函數圖形的應用問題

◇ 李京林

函數圖形的應用在各級各類考試中出現的頻率越來越高，內容可以涉及方方面面．解題的關鍵是正確理解函數圖象的變化規律，利用函數圖象特征、性質對實際問題進行綜合分析．下面結合幾類常見函數圖象的應用問題加以實例剖析．

1 實際問題中抽象函數圖象的分析

例1在股票買賣過程中，經常用到兩種曲線，一種是即時價格曲線y＝f(x)，一種是平均價格曲線y＝g(x)(如f(2)＝3表示開始交易后第2小時的即時價格為3元；g(2)＝4表示開始交易后2個小時內所有成交股票的平均價格為4元)．下面所給出的4個圖象中，實線表示y＝f(x)，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是( )．

剛開始交易時，即時價格和平均價格相等，排除選項A；開始交易后，平均價格應該跟隨即時價格變化，在任何時刻其變化幅度應該小于即時價格變化幅度，排除選項B和D．故選C．

在解決與現實生活相關的函數圖象問題時，往往通過實際問題在不同情況下所具有的特征，結合函數圖象的變化特征加以分析與判斷．

2 運動問題中函數圖象的判斷題

例2如圖1，點P在邊長為1的正方形ABCD上運動，設點M是CD邊的中點，當點P沿A→B→C→M運動時，點P經過的路程記為x，△APM的面積為y，則y＝f(x)的圖象可能是( )．

圖1

當點P從A到B運動時，△APM的面積y直線上升，達到最大值；當點P從B到C運動時，△APM的面積y逐漸減?。鶕膱D形，只有A滿足條件，故選A．

對于運動性函數圖象問題，通過實際函數圖象考查分段函數問題，學會在實際情境中理解函數關系，并綜合實際問題與數學問題之間的關系加以分析有關的圖象問題．

3 函數圖形與函數性質的交會與綜合問題

例3圖2到圖4展示了一個由區間(0，1)到實數集R的映射過程:區間(0，1)中的實數m對應數軸上的點M，如圖2；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A，B恰好重合，如圖3；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為(0，1)，如圖4．圖4中直線AM與x軸交于N(n，0)，則m的象就是n，即記作f(m)＝n．

圖2

圖3

圖4

①f(0．25)＝1；②f(x)是奇函數；③f(x)在定義域上單調遞增；④f(x)的圖象關于點(0．5，0)對稱．由圖4可知，當m＜0．5時，f(m)＜0，故①不正確；由于0＜x＜1，f(x)的定義域不關于原點對稱，所以f(x)不是奇函數，故②不正確；當點M由點A運動到點B時，點N的運動方式是從－∞運動到＋∞，f(x)為增函數；當m＝0．5時，f(m)＝0，由圖象知道其是對稱的，即f(x)的圖象關于點(0．5，0)對稱．故填③④．

實際應用中，往往給出一個函數圖象，通過函數圖象所表達出來的性質確定函數的相關性質，這也是高考中經常涉及的一類有關函數圖象的題型，要正確加以分析與應用．