基于狀態觀測器的動態事件觸發機制

朱明健,樊 淵,張成笑

(安徽大學 電氣工程與自動化學院,合肥 230601)

0 概述

在傳統的時間采樣控制系統中,系統狀態采樣和控制器的更新通常是周期性進行的。當計算和通信資源需要分配給其任務時,這種時間觸發的方式可能使系統處于高工作負載狀態。為了節省系統資源,可以采用非周期性的觸發方法。近年來,人們越來越關注事件觸發的反饋控制系統。文獻[1-3]描述了關于事件觸發機制的一些基本概念。事件觸發機制是時間觸發機制的替代方案,在事件觸發的方案中,一旦檢測到系統狀態偏差不滿足給定的事件觸發條件,就會觸發控制任務[4-5]。與時間觸發機制中的周期狀態采樣方式不同,事件觸發中的狀態采樣是非周期性的。因此,設計控制器使得其僅在必要時使用計算和通信資源,可以減少對系統資源的占用,同時保持良好的穩定性能。研究結果表明,事件觸發機制相較于時間觸發機制具有更優的資源節省性能。目前,多數研究致力于開發設計事件觸發機制(ETM)的系統技術,用于實現給定反饋控制器的系統穩定[6],最常用的ETM通常由給定系統狀態的等式或不等式組成。事件觸發機制多采用文獻[7-8]中的多智能體系統,也常見于多智能體系統的自觸發方案設計[9-10]。

文獻[11]研究了基于觀測器的事件觸發控制的閉環系統。類似于事件觸發的輸出反饋控制系統的情況[12],該系統的輸出僅在滿足事件觸發條件時傳輸給觀測器。通過滿足給定的線性矩陣不等式(LMIs)條件和事件觸發條件,可以使反饋控制系統和觀測器系統是漸近穩定的。文獻[13-14]研究了在某些不確定系統中基于觀測器的事件觸發狀態反饋機制,通過求解LMIs可以證明系統的穩定性。

通過在事件觸發機制中引入一個內部動態變量,可以得到動態ETM。已有研究學者對ETM中的內部動態變量進行了研究[15-17]。文獻[18-19]中的動態觸發機制也引入了內部動態變量,且提出的機制已經獲得了相應的理論成果。與ETM相比,動態ETM可以降低收斂速度和觸發次數,從而改進ETM的性能。事實證明,對于大部分事件觸發控制器而言,動態ETM的最小觸發間隔大于ETM[20]。

對于多數事件觸發機制研究來說,系統狀態都是已知的。本文針對狀態不可測線性系統,提出一種基于狀態觀測器輸出反饋的動態ETM,狀態觀測器利用輸出的事件觸發信號來估計系統狀態。事件觸發的控制系統可能會存在Zeno行為,Zeno行為意味著在有限的時間段內存在無數次的觸發,這對于實際物理系統是不允許的。因此,在實驗中給出事件觸發控制的最小觸發時間間隔,以排除Zeno行為。

1 基礎知識

函數f:Rn→Rm使得對于任意的x,y∈Q?Rn,存在一個常數矩陣M>0且滿足式(1)時,則稱該函數是Lipschitz連續的。

(1)

其中,Rn表示n維歐式空間,Rm×n表示所有的m×n維實矩陣的集合。

引理1[21]若X和Y是實正定矩陣,則以下不等式成立:

XTY+YTX≤XTX+YTY

(2)

2 基于觀測器事件觸發機制

系統狀態空間表達式為:

(3)

其中,x∈Rn為系統的狀態向量,初始狀態定義為x(0)=x0,u∈Rm為系統的輸入向量,y∈Rq為輸出向量。A∈Rn×n,B∈Rn×m和C∈Rq×n均為已知常數矩陣。全維狀態觀測器為:

(4)

2.1 事件觸發機制

定義輸出誤差為:

ey(t)=y(tk)-y(t),t∈[tk,tk+1)

(5)

因此,可以描述系統狀態和觀測器狀態誤差為:

(6)

事件觸發機制系統結構如圖1所示。

圖1 基于觀測器的事件觸發機制系統結構Fig.1 Event triggering mechanism system structure based on observer

定義事件觸發條件為:

(7)

其中,σ為給定的常數。當不滿足式(7)時,對系統輸出信號進行更新。

定理1在系統式(6)中,如果存在2個正定矩陣P1,P2∈Rn×n,以及正數σ∈[0,1)滿足以下2個矩陣不等式(8)與式(9):

(8)

(9)

證明構造Lyapunov函數為:

其中,P1,P2分別為矩陣不等式(8)和式(9)的解,對Lyapunov函數關于時間求導可以得到:

xT(t)(P1(A+BK)+(A+BK)TP1)x(t)+

xT(t)(P1(A+BK)+(A+BK)TP1)x(t)+

(10)

由事件觸發機制可知,若式(7)不滿足,則會有第k+1次更新執行。因此,通過計算可以得到:

P1BKKTBTP1+σCTC)x(t)+

(11)

由引理1可知,不等式(8)、不等式(9)分別與以下不等式(12)、不等式(13)等價:

P1(A+BK)+(A+BK)TP1+

P1BKKTBTP1+σCTC<0

(12)

P2(A-LC)+(A-LC)TP2+

P2LLTP2+I<0

(13)

近穩定的。

備注1通過求解線性矩陣不等式(8)和不等式(9),可以得到參數σ以及P1和P2的值。這些參數值在事件觸發條件式(7)下可以保證系統狀態和觀測器誤差狀態的漸近穩定性。此外,這2個線性矩陣不等式互相獨立。事件觸發策略的設計僅僅與控制器增益矩陣K有關,而與觀測器本身無關,這顯示了事件觸發方案的設計與觀測器之間的分離原則。

令2個對稱正定矩陣M,N∈Rn×n滿足以下等式:

M=-(P1(A+BK)+(A+BK)TP1+

P1BKKTBTP1)

(14)

N=-(P2(A-LC)+(A-LC)TP2+

P2LLTP2+I)

(15)

可以得到:

(16)

(17)

2.2 動態事件觸發機制

通過使用動態ETM,系統可以進一步減少觸發次數,從而可以實現更好的資源節省性能。基于滿足以下微分方程的內部動態變量η引入動態ETM:

η(0)=η0

(18)

(19)

(20)

η(t)≥0

(21)

(22)

通過式(18)可以得到:

(23)

通過比較和分析可知,對任意的t∈[0,∞)都滿足η(t)≥0,因此,η在任意時刻都保證是非負的。

(24)

σyT(t)y(t)-β(η(t))=

xT(t)(σCTC-M)x(t)-

(25)

2.3 Zeno行為分析

(26)

令:

(27)

(28)

(29)

證明利用式(28)的結論,可以通過以下變量的導數得到觸發間隔下限:

(30)

(31)

令初始條件為φ(0)=0,通過求解式(31)可以得到:

(32)

因此,可以得到事件觸發最小時間下界τ為:

(33)

(34)

(35)

因此τ>0。事件觸發機制不存在Zeno行為。

推論表明,對于系統給定的狀態,動態ETM給出的下一個執行時間大于ETM給出的時間。

(36)

當θ>0時,由式(19)和引理3可以得到:

(37)

3 模擬仿真

使用一個例子來驗證理論結果的有效性。考慮形式為式(3)的線性系統為:

系統很明顯是完全可控可觀的。

實驗選取β(η)=λη是滿足Lipschitz連續的K∞函數。關于λ和θ的參數,為了顯示更好的效果,參數選取為λ=0.01,σ=0.003 1和θ=1。這些參數選取符合具有動態觸發機制的事件觸發機制要求。

圖2顯示了ETM的誤差范數,誤差范數一旦達到閾值,它就會重置為0。圖3顯示了動態ETM的誤差范數,當誤差范數達到閾值時,它也會重置為0。從圖中可以看出,動態ETM可容許較大的誤差范數閾值,這是由事件觸發條件決定的。ETM的觸發次數為201,動態ETM的觸發次數為30,與ETM相比,動態ETM減少了觸發次數。

圖2 ETM誤差范數Fig.2 ETM error norm

圖3 動態ETM誤差范數Fig.3 Dynamic ETM error norm

基于觀測器ETM的平均觸發時間間隔如圖4所示,觸發時間間隔的平均值為0.224 s。圖5所示為基于觀測器的動態ETM事件觸發機制的平均觸發時間間隔,平均觸發時間間隔為1.500 s。 ETM的觸發時間間隔的平均值遠小于動態ETM的平均觸發時間間隔。

圖4 ETM觸發時間間隔Fig.4 ETM trigger the interval

圖5 動態ETM觸發時間間隔Fig.5 Dynamic ETM trigger time interval

圖6、圖7和圖8中的狀態軌跡展示了基于觀測器的動態ETM事件觸發機制系統的漸近穩定性。 圖6顯示了系統的狀態軌跡,從圖6可以看出,系統的狀態由初始值[-0.2,0.4]逐漸趨于原點,系統是漸近穩定的。圖7顯示了觀測器的狀態軌跡,從圖7可以看出,觀測器的狀態由初始值[0,0]逐漸逼近系統實際狀態,且最終趨于穩定。圖8顯示了觀測器誤差的狀態軌跡,在初始時刻,針對狀態不可測現象,令觀測器狀態和系統實際狀態初始值不同,因此觀測器誤差較大,隨著系統的運行,誤差可以迅速減小并趨于0。

圖6 動態ETM系統狀態軌跡Fig.6 Dynamic ETM system state trajectory

圖7 動態ETM觀測器狀態軌跡Fig.7 Dynamic ETM observer state trajectory

圖8 動態ETM觀測器狀態誤差軌跡Fig.8 Dynamic ETM observer state error trajectory

4 結束語

本文提出一種基于觀測器的動態事件觸發機制,根據2個LMIs建立系統漸近穩定的條件。通過引入額外的內部動態變量,事件觸發條件會更加多樣化,從而減少事件觸發次數。本文給出了Zeno 行為不存在的證明過程,并通過仿真實例論證結果,這些實例可應用于線性時不變系統。下一步可以考慮改善事件觸發條件和加入優化控制,以期達到優化系統性能指標的目的。