(zhì)理解的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)應(yīng)用的考查．例如，“直線方程”部分，從宏觀的角度看，其本質(zhì)是兩種轉(zhuǎn)化，即“幾何問(wèn)題代數(shù)化”和“代數(shù)問(wèn)題幾何化”；從微觀角度看，直線方程的5種形式中，“點(diǎn)斜式”的本質(zhì)是“已知點(diǎn)和斜率就可以確定直線方程”和“已知直線方程的點(diǎn)斜式就可以確定直線的斜率和其經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的坐標(biāo)”．

2)要注重“思路分析”的邏輯性

任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都要注意兩點(diǎn)，首先是思路的切入點(diǎn)，比如本文試題中第(2)題的切入點(diǎn)非常重要；其次是在找到切入點(diǎn)后的分析過(guò)程中遇到思維受阻時(shí)如何突破的問(wèn)題．比如今年全國(guó)卷Ⅰ的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，其切入點(diǎn)非常容易找到，即分離參數(shù)，但分離后的函數(shù)求最值過(guò)程中，針對(duì)導(dǎo)函數(shù)的最值點(diǎn)判斷思維容易受阻，突破的方式就是通過(guò)不等式放縮將超越式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式．

3)要注重“通性通法”

高考試題的解法大多數(shù)都在“通性通法”的范疇內(nèi)，所以在備考中要注重“通性通法”，這樣不但可以避免“刷題”的勞累和備考的低效，還會(huì)產(chǎn)生“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的自信．

4)要關(guān)注“易錯(cuò)點(diǎn)”

高考考查的目標(biāo)中包括考查“思維的嚴(yán)謹(jǐn)性”，所以在備考中一定要關(guān)注每個(gè)知識(shí)體系或知識(shí)塊中的“易錯(cuò)點(diǎn)”．