基于排隊論的醫院收費窗口優化設置

李凌洋，李晨陽

(1.北京交通大學海濱學院 土木建筑工程學院，河北 滄州 061000；2.天津大學 海洋科學與技術學院，天津 300072)

排隊是在日常生活中常見的現象，如到醫院看病、到圖書館借閱書刊、到超市購買東西等，均是某時刻服務機構的容量小于要求得到服務的顧客的數量時，系統便會出現排隊現象[1].其中，患者到醫院排隊交費是一種很常見的排隊現象.

隨著醫院的醫療水平不斷提高，就醫環境不斷改善，醫院就診患者日益增多，醫院排隊現象嚴重，引起廣大患者的抱怨和不滿.提高“患者滿意度”是醫院管理的主要環節之一，只有不斷提高“患者滿意度”，醫院才能增強自身競爭力，保持和增加市場份額，并獲取長期利益[2].醫院的交費服務系統是一種比較常見的排隊系統，如果醫院收費窗口太少或收費人員的效率太低，便會加劇擁擠，導致排隊現象嚴重，進而造成患者的等待成本增加[3].如果增加收費窗口和人員，雖然可以在一定程度上緩解排隊問題，但會相應地增加醫院自身的經營成本[4]或造成系統的空閑浪費[5]，而且有些服務設施如醫院收費窗口一旦建成就不易改動.因此，醫院的管理人員希望在保證最低經營成本和最高工作效率的前提下，降低患者的等待成本，從而提高“患者滿意度”.

目前，對醫院收費窗口設置優化的研究分為2類.一類是以患者的角度進行研究即以合理的患者等候時間為目標設置醫院收費窗口，如高強等[6]提出影響醫院收費窗口質量優劣的主要原因是患者的等候時間.另一類是以醫院的角度進行研究即以合適的服務強度或較低的經營成本為目標設置醫院的收費窗口，如陳飛飛[7]提出醫院收費窗口數量的增加可以有效地降低收費窗口的服務強度，減小收費服務壓力.雖然這些研究為醫院收費窗口數量最優化選擇提供了一定的參考，但是存在研究過程不嚴謹和考慮問題不全面等問題，未能對醫院收費窗口進行科學量化.鑒于此，綜合考慮醫院與患者的實際需求，運用排隊論的思想和方法，對系統的窗口數量設計進行了全面具體的分析，得到了合理的醫院收費窗口的數量.此外，在得到最優窗口數量后，對系統的患者損失率進行了計算與分析，進一步驗證了最優窗口數量的正確性.

1 患者服務的排隊模型

在醫院的排隊模型中，醫院收費窗口為服務臺，排隊要求得到服務的人員稱為患者，2者組成的系統稱為排隊系統[8]，對該系統的具體特征進行描述.

1.1 基本假設和前提

為了方便計算，簡化該服務系統模型，對該系統進行一些合理假設.

1)各收費窗口的收費人員的收費時間是相同的.這是一種理想的情況，由于人的差異性，不同收費人員的服務水平不同，所以處理交易的速度不可能完全相同，但是可以通過對服務水平一般和交易速度適中的收費人員完成一筆交易的相關參數進行測算，大致估計系統整體的服務水平.

2)患者進入系統后，按到達次序接受服務.系統符合先到先服務的情形可以保證系統維持安定有序的運行，并且現實中大多數服務行業均符合這樣的假設.

1.2 醫院排隊系統組成

1.2.1 輸入與到達規則

在醫院的排隊系統中，醫院所在地居民均可作為潛在的患者，故患者來源是無限的，即該系統為一個無限源系統.假定單位時間進入系統的患者流是最簡單流，即患者到達的時間間隔相互獨立并服從同一負指數分布.因此，根據最簡單流的條件可以得知單位時間內進入系統的患者數服從泊松分布，即單位時間到達收費大廳的患者數為λ.

1.2.2 排隊規則

當有患者到達時，若有空閑的收費窗口便立即接受服務，若沒有空閑的服務窗口，則排隊等待，直到有空閑收費窗口再接受服務，且醫院對排隊患者的服務順序一般是先到先服務，而且到達和服務是彼此獨立的.

1.2.3 服務結構

醫院設置c(c≥1)個收費窗口獨立地并行服務，即每個收費窗口均可以滿足患者的服務要求.各收費窗口的服務時間取決于收費人員的服務水平和熟練程度，基本服從參數為μ的負指數分布[9]，即每個收費窗口單位時間服務的患者數為μ，則整個系統單位時間服務的患者數為cμ.綜上所述，這樣的系統被稱為多服務窗等待制排隊模型M/M/c/∞/∞/FCFS.第1個M指單位時間進入系統患者數服從泊松分布，第2個M指醫院收費窗口的服務時間服從負指數分布，c指收費窗口數量，第1個∞指系統容量無限，第2個∞指系統對患者數目沒有限制，FCFS指系統的服務規則為患者先到達系統先接受服務。

1.3 優化系統目標

醫院排隊系統優化目標之一就是患者的等待成本和醫院自身的經營成本之和最小[10]，并確定到達最優目標時收費窗口的數量.研究醫院排隊問題的目的就是要運用排隊論的模型確定醫院最優收費窗口數量，不僅滿足患者的需求，而且避免資源的浪費[11].對醫院服務系統的優化首先是確定系統合適的服務強度，其次是根據優化目標確定最優方案，最終通過概率分析檢驗最優方案正確性.

1.3.1 較低的患者等待成本

患者的等待成本是等待時間的線性函數，包含患者選擇某一收費窗口所花費的時間成本、體力成本等.當患者達到率超過收費窗口的服務效率，隊伍將會延長，等待時間與等待成本便會趨于無窮大.隨著等待成本增加，患者可能會產生不耐煩情緒，甚至退出排隊系統[12].因此，降低患者等待成本可以保證醫院的服務質量和效率.通過降低患者等待成本，一方面緩解患者不耐煩情緒，降低患者離開率，另一方面也能樹立醫院在患者心中良好的服務形象，增加醫院的就診率.

1.3.2 較低的醫院經營成本

目前醫院收費窗口與收費人員一一對應，即1個收費窗口設置1個收費人員，故而收費窗口設置的合理程度會影響醫院人力資源的利用率.不合理的醫院收費窗口數量會導致醫院出現患者高峰期收費人員不足，而患者低谷期收費人員冗余的情況.因此，有必要設置合理的醫院收費窗口，減少人員浪費，降低醫院經營成本.

1.3.3 合適的服務強度

2 醫院收費窗口設置優化模型

2.1 基本模型

對于醫院排隊系統，普通收費人員完成一筆收費的平均時間和高峰時期單位時間進入收費大廳的患者人數及2者滿足的概率分布已知，因此可以根據排隊論的相關原理對系統相關的量進行探討，即已知患者按泊松流到達，到達強度為λ；各窗口服務時間為負指數分布，平均服務率為μ，整個系統的平均服務率為cμ.

記ρ<1,用n表示系統中患者數量，Pn表示系統中有n個患者的概率，對于穩定的系統狀態是一個生滅過程[15]，由統計平衡得到系統狀態的平衡方程組如下：

(1)

(2)

(3)

由此可以求得需要的參數目標，患者等待時間即從患者進入收費大廳到患者開始接受服務的這段時間[16].

(4)

通過利用排隊論的相關結論，對醫院排隊系統進行系統分析，并提出了合理確定醫院收費窗口數量的方案.

2.2 優化方法

基于系統優化目標及基本模型理論，本研究通過對醫院收費窗口數量進行調整達到系統優化目的.具體操作如下：

1)擬合度檢驗.對單位時間進入系統的患者數和醫院收費窗口的服務時間進行擬合度檢驗，得到2個變量分別服從λ的泊松分布和μ的負指數分布.

2)參數測定.①λ、μ的測定，連續多天觀察不同時段單位時間(1 h)內進入系統的患者數和醫院收費窗口的服務時間，通過樣本數據的平均值求得λ和μ的期望值.②采用調查法獲取患者期望等待時間t數值，對不同時間段、不同年齡段的患者進行調查并記錄數值，通過計算平均值求得t.

2.3 收費窗口優化模型

根據系統優化的目標可知要保證患者的等待成本和醫院自身的經營成本之和最小，不僅應保證患者的平均等待時間低于患者期望等待時間且應確保每個收費窗口的服務強度適度.

2.3.1 最優收費窗口的確定

1)收費窗口只在首層設置時，根據實踐測得當ρ<1時，收費人員能保持良好的工作狀態.令ρ<1，可得出使收費人員保持良好工作狀態的最小窗口數量c0，即可保證單位時間進入系統患者都能接受服務，又保證收費人員較高的服務質量.2)排隊系統中存在不耐煩患者，當患者實際等待時間大于患者期望等待時間時，患者會產生不耐煩情緒，甚至會離開排隊系統.設置醫院收費窗口時需保證較低患者等待成本，患者的平均等待時間小于患者的期望等待時間，即Wq

2.3.2 最優方案的概率分析

患者到達醫院收費系統后可能會因排隊人數較多而猶豫是否進行排隊等候服務[16]，在確定最優方案后，為了驗證該結論的正確性，現在考慮這樣一種混合制排隊系統，該系統中共有m個位置，c個收費窗口獨立平行的工作，c≤m，當m個位置已被患者全部占用時，新到的患者就自動離開，當系統中有空位置時，新到的患者就進入系統排隊等待服務.患者到達的時間間隔和每個患者所需的服務時間相互獨立，系統容量為m，醫院對排隊患者的服務順序一般是先到先服務，且到達和服務是彼此獨立的.假定系統中每隊排隊人數最多為a人(m=ac)，通過計算可以得出單位時間系統的容量為m的概率，即單位時間系統每隊排隊人數超過a人的概率[17].系統狀態平衡方程如下：

(5)

(6)

式中，Q0表示系統空閑時的概率，Qm表示系統容量為m時的概率.

3 實例分析

3.1 最優收費窗口數量的確定

實地測定天津市西青醫院普通收費人員完成1筆收費的平均時間為30 s，即μ為120.在高峰時期(上午10：00—12:00)每小時進入收費大廳的患者人數為1 750人，從而λ為1 750.另外，要求規定高峰時期排隊人數不超過10人，那么患者等待時間T為270 s，則可以滿足要求.

根據ρ<1求得c>14.58，即最少安排15個收費窗口.對c從15開始取不同的值，計算患者的平均等待時間Wq(c).

通過計算可以知道，當c≥15時，即可滿足該醫院的患者平均等待時間小于期望等待時間.當設置15個收費窗口時，相對成本較低，同時也能夠滿足高峰期間排隊不超過10人的要求，所以設置15個收費窗口為醫院的最優選擇.

3.2 最優收費窗口的概率分析

通過計算分析可知，若醫院只在一層收費大廳設置收費窗口，則15個收費窗口為醫院的最優選擇，假定系統中每隊排隊人數最多為10人，通過計算可以得出單位時間系統的容量為m的概率.

當c=15,m=150時,ρm=5.38×10-4.

通過計算可知，若醫院設置15個收費窗口，高峰時期單位時間系統排隊人數超過10人的概率為5.53×10-4.雖然隨著窗口數量增加，高峰時期單位時間系統排隊超過10人的概率將會更低，但醫院經營成本會有所增加.綜上所述，為盡量節約成本，設置15個收費窗口為醫院的最優選擇.

4 結論

基于排隊論對醫院收費窗口設置優化問題進行研究，通過天津市西青醫院實際數據進行計算，設置合理的收費窗口數量，以期緩解患者繳費等候時間過長的問題，并對最優收費窗口進行概率分析，驗證結論正確性.然而由于患者有不同的就醫需求，在患者差異性假設條件下，如果將本研究方法與計算機仿真模擬相結合，對資源進行重新分配，優化效果將會更符合醫院實際情況.