帶有低通濾波的板球系統反演控制器設計

孟圣鈞，韓光信

(吉林化工學院 信息與控制工程學院，吉林 吉林 132022)

板球系統作為經典控制對象球桿系統的二維擴展，是控制領域中驗證控制算法的一種重要實驗對象.諸如自抗擾控制[1]、預測控制[2]、滑模控制[3]、模糊邏輯控制[4]、反演控制等很多控制算法先后被學者運用到板球系統中檢驗優劣[5].反演控制方法將復雜的系統分成若干子系統，在每個子系統中引入虛擬變量，從后向前反推，最后得出控制規律.例如，戈艷麗將反演控制算法與自適應算法相結合設計反演自適應算法，研究了板球系統模型中的不確定性問題，但并沒有考慮到系統實際存在的非線性因素[6].文獻[7]同樣采用了反演控制法，在控制器的設計中忽略了系統x,y方向的運動耦合作用，可能會導致控制精度下降.郝偉[8]采用反演法的靜態補償思想設計了反演自適應動態滑模控制器，利用虛擬控制量將高階控制問題分散為多個低階子系統的控制問題，并結合濾波器的設計研究了經典滑模存在的微分爆炸問題，提高了系統控制精度，但忽略了機器視覺對小球定位存在誤差的影響.

以上是一些學者在研究板球系統中，將反演控制算法與自適應算法、滑模變結構控制等算法相結合設計的控制器，完成了對小球軌跡跟蹤的控制任務.本文針對板球系統控制中的不確定項影響跟蹤精度這一問題，研究了將低通濾波與反演控制算法相結合設計控制器的方法.首先，在板球系統建模時加入自身擾動，將低通濾波器與板球系統的狀態空間模型結合成一個整體系統，接著用假設的方法設定子系統參數，將參數帶到虛擬函數中，然后選取合適的Lyapunov函數，使每個子系統達到漸進穩定，進而設計出一種帶有低通濾波的反演控制器.最后，在板球系統克服內部擾動的前提下，加入外界干擾，查看小球軌跡跟蹤的效果.仿真驗證，與H∞控制器[9]相比，帶有低通濾波的反演控制器具有良好的抗干擾能力.

1 板球系統數學模型

Quanser公司生產的板球系統實驗平臺如圖1所示.

圖1 Quanser板球系統模型

主要由：平板、小球、伺服電機、連桿、視覺系統、電源等組成.板球系統是雙輸入雙輸出的非線性動態系統，通過步進電機驅動x、y軸以達到控制平板的傾斜角度，進而控制小球的運動.應用歐拉-拉格朗日動力學方程推導建模，建模時忽略小球與平板之間的摩擦以及小球自身滾動的摩擦.板球系統的狀態空間模型如下式所示[10].

(1)

其中，k=m/(m+Jb/r2)，m為小球質量，r為小球半徑，Jb小球轉動慣量，x1,x2,x3,x4分別為x軸小球的位置、速度、傾斜角度和角速度；因板球系統的x,y軸對稱分布，故x5,x6,x7,x8分別對應y軸的系統狀態變量.ux,uy對應x,y軸的角加速度α,β，作為系統的控制輸入，y為系統的控制輸出.一般情況下，小球滾動時的速度和平板轉動角度足夠小(一般不超過±6°，sinx3≈x3,sinx4≈x4)，則式(1)中的x4x5x8和x1x4x8可忽略，板球系統解耦、線性化后可形成兩個相同的x,y方向欠驅動子系統，模型如下所示.

(2)

y=[x1,x5]T

2 控制器設計

(1)由于系統實際運行中存在擾動，會影響系統的輸出，進而降低控制器性能.為增強系統的抗干擾性，提高軌跡的跟蹤精度，引入低通濾波器[11-13]，對小球的位移和滾動角度進行濾波處理.以板球系統x軸為例，設計低通濾波器如下.

(3)

其中，T為低通濾波器的時間常數，x1為低通濾波器的輸出信號，即小球的位置.x2為低通濾波器的輸入信號，即小球滾動角度(式(2)中x2代表小球速度).結合式(2)、式(3)組建一個整體的帶有低通濾波的板球系統.

(4)

其中，x3為小球角速度，d為板球系統的自身擾動，y為經過低通濾波器濾除干擾后的輸出.

(2)反演控制器設計

反演控制算法實際上是利用遞推程序交替的選擇合適的Lyapunov函數，在每一個子系統中，將復合系統的狀態變量和所設計的虛擬函數聯系起來進行逐步推導，得出控制規律后設計反饋控制器，最后證明整個系統是漸進穩定的.

針對系統(4)的反演設計過程如下，定義系統偏差[14]：

(5)

式中，xd為板球系統x軸小球跟蹤軌跡的位置指令信號，α1,α2為虛擬函數.

(6)

結合式(4),(5)整理后可得：

(7)

選取Lyapunov函數V1：

(8)

(9)

定義虛擬控制量α1：

α1=-c1e1+x1(c1>0的常數)

(10)

代入式(9)得：

(11)

選取Lyapunov函數V2：

(12)

(13)

(14)

(15)

結合式(4),(5),(10)整理后可得：

(16)

結合式(5),(11),(16)化簡式(13)可得：

(17)

定義虛擬控制量α2：

(18)

代入式(17)得：

(19)

選取Lyapunov函數V3：

(20)

(21)

e3=x3-α2

(22)

(23)

結合式(4),(5),(10),(18)整理后可得：

(24)

結合式(7),(16),(19),(24)化簡式(21)可得：

(25)

(26)

式(26)為帶有低通濾波的反演控制器ux，根據前面設計的虛擬函數和偏差函數求解控制器參數，結合式(4),(5),(10),(18)整理出帶有狀態變量的ux表達式.

(27)

3 仿真結果分析

(28)

由于板球系統的x,y軸對稱分布，故推導控制器ux,uy只需要更改x,y軸的指令信號即可.將上述參數值結和式(28)的三階時間導數帶入式(27)中，分別求出帶有低通濾波的x,y軸反演控器.

應用Simulink軟件分別搭建H∞控制器和帶有低通濾波的反演控制器系統仿真模型,適當調節狀態變量參數后，仿真結果如下圖所示.圖2是帶有低通濾波的反演控制器跟蹤的圓形軌跡，小球受到外界干擾(step=5的階躍)后能夠自動調整跟蹤軌跡，不斷地減小與預設跟蹤軌跡之間的誤差.圖5為H∞控制器跟蹤的圓形軌跡，同樣加入step=5的階躍干擾，小球偏離原軌道且無法自動調整跟蹤軌跡.當H∞控制器做圓形軌跡跟蹤運動時，引入外界干擾后誤差增大，小球在x、y軸方向上的位置誤差分別維持在21.7 mm和21.5 mm左右，如圖7所示.從圖4中我們可以看出，反演控制器做相同的跟蹤運動時，面對同樣的干擾，小球x、y軸方向上的位置誤差分別維持在±1.05 mm和±0.58 mm之間，能夠自動調整跟蹤誤差.帶有低通濾波的反演控制器和H∞控制器的控制器輸出圖分別如圖3和圖6所示.

x1/m

r/s

r/s

x1/m

t/s

t/s

4 結 論

本文以非線性、多變量和強耦合的板球系統作為研究對象，針對系統受到干擾而影響軌跡跟蹤的精確性這一問題，將反演控制器具有維持板球系統穩定運行性能與低通濾波器濾除外界干擾這一性能相結合，設計出一種帶有低通濾波的反演控制器.從實驗結果可以看出，改進的控制器結構簡單，受到外界干擾時，能夠快速恢復到原預定軌跡，不斷提高控制精度，穩定性更強.