基于幾何分析的正交圓軌道衛星星座設計方法

包 翔,雷 磊,沈高青,李志林

(1.南京航空航天大學 電子信息工程學院,南京 210016;2.中國電子科技集團公司航天信息應用技術重點實驗室,石家莊 050081)

0 概述

全球通信衛星星座的設計目前已經得到了長足的發展,研究人員對此做出了諸多的研究,但仍然存在部分問題有待解決[1-2]。極軌道星座是由LUDERS提出的一種非常經典的全球連續覆蓋星座構型。極軌道星座由若干相同高度且均采用圓極軌道的衛星構成,并且各軌道面的衛星數相同,軌道面內衛星等間隔分布。顯然,極軌道星座在經線維度上是分布均勻的,但是在緯線維度上則是隨著緯度的升高,衛星的分布變得密集。而全球人口的79.4%集中分布在北緯20°～ 60°地區,即衛星的通信業務將主要集中在中低緯度地區,這與極軌道星座衛星的密度分布不匹配,將導致高緯度地區衛星資源的嚴重浪費。另外,由于衛星轉發器在極區附近相互之間會產生干擾,需要暫時關閉指向其相鄰軌道衛星的轉發器,這又會導致衛星通信拓撲的變化等問題。因此,適量減少極區附近衛星數量而增加中低緯度的衛星數量非常必要,即衛星拓撲分布應更加均勻[3]。

針對上述問題,研究人員提出正交圓軌道星座構型,利用赤道軌道的中低緯度覆蓋特性,并使之與極軌道星座互補來實現全球的連續覆蓋。該構型可以有效減少極軌星座的衛星數量,從而降低了極區衛星的密集度,而且在中低緯度區域的覆蓋性能將得到大幅增強。一般來說,衛星星座的設計方法可以分為數值法和解析法[4-6]。數值法主要是指網格點法[7-8],在目標覆蓋區域選取一定數量的特征點,分析其覆蓋性能從而實現衛星星座的設計[9],該方法的評估結果與特征點的選取精度有關,且計算量大。文獻[10]將抽樣方法和網格點法相結合,并根據置信度和精度需求調整網格大小,在一定程度上提高了計算效率。文獻[11]同樣運用了抽樣理論,通過先分層后隨機的方式提升了計算效率。文獻[12]則是通過分區遞歸策略來優化傳統網格點法。盡管存在各種優化的網格點法,且易于理解,但其計算量也較大。解析法[13]一般計算量相對較小,但存在應用場景特殊化的問題。文獻[14]提出了多面體包圍的衛星星座設計方法,適用于橢圓軌道。文獻[15]提出的基于Delaunay三角網和Voronoi圖的空間幾何劃分方法,將多星覆蓋問題轉化為單星覆蓋進行分析。文獻[16]針對Walker星座提出了一系列判定定理,并根據衛星星下點軌跡對地面區域進行劃分,得到星座能覆蓋特征區域的充要條件。經典的覆蓋帶方法[17-18]本身能很好地用于極軌道星座的設計,但如果赤道軌道星座的設計也采用覆蓋帶法,就不能更好地利用兩種星座的幾何特性,因此,星座在通信性能等方面仍有提升空間。

本文采用基于幾何分析的設計方法,使設計的赤道軌道星座能夠覆蓋赤道軌道星座在非球冠區域產生的空隙,利用衛星的運動特性,計算出星座能完成全球覆蓋的最小單星覆蓋半寬度角。由于增大最小用戶仰角可解決多徑衰落和遮蔽的問題[19-20],以提高鏈路質量,本文通過增大中低緯度區域的用戶最小仰角,來提高通信質量。

1 基于覆蓋帶的正交圓軌道星座設計方法

1.1 極軌道星座和赤道軌道星座的連續覆蓋分析

極軌道星座的設計一般采用基于覆蓋帶的設計思想。由文獻[14]可知,衛星星座如果能保證某一緯度φ上的連續覆蓋,那么在緯度高于φ的區域,該衛星星座對地也是連續全覆蓋的。特殊地,當φ=0時,表示該衛星星座能夠完全覆蓋赤道,即可以實現全球的連續覆蓋。

當φ=φ0時,極軌道星座將保證緯度φ0以上區域的全覆蓋。需要注意的是,極軌道星座構型在經度向有高度對稱性,南北半球的覆蓋情況是一致的,故為敘述方便,只考慮北半球的情形,如圖1所示。其中,α′和c′分別是以緯度圈為參考面的衛星緯度圈覆蓋半圓心角寬度和覆蓋帶半圓心角寬度。α′和c′與以地心為參考度量的衛星覆蓋半地心角寬度α和覆蓋帶半地心角寬度c的關系為:

圖1 極軌道星座球冠覆蓋條件示意圖Fig.1 Schematic diagram of the coverage conditions of polar orbit constellation spherical cap

(1)

根據覆蓋帶的經典理論,并將其應用于球冠覆蓋場景,可知有P個衛星軌道的極軌道星座要保證緯度φ以上區域的全覆蓋,需要滿足:

(P-1)α′+(P+1)c′=π

(2)

赤道衛星星座由一系列具有相同高度、軌道傾角為0°且在軌道面上均勻分布的衛星組成,其軌道特性決定了該衛星星座能在中低緯度區域提供良好的帶狀覆蓋。該星座提供的覆蓋帶半寬度角即其所能實現連續覆蓋的最高緯度,假設為φE,由球面三角形的相關理論,有:

(3)

其中,αE為赤道星座衛星的對地覆蓋半地心角寬度,SE為赤道軌道上的衛星數量。

聯立式(1)～式(3),并令φ=φE,此時赤道星座的最高連續覆蓋緯度與極軌道星座最低連續覆蓋緯度相等,必能保證全球的連續覆蓋,又由α和c的幾何關系,可得:

(4)

傳統設計方法的核心即式(4)所表示的內容,式(4)有5個參數,可根據該式在已知極軌道衛星數量Sp、赤道星座衛星數量、SE和衛星覆蓋地心角的情況下得到極軌道衛星星座的軌道數量P,也可根據衛星數量和軌道數以及極軌道衛星的覆蓋半地心角寬度,計算赤道軌道的覆蓋半地心角寬度αE。

1.2 單重覆蓋條件下的冗余覆蓋問題

正交圓軌道星座設計的目的是保證全球范圍的連續覆蓋,根據文獻[3]提出的基于覆蓋帶的設計方法,當極軌道衛星星座和赤道軌道衛星星座的覆蓋區域邊界重合時,即φ=φE,可以保證滿足需求。但這種方法是不夠精細的連續覆蓋設計,在保證單重覆蓋的條件時,其覆蓋存在冗余。在低于緯度φ的區域,極軌道星座并不存在完全不能覆蓋的情況,只是在某時刻對該區域的覆蓋會產生空隙。并且該空隙的位置和大小會隨著衛星的運動而改變,隨著緯度升高,軌道面的間距減小,空隙面積也會越來越小,直到某一確定緯度φ時完全消失。

赤道衛星星座對空隙的覆蓋示意圖如圖2所示,圖2中經緯度并非地球表面的經緯度,因為在考慮全球的覆蓋時可忽略地球自轉的影響,可以將其當作赤經和赤緯。圖2 (a)、圖2 (b)表示不同的2個時刻星座對空隙區域的覆蓋情況,圖2(a)中所有空隙均在赤道星座覆蓋帶內,圖2(b)中有部分空隙在覆蓋帶之外。此時,赤道衛星星座只是最高覆蓋緯度高于空隙緯度,而最高連續覆蓋緯度則低于部分小空隙的緯度,但也能保證全球覆蓋。也就是說,赤道星座的覆蓋帶寬度小于空隙區域寬度時(φE<φ0)也可能保證全球的連續覆蓋。圖2中所展現的只是兩個特殊時刻的覆蓋情形,不足以說明該衛星星座能在所有時刻都完全覆蓋空隙。但如果在一個星座周期內都能保證赤道星座對空隙的覆蓋,就可以說明該復合星座對地面完全連續覆蓋。

圖2 赤道軌道星座對空隙區域的覆蓋示意圖Fig.2 Schematic diagram of coverage of gap area by equatorial orbit constellation

2 正交圓軌道星座設計方法

本節通過分析空隙區域的幾何特性,推導出赤道星座衛星完全覆蓋空隙區域的充要條件,結合其時變特性,提出一種新的正交圓軌道星座設計方法,并給出詳細的算法步驟。

2.1 空隙的幾何特性

由極軌道衛星的運行特點可知,極軌道星座產生的空隙區域的形狀大致分為兩種:一種由4顆衛星的地面覆蓋圓產生,空隙邊界為球面圓弧依次連接而成,空隙頂點是相鄰兩球面圓的交點,如圖3(a)所示,是逆向軌道面間產生的空隙;另一種是3顆衛星產生的封閉圖形,空隙邊界和頂點的構成因素與前者一致,如圖3(b)所示,由同向軌道面間產生,當然逆向軌道面間也能產生這種空隙。

圖3 空隙區域的產生Fig.3 Generation of gap areas

2.2 赤道軌道星座對空隙區域的覆蓋分析

定義1(球面弧凹集) 記球面上的一部分單連通區域為集合C,該集合的邊界由球面圓弧段依次連接而成,且對于每條邊界圓弧,過弧段端點的球面大圓只與該弧有交點,不穿過集合C的內部,稱集合C為球面弧凹集。

定義2(球面凸集) 球面凸集是球面上的單連通區域,且該區域中任意兩點間的大圓劣弧上的點都屬于該區域。

定理如果球面弧凹集C的邊界頂點均屬于球面凸集S,則有C∈S。

證明如果將球面弧凹集C的邊界頂點依次以大圓劣弧連接,形成新的單連通區域C′,那么C和C′的邊界頂點是一樣的,且由定義1可知C∈C′。又因為該邊界頂點屬于S,則C′的邊界上所有點均屬于區域S,那么在單連通區域S中有C′∈S,于是C∈S。得證。

在設計能覆蓋空隙區域的赤道軌道星座時,保證空隙區域頂點被赤道星座覆蓋并不能認為是整個空隙區域均被覆蓋,因為赤道星座對地覆蓋區域不是定義2中所描述的球面凸集,需要將其劃分成滿足球面凸集條件的小區域。

不乏一般性,本文只討論對三角空隙區域的覆蓋情況。如圖4所示,有4顆赤道軌道衛星,其對地覆蓋區域為4個球面圓域的疊加,整體來看并非球面凸集,但以相鄰衛星的星下點中垂大圓(相鄰兩衛星到該大圓上任意一點的球面距離相等)為劃分界線,將星座覆蓋區域分為4個子集,分別為A、B、C、D。由定義1可知,4個子集均是球面凸集。圖4中示意有3個空隙區域,考慮子集對空隙區域的覆蓋。由定義2可知,空隙區域G1、G2、G3均是球面弧凹集,且G1與劃分大圓無交點,根據定理可推出當G1的3個頂點均在子集B內時,G1在子集B中,從而可保證空隙G1被赤道軌道星座覆蓋;而空隙區域G2和G3均與相應劃分大圓相交于兩點,以G2為例,G2被分為兩個部分,左半部分為3個頂點的子集G2′,右半部分為4個頂點的子集G2″,且G2′的3個頂點均屬于子集C,G2″的4個頂點均屬于子集D,則根據定理也能保證空隙區域G2被赤道軌道星座覆蓋。另外,空隙區域G3被劃分后有一個頂點不屬于任何一個子集(A、B、C、D),說明當前參數的赤道軌道星座不能完全覆蓋空隙,其與極軌道星座結合而成的復合星座不能保證全球的連續覆蓋,這時在星座設計時就需要改變赤道軌道衛星的參數,增大其對地覆蓋地心角寬度,使之能覆蓋所有需要覆蓋的空隙區域。

圖4 赤道星座對地覆蓋區域凸集化劃分Fig.4 Convex division of the ground coverage area of equatorial constellation

2.3 正交圓軌道星座設計方法

基于2.2節的討論可以知,若使赤道軌道星座完全覆蓋地面空隙,需要保證空隙的頂點和空隙與劃分大圓相交得到的交點均屬于赤道星座覆蓋區域。本文方法首先需要對衛星的運動建模,以便以解析的方法精確計算衛星參數。然后在已設定極軌道星座參數的情況下,計算其覆蓋空隙區域的頂點和劃分大圓的交點,即空隙區域的特征點。隨后計算赤道軌道星座在保證覆蓋所有特征點時所需的單星最小對地覆蓋半寬度角,即是當前時刻的最小覆蓋參數。最后計算一個星座周期內所有抽樣時刻的最小覆蓋參數并取其最大值,可得星座的最終設計參數。

2.3.1 坐標系的建立

考慮地球為一均勻球體,并忽略其自轉運動。建立地心慣性坐標系(Earth-Centered Inertial coordinate system,ECI),以地心為原點,X軸和Y軸在赤道平面內,X軸指向春分點,Y軸垂直于X軸,且X、Y、Z3個軸復合右手螺旋準則,即Z軸指向北極,則衛星在該坐標系中的實時坐標(x,y,z)可以表示為:

(5)

2.3.2 空隙特征點集

每個極軌道星座衛星的對地覆蓋區域都是相等的球面圓,按照極軌道星座的默認設定,相鄰衛星的地面覆蓋圓必然有交點。并且空隙區域的頂點一定是某兩圓交點,且兩圓交點不一定是空隙區域的頂點。但是如果某兩球面圓產生的交點不在任何其他第3個圓的內部,則該交點必是空隙頂點,反之亦然。設衛星坐標點集為S={s1,s2,…,sn},那么兩圓交點可由式(6)得到:

(6)

其中,i,j= 1,2,…,n,且i≠j,<>表示兩向量的夾角。若上式有解即表示衛星si和sj的地面覆蓋圓存在交點,且交點坐標就是方程解(x′,y′,z′)。繼而對于?k=1,2,…,n,且k≠i,k≠j,若滿足:

>α

(7)

則該球面圓交點是空隙的頂點。記所有空隙的頂點組成的頂點集為V′={v1,v2,…,vm}。

如2.2節中的分析,以上只求得了空隙區域的頂點,還有赤道軌道星座覆蓋劃分子區域與空隙邊界產生的交點也要納入考慮。空隙的邊界是極軌道星座衛星對地覆蓋球面圓的一部分圓弧,如果頂點集中的某兩個元素vp、vq(p,q= 1,2,…,m,且p≠q)只同屬于一個球面覆蓋圓,且vp和vq之間的劣弧上不存在另一個點也屬于點集V′,則vp和vq之間的這段劣弧是空隙的邊界。容易判斷赤道星座區域的劃分圓弧是否與空隙邊界有交點,如有,則記邊界所屬圓的覆蓋衛星為si,產生劃分圓弧的兩相鄰赤道星座衛星的坐標為(xa,ya,za)和(xb,yb,zb),其交點坐標(x″,y″,z″)可根據式(8)求得:

(8)

由于式(8)可能會得到一個不與空隙邊界相交的衍生解,因此可根據vp、vq和(x″,y″,z″)的赤經赤緯范圍來得到滿足要求的正確解。將所有與空隙邊界相交產生的交點集記為V″。令V=V′∪V″,V為空隙的特征點集,包括空隙區域的頂點和子區域劃分產生的交點,只需保證V中的每個元素都在赤道衛星星座的覆蓋區域內即可說明全球被無縫隙覆蓋。

2.3.3 赤道軌道星座的最小覆蓋參數

赤道軌道星座的最小覆蓋是指在給定赤道衛星數量時,其實現的地面覆蓋剛好能完全覆蓋極軌道星座產生的空隙區域,如果繼續減小赤道星座的覆蓋范圍就不能實現全球的連續覆蓋。記赤道星座的坐標點集為,E={el|e1,e2,…,eL},l=1,2,…,L;V={vf|v1,v2,…,vF},f=1,2,…,F。那么赤道衛星星座為最小覆蓋時,其地面覆蓋半地心角寬度αE為:

(9)

式(9)得到的是該衛星時刻赤道星座的覆蓋參數,要實現復合星座的全球連續覆蓋設計,還需要計算一個衛星周期內的覆蓋參數并取其最大值。

3 實例與仿真分析

本節選取了幾種典型的赤道軌道星座,對比了傳統方法和本文所提方法計算得到的赤道軌道星座衛星參數的差異,通過覆蓋冗余度和緯度平均仰角特性說明本文所提出的方法的必要性,然后利用STK衛星仿真工具對本文設計的星座進行了仿真分析,說明本文方法的有效性。

3.1 星座覆蓋分析

為說明基于幾何分析的正交圓軌道設計方法的必要性,將本文方法與傳統設計方法進行比較。使用兩種方法實現星座的全球連續覆蓋,在其他參數一致的條件下,比較兩者所得赤道衛星覆蓋半地心角寬度的大小。

表1 正交圓軌道星座設計方法參數比較Table 1 Parameter comparison of design method of orthogonal circular orbit constellation

(10)

從表1可以看出,在滿足全球連續覆蓋的前提下,本文方法所得到的單個衛星覆蓋半地心角寬度均小于傳統設計方法,且這幾種星座傳統設計方法的覆蓋冗余度最高達到8.67%,說明了計算赤道星座最小覆蓋參數的必要性。

當極軌道面數為4,單個極軌道面的衛星數為9,赤道軌道的衛星數為9時,記該復合星座為4-9-9型星座,下同。以4-9-9型星座為例,由式(3)可知,傳統方法得到赤道衛星星座的最高連續覆蓋緯度為18.09°,而本文方法得到的最高連續覆蓋緯度為15.02°。可見,用本文方法所設計赤道星座的連讀覆蓋緯度是低于最高覆蓋緯度的,也即低于傳統設計方法所要求的緯度。

3.2 緯度平均仰角特性

在一個星座周期內,稱某個樣本點的最小用戶仰角的時間平均值為此點的平均仰角,而對某一緯度上的所有抽樣點的時間平均仰角取平均值,即為緯度平均仰角。

設地面采樣點的緯度精度為1°,零緯度線上的經度精度也為1°。為保證地面采樣點的均勻,緯度φ0上的經度精度是零緯度上精度的1/cos(φ0) ,使緯度線上的經度精度隨著緯度的增大而降低。

圖5是不同緯度上的平均仰角隨緯度的變化規律,三角點線是本文基于幾何分析方法的平均仰角特性,圓點線是傳統設計方法的平均仰角特性。由于星座的對稱特性,且星座在高緯度地區兩種星座的參數一樣,因此只選取北半球中低緯度作為采樣區域。從圖5可以看出,基于幾何分析的方法在低緯度地區的用戶仰角特性優于傳統方法,這是本文設計方法所具有的一個必然的好處。而且隨著緯度增大,兩者仰角特性的差異會逐漸減小直至為零,這是因為本文方法是在傳統設計方法的基礎上,通過分析極軌道星座覆蓋空隙的特點,對赤道軌道星座參數進行優化,所以對于赤道軌道衛星不能覆蓋的區域,兩種設計方法的星座性能是一樣的。

圖5 緯度平均仰角特性Fig.5 Average elevation angle characteristics with latitude

3.3 STK仿真與結果分析

利用STK的覆蓋分析功能模塊對2-6-6型星座和4-9-9型星座的全球覆蓋能力進行仿真。2-6-6型星座的運行周期為182 min,4-9-9并且星座的運行周期為116 min,仿真時間選取稍大于星座周期的時段,時間步長為60 s,地面柵格點粒度為1°。圖6為STK產生的一個星座運行周期內全球平均覆蓋率和時間的變化關系。

圖6 星座周期的實時覆蓋率示意圖Fig.6 Schematic diagram of real-time coverage of constellation period

從圖6可以看出,本文方法設計的星座在絕大部分時刻能保持100%的全球覆蓋率,只在極少數時刻可能會出現覆蓋不到的區域,如圖6(a)出現了兩個時刻的覆蓋率為99.997 5%,其他仿真時刻的覆蓋率均為100%,圖6(b)所示的4-9-9型星座則完全是100%的全球覆蓋。產生這種現象的原因是設計星座時計算衛星的位置實際上不連續,是以一定步長取不同抽樣時刻來計算的。正是這種時間上的非連續導致了空隙位置在計算結果中以非周期的形式呈現,使結果存在極小的誤差。

4 結束語

本文根據極軌道星座對地覆蓋空隙區域的特點,分析其幾何特性,并在此基礎上建立了合適的坐標系,以解析的方法得到赤道軌道衛星的參數,通過與傳統基于覆蓋帶的設計方法進行對比,驗證其星座為非最小單重覆蓋,并通過STK對典型星座的覆蓋能力進行仿真分析,證明了本文方法的必要性和有效性。下一步將在本文研究基礎上,利用其計算空隙區域的方法計算任意非復合圓軌道衛星星座覆蓋空隙的面積大小,從而分析星座的覆蓋性能,提高星座的精確覆蓋率。