例談數(shù)學(xué)審題的“三要素”

◇ 閆 瑞

數(shù)學(xué)解題離不開審題，那么審題應(yīng)該審什么?仁者見仁，智者見智．筆者認為審題主要有3個視角，即審條件、審結(jié)論、審方法，在此不妨稱其為審題的三要素．本文以一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題的解答為例，從這三要素來談?wù)剬忣}．

例已知函數(shù)f(x)＝sinx＋alnx－1在點處的切線斜率為

(1)求a的值；

(2)求證:f(x)在(0，π)上存在唯一的極大值；

(3)直接寫出函數(shù)f(x)在(0，2π)上的零點個數(shù)．

1 審條件

條件是題目所給的解題依據(jù)，是解題的入手點．題目所給的條件有的是直接的，有的是間接的，審清題目條件是解題的關(guān)鍵．

審本題中給出了曲線f(x)在點處的切線斜率，即點為切點，對于切點來說，其具有三重性質(zhì)，即切點在曲線上、切點在切線上、在切點的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率．

解(1)求導(dǎo)得，解得a＝1．

此問考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，此類問題求解中要注意曲線在某點的切線與過某點切線的區(qū)別．

2 審結(jié)論

結(jié)論是題目所求的或所證的內(nèi)容，審結(jié)論要明確:要想得到這一結(jié)論，需要滿足什么樣的條件，接下來再去驗證這些條件是否滿足．

審本題第(2)問是求證f(x)在(0，π)上存在唯一的極大值．極值點，即導(dǎo)函數(shù)的變號零點，若結(jié)論成立，需滿足f′(x)在區(qū)間(0，π)內(nèi)單調(diào)，且f′(0)·f′(π)＜0，其圖象大致為圖1或圖2的情形．因此問題求證的過程，就是驗證這些條件是否滿足．

圖1

圖2

解(2)對函數(shù)f(x)＝sinx＋lnx－1求導(dǎo)得，易知當x∈(0，π)時，f″(x)＜0恒成立，所以f′(x)在區(qū)間(0，π)內(nèi)單調(diào)遞減．又所以在區(qū)間(0，π)存在x＝x0，使得f′(x0)＝0．所以f(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(x0，π)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x＝x0為f(x)在區(qū)間(0，π)內(nèi)唯一的極大值點，f(x0)為唯一的極大值．

3 審方法

審方法是通過題目類型來確定簡捷的求解方法，這就需要我們平時對題型進行歸納和總結(jié)．函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題，類型眾多，但每種題型均有方法可循．

審本題第(3)問是判斷函數(shù)的零點個數(shù)問題，常規(guī)方法往往需要借助函數(shù)零點存在定理，選擇特殊點，并判斷其函數(shù)值的正負．但此問要求直接寫函數(shù)f(x)在(0，2π)上的零點個數(shù)，因此求解方法更加靈活，可將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)來處理．

解由f(x)＝sinx＋lnx－1＝0，可得sinx＝－lnx＋1，設(shè)函數(shù)g(x)＝sinx，h(x)＝－lnx＋1，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖象．其圖形可能為圖3或圖4中的某種，再通過選取特殊值進行驗證即可．

圖4

圖3

由圖易知在區(qū)間(0，π)內(nèi)，函數(shù)g(x)，h(x)有1個交點．在區(qū)間(π，2π)內(nèi)，兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)可借助的大小關(guān)系來判斷．因所以函數(shù)g(x)，h(x)的圖象關(guān)系為圖4所示情形，故兩函數(shù)共有3個交點，函數(shù)f(x)有3個零點．