基于隨機場和數學形態(tài)學的水泥基材料三維孔隙結構建模研究

曹金成，張 翔

(云南大學建筑與規(guī)劃學院，昆明 650504)

0 引 言

水泥基材料是土木工程領域中用量最大且應用最廣泛的建筑材料之一。作為非連續(xù)多孔介質，水泥基材料的滲流和力學性質與孔隙率和孔徑分布等孔隙結構特征密切相關[1]。基質與孔隙網絡在微觀或納觀尺度的特征決定了材料在宏觀尺度的力學響應[2-3]。因此，研究水泥基材料的三維孔隙結構有助于更透徹地了解其特性。

通過直接掃描技術可以從試樣中獲得水泥基材料孔隙結構的真實圖像。胡曙光[4]、王培銘[5]等通過BSE-IA技術得到了水泥基材料的背散射圖像并在此基礎上分別進行了孔隙率測定與物相分析。嚴辰成等[6]利用X-CT技術獲取了水泥砂漿的孔隙圖像并重構了其三維孔隙結構。直接掃描技術極大推動了水泥基材料的研究進程，但也存在一些不足。例如BSE-IA技術需要對試件進行預先處理，從而破壞了試件的微觀結構。X-CT技術雖無需對待測試件進行預處理，卻受到分辨率、信噪比與灰度值劃分等因素的影響，使得掃描尺度受到限制，物相劃分造成差異，無法對試件進行精確的定量計算[7]。FIB、SEM、TEM等直接掃描技術雖具備更好的掃描性能和更高的放大倍數，所成圖像也更為精準，但相應的試驗成本與時間也更多。

如今對水泥基材料孔隙結構進行建模已成為研究其物理及力學性質的一種有效手段。在以往的研究中，多數針對水泥基材料的建模都需要基于具有特定幾何形狀的簡單單元，如:Ye等[8]對水泥材料水化的研究和田夢云[9]對混凝土單軸力學性能的研究中，材料建模時都將骨料顆粒假定為球體單元；王飛陽等[10]研究裂縫對混凝土結構力學性質的影響時構建了骨料為橢圓形單元的模型；Ranaivomanana[11]和Varloteaux[12]等在對水泥基材料進行建模時，分別使用了圓柱體單元以及通過圓柱形通道連接的球單元。基于簡單單元建模的方法能夠保證模型的孔隙率，但無法在模型中呈現出水泥基材料中基質和孔隙網絡形態(tài)與空間分布的隨機性。

本研究著力于構建滿足材料孔隙特征(孔隙率、孔徑分布)且具有隨機形態(tài)的水泥基材料三維孔隙結構模型。采用偏移集理論將連續(xù)分布的高斯隨機場轉化為具有隨機形態(tài)的二相場來代表材料的基質和孔隙，通過多個二相場聯(lián)合完成模型構建；采用數學形態(tài)學圖像處理方法進行分析，結果驗證了該方法構建出了滿足材料試驗孔徑分布曲線的孔隙結構。Zhang等[13-14]在對飽和巖石氣體運移及突破的研究中，使用此方法構建了黏土巖模型，且在后續(xù)基于此模型的力學分析中獲得了與試驗數據較為接近的模擬結果。本文以水灰比為0.64的水泥漿為研究對象，陳述建模過程，展示建模結果，然后基于該模型分析水泥基材料的力學和滲流特性。

1 建模方法

1.1 高斯隨機場和偏移集理論

對連續(xù)分布的高斯隨機場設定閾值，二相化處理之后可以用于模擬孔隙介質中具有隨機形態(tài)的孔隙網絡和基質部分[14]。對于滿足標準正態(tài)分布(期望為0，標準差為1)的高斯隨機場f(x)而言，場內兩個隨機點的協(xié)方差方程C(h)可以采用相關長度來定義，即：

(1)

式中：h代表兩點的空間距離；Lc(Correlation Length)代表相關長度。隨機場中任意兩點間距離越近則相關性越強，距離越遠則相關性越弱，而相關長度代表了使場中任意兩點間存在相關性的最小距離[15]。因此，隨機場的相關長度越大，說明場內具有相關性的點的范圍越大，場的波動越小，反之則波動越大。如圖1所示，大相關長度使場的形態(tài)平滑，小相關長度使場的形態(tài)起伏。

圖1 高斯隨機場中相關長度對場形態(tài)的影響[16]Fig.1 Influence of correlation length on field shape in Gaussian random field[16]

對于某個定義在范圍K內的隨機場f(x)，如圖2所示，對該隨機場設定一個閾值t，偏移集Es(Excursion Set)定義為f(x)中大于t的部分，即：

圖2 一維情況中的偏移集理論Fig.2 Excursion set theory in one-dimensional case

Es?{x∈K|f(x)≥t}

(2)

若將一維情況擴展到三維，并將隨機場中的偏移集Es視為一相，Es之外的其他部分視為另一相，如圖3所示，閾值化處理之后，三維連續(xù)場轉化為離散的二相場。

圖3 高斯隨機場轉化為二相場Fig.3 Gaussian random field transforms into binary field

定義的閾值t的大小控制了二相的相對比例，因此可以在閾值化后的二相場形態(tài)上發(fā)揮重要作用。假設偏移集Es代表多孔介質中的孔隙，隨機場余下部分代表基質。閾值t降低，對應Es所占比例增加，孔隙率增加。相反的，閾值t增加使孔隙率降低。通過模型研究，孔隙率φ與閾值t的關系可表達為：

(3)

結合上文結果可知，相關長度可以控制隨機場形態(tài)的起伏，因此降低相關長度，場內具有相關性的點的范圍變小，隨機場波動增大，閾值化后各相的形態(tài)變得狹窄。通過調整閾值與相關長度兩個參數的取值可以生成不同形態(tài)的孔隙結構模型，如圖4所示。較大的相關長度和閾值使得孔隙大而少，較小的相關長度和閾值使得孔隙小而多。

圖4 閾值和相關長度變化時生成不同形態(tài)的孔隙結構模型Fig.4 Various sorts of pore structure model through the variation of threshold and correlation length

1.2 偏移集聯(lián)合

(4)

圖5為兩個具有不同相關長度的偏移集聯(lián)合的結果，其中黑色代表基質，灰色代表孔隙。

圖5 不同相關長度偏移集的聯(lián)合Fig.5 Union of excursions with different correlation lengths

由于聯(lián)合之后孔隙部分有重疊，導致合集的總體積分數不等于單個偏移集的體積分數之和(相比較小)，即：

(5)

(6)

(7)

(8)

2 建模與驗證

2.1 材料選取

建模對象選取水灰比為0.64的水泥漿。有關水泥漿的孔隙率和孔徑分布等孔隙特征已有較多研究成果，多數采用壓汞法獲得[18-20]，但壓汞法僅能對開孔隙進行孔徑分布研究，閉孔隙的特征則依賴于直接掃描技術。本研究中建模所用到的水泥漿孔徑分布規(guī)律如圖6所示，為Song等[21]基于FIB/SEM圖像采用統(tǒng)計學反演獲得的成果。水灰比為0.64的水泥漿孔徑主要分布在0.02～0.20 μm范圍內，孔隙率為16.1%。

圖6 水灰比為0.64的水泥漿累積孔徑分布曲線[21]Fig.6 Cumulative pore size distribution curve of cement paste with water-cement ratio of 0.64[21]

2.2 建 模

模型構建在邊長為3 μm的立方體內，網格劃分為300×300×300，最小單元尺寸為0.01 μm，因此可以在該立方體內呈現出W/C=0.64的水泥漿的主體孔隙部分(0.02～0.20 μm)。對圖6中累積孔徑分布曲線進行分析，孔隙模型通過6個相關長度分別為0.02 μm、0.04 μm、0.06 μm、0.08 μm、0.10 μm、0.20 μm的二相場聯(lián)合而成，各場設定的孔隙率分別為2.0%、4.0%、2.5%、3.5%、3.0%、1.1%，總孔隙率為16.1%，生成的各場的孔隙率分別為2.29%、4.47%、2.59%、3.63%、3.18%、1.34%，聯(lián)合后的模型總孔隙率為16.3%，相關參數如表1所示，生成的模型如圖7所示。

表1 水泥漿孔隙結構建模相關參數(W/C=0.64)Table 1 Related parameters for the generation of cement paste pore structure model (W/C=0.64)

圖7 生成的水泥漿孔隙結構模型(W/C=0.64，黑色為基質，灰色為孔隙)Fig.7 Generated cement paste pore structure model (W/C=0.64, black color represents the matrix, gray color represents the pore space)

2.3 構建方法及模型驗證

在滿足孔隙率的前提下，還需要探討模型的孔徑分布。本研究采用數學形態(tài)學圖像處理方法來對模型進行孔隙網絡尺寸篩分。

數學形態(tài)學(Mathematical Morphology)是以格論和拓撲學為基礎的分析和處理幾何結構的理論和技術，主要用于圖像處理[22-25]。其運算過程是將初始圖像通過與一定形狀和大小的“探針”(稱為結構元素)相互作用從而將初始圖像轉變?yōu)橐粋€新的圖像[26-27]。結構元素的尺寸控制著運算的結果[28]，結構元素形狀的選擇沒有理論上的限制，為了獲得更準確的結果，應使用與要分析的形狀相似的單元。對于空間曲面構成的孔隙網絡，結構元素定義為類似于球體的八面體[13]。數學形態(tài)學的基本運算包括腐蝕、膨脹、開運算、閉運算等，本研究中孔隙尺寸篩選用的是開運算。

開運算由腐蝕和膨脹兩個基本步驟結合而成[29]。如定義一個尺寸為d的結構元素，待處理圖像如圖8(a)中不規(guī)則形狀部分所示，腐蝕運算中圖像與結構元素的交互可簡單理解為將圖像沿邊界等尺寸收縮d/2的寬度，則原圖中尺寸小于d的部分將被剔除，如圖8(b)所示。基于腐蝕處理后的圖像，進行膨脹，相應地可理解為使圖像沿邊界等尺寸延伸d/2的寬度，則在腐蝕運算中縮小并保留下來的部分可以得到重建，如圖8(c)所示。開運算的過程可定義為：

圖8 形態(tài)學開運算[14]Fig.8 Morphological opening[14]

M°E=(M?E)⊕E

(9)

式中：M為待處理圖像；E為結構元素；°為開運算；?為腐蝕運算；⊕為膨脹運算。通過開運算處理后，原圖中尺寸小于等于結構元素的部分將被剔除。

將所建水泥漿孔隙結構模型中的孔隙網絡視為待處理圖像，進行一系列結構元素尺寸逐漸增大的開運算，模型中保留的孔隙將逐漸減少。W/C=0.64的水泥漿孔隙結構模型的開運算過程如圖9所示，對生成模型進行結構元素為50 nm的開運算之后，尺寸小于等于50 nm的孔隙將被剔除；對生成模型進行結構元素為110 nm的開運算之后，僅有尺寸大于110 nm的孔隙得以保留。就像顆粒篩分試驗中不同孔徑的篩子可以篩選出粒徑大于不同孔徑的顆粒一樣，不同結構元素尺寸的開運算可以篩選出尺寸大于不同結構元素的孔隙。

圖9 W/C=0.64的水泥漿孔隙結構模型的開運算過程Fig.9 Morphological opening operations on the generated cement paste pore structure model (W/C=0.64)

在模型的主要孔隙尺寸區(qū)間0.02～0.20 μm內，從小到大依次選擇多個結構元素尺寸進行開運算，每次開運算后統(tǒng)計殘余的孔隙率，則可以得到模型的累積孔徑分布曲線，并與試驗數據進行比較，如圖10所示。比較分析可知，構建的W/C=0.64的水泥漿三維孔隙結構模型較好地還原了孔徑分布。

圖10 生成的水泥漿模型的累積孔徑分布與試驗數據對比Fig.10 Comparison of cumulative pore size distribution between the generated cement paste model and the experimental data

從FIB/SEM圖像中取出某一5 000 nm×5 000 nm的正方形單元，并與模型中截取的尺寸為3 000 nm×3 000 nm某二維截面進行比較，如圖11所示。模型的孔隙網絡形態(tài)、分布有很強的隨機性，這是由隨機場的特性所決定的，但單從模型孔隙尺寸與密度來看，與FIB/SEM的結果有很大程度的相似性。由于本方法是將三維隨機場二相化以后聯(lián)合構成模型，如果從模型中任意取一個二維截面來看，不同截面內的孔隙尺寸分布相差較大，有的二維截面截取到較少大孔隙的斷面，則會出現大孔隙，有的二維截面沒有截取到較少大孔隙的斷面，則以小孔隙為主，因此，二維截面內的孔徑分布無法與試驗孔徑分布曲線對應，但整體三維孔隙的尺寸經過以八面體為結構單元的形態(tài)學驗算后滿足試驗孔徑分布。此外，由于該方法將孔隙網絡形態(tài)和分布隨機化，基于與試驗孔隙分布曲線反演進行建模，故無法呈現出材料孔隙的一些天然特征以及天然微裂隙等，會一定程度影響模型與真實孔隙網絡形態(tài)的相似程度。

圖11 模型截面與FIB/SEM圖像[21]比較Fig.11 Comparison of model cross-section with FIB/SEM image[21]

3 結 論

本文采用高斯隨機場偏移集理論和數學形態(tài)學圖像處理方法完成并驗證了W/C=0.64的水泥漿三維孔隙結構模型。與傳統(tǒng)的基于簡單單元的孔隙介質建模方法相比，該方法在保證模型孔隙率與真實值相符的前提下，對孔徑分布有著較好的控制，且能夠呈現出孔隙網絡三維形態(tài)和空間分布的隨機性。更細的網格劃分或更多的不同相關長度的二相場的聯(lián)合可以使模型的孔徑分布更準確地滿足試驗孔徑分布曲線，但也會帶來更長的計算時間。此方法同樣適用于其他類型的不考慮材料中天然缺陷的孔隙介質的建模，且基于此模型可以進一步開展力學和滲流特性研究。