費曼學習法教學模式設計
——以函數為例

夏蘇徽

(喀什大學數學與統計學院，新疆喀什，844000)

一、問題的提出

復習指的是對已經學習過的知識內容進行再認識?！皬土暋边@一概念自古便有，如“溫故而知新”。而在現代教學中，復習課是指以促進所學知識系統化為教學任務的課堂教學，以復習鞏固和知識再生長為目的。它是課堂教學的一種基本課型，一般在一個知識單元、一個學期或者整個高中新課教學結束后進行。

(一)復習課的局限性

通過文獻分析法可知，當下數學復習課主要存在以下不足之處。

1.教師對復習課課型意識不足

教學過程中，教師對復習課的課型特點把握不充分，對如何選取教學內容、如何將教學目標與教學內容結合起來等認識不足，常常將復習課等同于習題課。這是教師對復習課課型認識不足的主要表現。其實，復習課不同于習題課，也不是簡單地重現知識和機械化練習，而是將知識結構、變式訓練以及方法提煉有機統一的一種專門課型。[1]

2.學生主體地位缺失

王富英等的研究發現，在課堂復習教學過程中，教師將重點放在例題的精選及講解上，教師的講解時間占課堂教學一半以上的達76%，而且師生互動相當匱乏。[2]這樣將無法體現學生的主體地位，學生的思考時間較少，學習積極性自然降低。

3.與課程目標相背離

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“新課標”)指出，數學課程教學應當培養學生發展所需的數學“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)和“四能”(發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力)。[3]新課標出臺后，大部分教師主要關注的還是傳統的“雙基”(基礎知識、基本技能)，不僅不重視在復習課提煉思想方法，幫助學生積累活動經驗，而且不注重授人以漁，讓學生學而不得法，使學生復習效率低下。

4.復習內容、方式、目標選取不當

教學過程中，教師多采取“整理+練習”的教學模式，先簡單羅列復習內容，再輔以例題練習。[4]這種教學模式不僅方式機械、呆板，而且讓學生沒有思考和討論的機會。學生對復習課提不起興趣，在再學習過程中出現“一聽就懂，一做就錯”的現象。

(二)研究目的

鑒于上述現象，筆者先對數學復習課、相關教育理論與文件、費曼的學習方法進行整理，然后結合自身思考，基于費曼的學習法設計數學復習課。該復習課的設計目標如下。

1.復習課課型架構

根據新課標的要求，國家對高中數學課程的認識逐漸深入，“雙基”變“四基”、“三能”變“四能”課程目標的改變，使數學教學逐步以核心素養為導向。[5]在此背景下，傳統的數學復習課的課型架構亟待發展。新課標背景下的復習課，應由傳統的以“雙基”為本的“知識復現+變式練習”方式向以“四基”為本的“知識重構+經驗獲取+方法凝結+練習鞏固”轉變，在注重傳統的基本知識技能的同時，注重學生活動經驗的積累以及思想方法的總結。

2.復習課課堂環境架構

構建師生平等的數學課堂，充分發揮學生主動建構的能動性。數學建構主義強調知識的主體建構性，數學知識的獲取需要學習主體在已有知識的基礎上通過自身活動以及教師有意引導而主動建構。[6]教師營造學生熱烈討論的氛圍，能將學生討論過程中產生的意見歸于統一的大家普遍認同的一般概念。弗賴登塔爾認為，通過自身主動認知而獲得的知識技能具有更強的實用性，能夠更持久地保持在記憶中，遠比他人直接灌輸的被動學習的效果好。“再創造”的學習方式包含了發現過程，能夠激發學生的學習興趣和學習動力，讓學生體會到數學作為一種人類活動而展現的美麗。[7]

3.復習課教學設計構建

復習課是對所學知識再學習的一種方式，但內容的選取上不能僅是所學內容的復現。因為有限的時間內復現所有知識的“大亂燉”行為只會增加學生負擔，所以復習課內容的選取應以學情為基礎、以核心素養為導向，進行知識重構。教師通過“舊知新講，師生互動”的教學方式，帶領學生從宏觀角度把握系統知識。相較于新課中教師對知識概念的基礎性講解，復習課側重于在此基礎上進行思想方法的總結，構建問題驅動的情境，引領學生積累活動經驗、凝練認識策略。[8]

二、基于費曼學習法的數學復習課建構

基于費曼學習法設計的復習課，主要包括七個過程：內容重構、問題階段化、非系統化呈現、系統化架構、習題鞏固、干預引導、認知策略滲透，如圖1所示。

圖1 費曼學習法復習課的授課模型

內容重構是指將知識進行重新編排而適應復習教學。在復習課開始之前，教師基于學生的學習情況，結合新課標的要求和高考趨勢，以“四基”為生長點來選取內容。問題階段化是指將本節課的教學目標劃分為層層遞進的階段性問題，降低學生的學習難度并讓學生逐步體會認知過程。從維果斯基的兒童心理發展理論看，教學應當以適當難度呈現，讓學生在最近發展區內得到發展。[9]因此，為了讓學生能夠合作探究出目標內容，教師應將問題內容進行階段性劃分，讓學生逐步深入探究。非系統化呈現是指學生對教師問題的零散回答。當提出一個階段性問題后，教師帶領學生思考討論，鼓勵大家相互辯證，而學生則從多個角度對問題進行解答。教師在達到一定的教學目標后再提出下一個問題，逐步將零碎的知識統一成完整的知識結構，從而構建系統化的知識結構。習題鞏固是對學生學習成果的一種檢測，主要以練習題的方式檢驗學生的思維過程是否正確。值得注意的是，教師的干預指導以及認知策略的滲透應該全程與前五個過程結合。為了保證課堂效率以及討論結果朝向一定的目標，教師要實時關注學生的討論，及時進行干預。在干預過程中，教師要結合學生的認知過程，適時滲透認知策略，讓學生更直觀地感受思維認知過程，培養自學能力。

核心素養導向的數學復習課，既具備傳統復習教學查漏補缺、習題演練、知識系統架構的基本特點，又具備適合核心素養培養的特性。首先，是學生主體課堂構建。指向核心素養培養的復習課，更像是一節由教師提出問題、學生進行討論的討論課。通過討論，學生將對同一個問題產生不同的看法。無論這些看法是否正確、是否全面，都將由學生判定，教師從旁引導。如此，學生的理解逐漸趨于統一，最終得出一個普遍被接受的結論。在此環節，教師的引導至關重要。教師雖然是討論的發起者，提出問題引發大家的討論，但教師要時刻關注學生的思考過程，在討論陷入僵局時適當進行干預和引導。除此之外，教師還要適當總結學生的討論結果，幫助學生在主動構建的基礎上更清晰地展現知識結構。其次，是數學思想主動構建。數學與其他文化課程不同，無法通過對概念的背誦、記憶能學好。高中數學課程不僅要培養學生的數學基礎知識、基本技能，而且要培養學生的基本思想、基本活動經驗以及發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。所以，復習課環節應當弱化對知識概念的機械識記，強化對活動經驗的積累以及對知識的主動建構，將對概念的理解過程融入學生的討論、探索過程中，促進學生對知識概念進行有意義的學習。最后，教師應該對學生的認知方式、學習策略進行指導，培養學生的自學能力。

三、以函數復習課為例

新課標指出：“函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，在解決實際問題中發揮著重要的作用。函數是貫穿高中數學課程的主線?！焙瘮翟谂囵B學生利用數學語言進行數學學習、認識變量兩方面具有重要的教育價值。[10]而函數本身的復雜性以及中學生現有思維發展水平的制約。[11]函數思想一直是教學的重點和難點。

(一)教材分析與學情分析

人教版(必修一)高中數學將基本初等函數的學習分為三部分：第一部分是學習集合和函數的基本概念；第二部分是基本初等函數(Ⅰ)，包括對數函數、指數函數、冪函數；第三部分是由前兩章理論知識的學習進入第三章函數的應用學習，教會學生利用基本初等函數解決問題。教學過程中常常會出現兩種情況：一是學生無法將學習基本初等函數的方法遷移至由基本初等函數復合的新函數上；二是依據實際問題建立函數模型后，學生無法快速有效地選擇合適的角度來獲取有效信息。為了解決這些問題，教師應該將教學重點放在研究函數性質的方法策略上。

(二)主要環節與設計意圖

1.階段一：回顧與呈現

現給定三個函數，y=2x，y=log2x(x>0)，y=x2，一起思考并討論以下問題：

(1)從這些函數中你能得到哪些信息？

(2)你是如何獲取這些信息的？

本環節主要是對已學知識的復習，教師在學生學習初等函數及其基本性質的基礎上，給定幾個具體的函數，讓學生自選角度探究函數的性質，如函數的單調性、奇偶性、最值問題、定義域、公式結構特征區別，等等。然后，問題(2)主要展現的是學生的信息獲取路徑(圖像法、定義法等)。隨著討論和探究的深入，學生不斷積累活動經驗，非系統化知識趨于完整。

2.階段二：特殊到一般

(1)以上函數分別屬于我們學過的什么函數？

(2)這些函數的一般通式如何表達？

(3)大家想想，如果給我們一個函數，我們可以通過哪些方式來獲取信息。

本環節是基于學生關于具體函數性質研究非系統化呈現的，主要是在教師的干預和引導下，將問題一般化，由學生探討一般初等函數的表達式、研究角度、研究路徑。結合上一階段對具體函數的研究，學生進一步探討指數函數、對數函數、冪函數的一般化研究路徑(一般表達式、定義域與值域、單調性、定點問題等)。

3.階段三：系統化

給定兩個新函數：

先觀察，然后說一說：

(1)這兩個函數與我們之前討論的函數屬于同一種函數嗎？

(2)如果不是，這個函數跟前幾種初等函數有什么關系？

(3)類比剛才初等函數的研究方法，如果想獲得關于這個函數的信息，我們應該從哪些角度、用什么方法獲取？

(4)盡你所能，能夠獲得哪些信息？

本階段將問題上升到復合函數，學生在從具體到一般歸納函數性質研究路徑的基礎上，通過橫向類比初等函數，探討一般函數(如復合函數)的性質研究路徑(研究角度和研究方法)。此階段的目標是學生學會運用圖像法、定義法等研究方法，從定義域、值域、單調性、奇偶性、最值存在性、定點存在性等角度對一般函數進行探究。通過教師引導，學生逐步提出函數性質研究的路徑策略(如圖2)。

圖2 函數性質研究路徑策略

4.階段四：鞏固與總結

(1)若函數f(x)=ln(e3x+1)-ax是偶函數，求a的值。

A.函數定義域是R

B.函數值域是R

C.函數是偶函數

D.函數在定義域上是增函數

①求a，b的值。

②證明函數f(x)在[2，+∞)上是減函數。

本階段是對前三個階段知識系統化的一個檢驗與總結。教師先給學生獨立解題的時間，然后在講解的過程中以一般函數性質研究路徑策略為依托，帶領學生依據路徑策略選取適當方法來獲取所需答案。教師以此鞏固知識，使學生熟練運用數學思想方法。

四、結語

本文通過文獻分析法總結了目前中學復習課存在的問題，并以新課標的要求和建構主義教學理論為出發點，引入費曼學習法，對復習課的課型結構、課堂環境、教學設計進行建構，將時下的數學復習課由“雙基”向“四基”拓展，構建以學生為主體的復習課教學模式。以函數為例，本文展現了基本活動經驗和基本思想在教學中的具體運用。然而，教師傳統教學理念與新課標要求的數學理念之間的脫節性存在于所有課型中，基于費曼學習法的教學理念如何與其他課型結合，仍需更深一步地研究。