高考數學命題題源探究

◇ 張玉良

“年年歲歲題相似，歲歲年年人不同．”每一屆高三學生都會好奇高考題是如何命制的，高考命題題源在哪．如果能弄清楚這兩個問題，高三的備考就更有針對性了．筆者通過對2019年全國卷及獨立命題的省市高考題進行歸納、整理，得出了高考命題的幾個重要來源，供高三考生備考參考．

1 源于教材

教材是教師教學、學生學習的主要依據，教材中包含了學生必須要掌握的內容，其中例題、習題具有很強的代表性，因此教材也成為高考命題的重要依據．不難發現，很多考題都是以教材中的例題或習題為背景，通過改編得到的，因此對教材的深入探究是高考備考的重要內容．

例1(2019年全國卷Ⅲ)設F1，F2為橢圓C:的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標為

設F1，F2分別為橢圓的左、右焦點，由已知得a＝6，c＝4．設點M(x0，y0)，因為點M在第一象限，所以且MF1＞a＝6，0＜MF2＜6，又F1F2＝2c＝8，所以△MF1F2是以MF2為底邊的等腰三角形，所以MF1＝F1F2＝8，MF2＝4．所以點M即為方程(x0＋4)2＋y20＝64與在第一象限的解，聯立兩方程解得x0＝3或21(舍)，則，故點M的坐標為

考題探源(人教版《選修2-1》課后練習)已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，如果△PF1F2是直角三角形，求點P的坐標．

2 源于各市、區的模擬題

各市、區的模擬考試是參照考綱要求、命題原則命制試題的，是在高三各個復習階段檢測考生復習情況的階段性考試，試題的針對性較強，因此往屆的模擬考試試題也成為高考命題人參考的重要資料．

例2(2019年全國卷Ⅱ)設f(x)的定義域為R，滿 足f(x＋1)＝2f(x)，且 當x∈(0，1]時，f(x)＝x(x－1)．若對任意的x∈(－∞，m]，都有則m范圍是( )．

因為當x∈(0，1]時，f(x)＝x(x－1)，又因為f(x＋1)＝2f(x)，所 以f(x)＝2f(x－1)，即將f(x)的圖象向右平移1個單位，且圖象的縱坐標變為原來的2倍，如圖1所示．

圖1

當2＜x≤3時，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)·．因為x∈(－∞，m]時成立，所以．故選B．

考題探源定義在(0，＋∞)上的f(x)滿足:①當x∈[1，3)時，f(x)＝1－|x－2|；②f(3x)＝3f(x)．設關于x的函數F(x)＝f(x)－a的零點從小到大依次為x1，x2，…，xn，…．若a＝1，則x1＋x2＋若a∈(1，3)，則

3 源于往屆的高考題

對往年高考題進行改編和創新是高考命題的另一種重要形式，有時將題目條件進行改編，有時對所求結論或問題背景進行改編．

例3(2019年江蘇卷)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是

從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，不同的選法共C25＝10種情況．選出的2名同學中至少有1名女同學的情況有兩種:選出2名女同學，有C22＝1種選法；選出1名女同學，1名男同學，有C13C12＝6種選法．

考題探源(2018年全國卷Ⅰ)從2名女生和4名男生中選3人參加科技比賽，且至少有1名女生入選，則不同的選法共有種(用數字填寫答案)．

4 源于競賽試題

從內容來看高考與各級各類競賽互為補充，因此高考命題參考競賽命題也就不足為奇了．

例4(2019年全國卷Ⅱ)已知點A(－2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為．記M的軌跡為C．

(1)求C的方程；

(2)過原點O的直線交C于P，Q，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G．

(ⅰ)證明:△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值．

(2)(ⅰ)設直線PQ的斜率為k(k＞0)，則其方程為y＝kx，將 其 與 曲 線C的 方 程 聯 立，得x＝則P(t，tk)，Q(－t，

于是，直線QG的斜率為方程為t)，將其與C的方程聯立，得

令G(xG，yG)，則－t，xG是方程①的解，所以所以PQ⊥PG，△PQG是直角三角形．

(ⅱ)△PQG的面積的最大值為

考題探源已知直線x－y＋1＝0經過橢圓S:的一個焦點和一個頂點，過原點O的直線交橢圓S于點P，A，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為S，延長AC交橢圓S于點B，求證AP⊥BP．