關于實數系的幾個基本定理在“泛函分析”教學中的應用

張清業(yè)

（江西師范大學，江西 南昌 330022）

1 引言

從上世紀初開始，人們逐漸意識到經典分析學、微分方程、積分方程等傳統數學分支在處理問題的思想和方法上都具有很多驚人的相似之處，這促使了當時的數學家們試圖從這些研究對象貌似迥異但思想方法卻十分相似的理論中發(fā)現本質的東西從而尋求一種統一的抽象化的處理方法。在此情形下，泛函分析這一新的數學分支應運而生，并在當時的數學物理、量子力學等學科領域的應用中取得了巨大的成功。此后，受自身理論研究以及眾多其它學科領域應用需求的推動，泛函分析經歷了近一個世紀的飛速發(fā)展，時至今日，它已成為現代數學體系中最重要的數學分支之一，并在眾多其它應用學科領域中發(fā)揮著非常重要的作用。

正因為泛函分析這一數學分支的理論如此之重要并且應用如此之廣泛，所以，在國內外很多大學數學專業(yè)本科課程中“泛函分析”通常都是作為一門十分重要的專業(yè)主干課來開設的。然而，由于泛函分析的理論體系與生俱來就具有高度綜合性和抽象性的特點，所以通常的泛函分析教材（例如[1-2]）中不可避免地會有眾多極其抽象的概念和定理，這就導致學生在學完“數學分析”這一相對具體和直觀的課程之后開始“泛函分析”課程學習的時候通常都會顯得非常不適應并且感覺面臨極大的學習困難，從而十分影響他們對于這門重要的專業(yè)主干課的學習效果。針對這一困難，近些年，陸續(xù)有一些學者開始致力于“泛函分析”課程教學的研究，相關成果可參考文獻[3-5]及其中的參考文獻。在本文中，我們將結合作者多年的“數學分析”與“泛函分析”課程的教學經驗與思考，嘗試對“泛函分析”課程的教學方法進行一定的改革探討，希望能幫助師生最大程度地克服這種困難從而取得更好的教與學的效果。

2 關于實數系的幾個等價基本定理的回顧

通過“數學分析”課程的學習，我們知道關于實數系的幾個等價的基本定理是建立微積分學中極限理論的基石，其重要性不言而喻，理解并熟練掌握它們之間等價性的證明有助于數學專業(yè)學生對于實數理論和極限理論的本質有一個更深刻的認識與體會；不僅如此，作者從多年的數學專業(yè)的教學中發(fā)現，它們還可以對作為“數學分析”后繼課程的“泛函分析”課程中距離空間這一章里眾多極其抽象的概念和定理的理解和掌握起到很好的啟示作用，并能使學生更深刻地體會到“泛函分析”與“數學分析”內在的傳承關系。在本文中，以通常泛函分析教材中第一章關于距離空間的教學為例，我們將嘗試改變堆砌式地直接給出眾多抽象概念和相關定理的傳統教學方法，通過探討上述這些等價基本定理在“泛函分析”課程中一般距離空間上能否進行推廣的這一獨特的教學方式來引出這一章中相關的眾多抽象的概念和定理，使得學生在學好了數學分析之后對于泛函分析中的這些概念和定理理解和接受起來更加自然和容易，從而幫助他們取得更好的學習效果。

在數學分析中，關于實數系的基本定理共有六個，分別是確界原理、單調有界定理、柯西收斂準則、區(qū)間套定理、聚點定理和致密性定理以及有限覆蓋定理。通過“數學分析”課程的學習，我們知道這些基本定理兩兩互相等價，本質上它們是從不同的角度刻畫了實數系的完備性。在本節(jié)中，我們將主要回顧其中幾個將在泛函分析課程中講授距離空間這一章內容時會涉及到的基本定理。

2.1 柯西收斂準則

定義2.1設為一數列，若對任意的總存在正整數N，使得當n，m>N時，總有則稱為柯西序列或基本序列。

定理2.1[6]（柯西收斂準則）數列收斂的充要條件是為柯西序列。

2.2 區(qū)間套定理

2.3 聚點定理和致密性定理

定義2.3設S為數軸上的點集，ξ為定點，若ξ的任何鄰域中都含有S中無窮多個點，則稱ξ為點集S的一個聚點。

定理2.3[6]（聚點定理）實軸上任一有界無限點集至少有一個聚點。

聚點定理的另一種等價的表現形式就是如下的致密性定理：

定理2.4[6]（致密性定理）任何有界數列必有收斂的子列。

2.4 有限覆蓋定理

定義2.4設S為數軸上的點集，H為開區(qū)間的集合。若S中任何一個點都含在H中至少一個開區(qū)間內，則稱H為S的一個開覆蓋，或稱H覆蓋S。若H中開區(qū)間的個數是無限（有限）的，則稱H為S的一個無限開覆蓋（有限開覆蓋）。

定理2.5[6]（有限覆蓋定理）設H為閉區(qū)間的一個無限開覆蓋，則從H中可選出有限多個開區(qū)間來覆蓋。

3 距離空間中關于完備性的一些抽象概念及定理的引出

3.1 距離空間中完備性概念的引出

在前面我們回顧的柯西收斂準則是“數學分析”課程中較早引入的反映實數系完備性的基本定理，而我們通過探討在一般距離空間中是否也有柯西收斂準則成立就自然引出了距離空間完備性的概念，在此之前先給出如下推廣的概念：

定義3.1設為距離空間中的點列，若對任意的 ，總存在正整數N，使得則稱為柯西點列或基本點列。

在一般距離空間中，我們能證明如下命題：

命題3.1距離空間中任一收斂點列必是柯西點列，但反之未必成立。

由此命題，我們就可仿照實數系的完備性在一般距離空間中引入完備性的概念。

定義3.2若距離空間 中任一柯西點列必收斂，則稱其為完備的距離空間。

顯然，上述定義就將一般距離空間劃分為完備的和非完備的兩大類，而由上節(jié)的定理2.1（柯西收斂準則）知，實數系作為特殊距離空間當然是完備的，這與我們前面所說的柯西收斂準則反映的是實數系的完備性是一致的。

3.2 距離空間中的閉球套定理與逆定理

我們還容易看到距離空間的完備性本質上就是要求柯西收斂準則在其上成立。至此，我們自然會想到在上節(jié)中與柯西收斂準則等價的其它幾個反映實數系完備性的基本定理能否推廣到一般的距離空間中來且也可以等價地刻畫一般距離空間的完備性。首先我們來嘗試將區(qū)間套定理搬到一般距離空間上來。為此我們首先要將區(qū)間套這一實數系上特有的概念（一般距離空間上沒有區(qū)間的概念）推廣成一般距離空間上閉球套的概念。

定義3.2設距離空間中的一列閉球滿足：

由上節(jié)中的定理2.2（區(qū)間套定理）知道，實數系中的任一區(qū)間套都含有唯一的公共點，那么在一般的距離空間中是否任一閉球套都含有唯一的公共點呢？答案可由如下兩個定理看出：

定理3.2（閉球套定理）設為完備距離空間中的閉球套，則存在唯一的點含于每一個閉球中。

定理3.3（逆定理）若距離空間中的任一閉球套都有非空的交，則該距離空間必是完備的。

上述兩個定理說明，與實數系上的情形相似，在一般的距離空間中也可以用閉球套定理來等價刻畫該距離空間的完備性，同時也說明了只有在完備的距離空間中任一閉球套都含有唯一的公共點。

3.3 距離空間中的關于緊性的一些概念和定理的引入

在這一小節(jié)中，我們來探討是否在一般的距離空間中也有類似于上節(jié)中定理2.3至定理2.5的一些定理可以來等價刻畫距離空間的完備性，為此，我們先引入下面的一些概念。

定義3.3若距離空間中的子集A包含在X中的某個開球內，則稱A為有界的。

例3.1中的三角函數系按上述定義是中的有界無限點集，但顯然其中任意兩個元素之間的距離都是，從而不可能有聚點。

定義3.4設A是距離空間 中的子集，若A中的每個點列都含有子列收斂于X中的某一點，則稱A為準緊集；若A中的每個點列都含有子列收斂于A中的某一點，則稱A為緊集；若空間X自身是緊集，則稱X為緊距離空間。

定義3.5設A，B是距離空間中的子集，ε為一給定的正數，若對于A中的任一點x，都有B中的點y使得則稱B是A的一個ε-網。

定義3.6設A是距離空間中的子集，若對任給的ε>0，A總存在有限的ε-網，則稱A是全有界集。

由定義容易看到全有界集一定是有界集，而例3.1也說明在一般距離空間中有界集則不一定是全有界集。下面的定理給出了一般距離空間中準緊集與全有界集的關系。

定理3.4距離空間中的準緊集是全有界的；若X是完備的，則X中的全有界集也是準緊的。

由此定理并結合“距離空間中的全有界集一定是有界集”這一性質，我們也就能回答前面所提到的問題，即距離空間中的準緊集必是有界集。同時，這一定理還告訴我們在完備的距離空間中，點集的準緊性與全有界性是等價的。在定義3.5之前，我們已經指出了上節(jié)中定理2.4（致密性定理）其實表述的是“在實數系中有界集必是準緊集”這一結論，并且它可以用來等價刻畫實數系的完備性。當然，我們從前面的例3.1已經知道，一般距離空間中（即使是完備的）的有界集則不一定是準緊集。那么我們是否可以期望類似于實數系的情形，通過在一般距離空間中要求“有界集必是準緊集”來等價刻畫該距離空間的完備性呢？答案是否定的。主要原因是在一般距離空間中“有界集必是準緊集”這一要求太強了，只有很特殊的一些完備距離空間才能滿足，于是我們進一步考慮將這一要求適當減弱，于是就有如下的定理：

定理3.5距離空間是完備的當且僅當X中的全有界集必是準緊的。

這一定理中等價刻畫距離空間完備性的條件可視為上節(jié)中定理2.4（致密性定理）的結論在一般距離空間中的推廣。

沿著以上思路，我們最后來探討是否可以在一般距離空間中用類似于上節(jié)中定理2.5 （有限覆蓋定理）的結論來等價刻畫其完備性。為此，我們首先要將有限覆蓋定理中用開區(qū)間定義的開覆蓋等概念在一般距離空間中進行推廣。

定義3.7設為距離空間，A為X的子集，是中的某些開集組成的集族。若為A的開覆蓋；若J是有限集，則稱為A的有限開覆蓋；若的某個子族構成A的開覆蓋，則該子族稱為的子覆蓋。

利用該定義，我們可以給出一般距離空間中的緊集的如下等價刻畫方式：

定理3.6距離空間中的子集A為緊集的充要條件是從A的任一開覆蓋中必可選出一個有限子覆蓋。

我們在此順帶指出，在拓撲學中的一般拓撲空間上正是采用該定理中的充要條件來定義緊集這一概念的。

定理3.7距離空間是完備的當且僅當X中的全有界閉集必是緊集。

與定理3.6類似，這一定理中等價刻畫距離空間完備性的條件也可視為上節(jié)中定理2.5（有限覆蓋定理）的結論在一般距離空間中的推廣。

4 結束語

在本文中，我們通過嘗試將數學分析中刻畫實數系完備性的幾個等價基本定理平行推廣到泛函分析中一般距離空間上去這一過程來自然地引出其中相關的眾多抽象的概念和定理，使得學生易于理解和接受，這樣的教學方式在我們“泛函分析”課程的教學實踐中起到了良好的效果。受此啟發(fā)，我們將來還會不斷嘗試通過挖掘“數學分析”和“泛函分析”這兩門課程的更多的內在傳承關系來促進“泛函分析”課程的教學改革與研究。