利用錯誤資源進行教學活動的再實踐

汪海鯨

學生在學習數學的過程中，會不可避免地產生這樣或那樣的錯誤。有的錯題有一定的典型性，充分利用這些錯題資源，能夠挖掘出隱藏在錯題背后的內涵，進而將錯誤轉化為教師的教學智慧，讓它成為寶貴的教學資源。同時，把錯誤轉化為學生后續學習的資源，進行作業練習的再設計，能夠讓錯誤成為提高學生思維能力的生長點。

一、學生錯誤產生的主要根源

一是基本概念理解不清。數學概念是數學知識體系的支柱。在初中階段，數學概念的學習是構建整個數學知識體系的關鍵。然而，在數學學習過程中，學生往往忽視了對概念的理解與掌握，存在理解不透徹、概念混淆等情況。例如，當m、n都為自然數時，那多項式am+bn+2m+n的次數是多少？學生的答案有三種，即m、n和m+n，但都是錯誤的。究其原因，是學生對多項式“次數”這一概念的理解不到位。

二是基本運算存在錯誤?！墩n程標準（2011年版）》對各學段的運算提出了明確的要求，即學生要掌握必要的運算（包括估算）技能。但學生在學習中經常會出現計算錯誤。究其原因，是學生存在因視覺遷移而引起的認知錯誤和沒有完全掌握運算法則等。例如，在計算（x-2y）（x+3y）-（-x+y）（-x-y）中，學生的錯誤率較高。究其原因，是學生沒有發覺（-x+y）（-x-y）可利用平方差的公式來計算;或已知道可用平方差公式來計算，但沒有找到其中那個單項式所對應的平方差公式里面的a與b;或對-（-x+y）（-x-y）前面的減號，沒有對“后式”進行整體變號，從而造成了計算錯誤。

三是數學思維品質的缺失。數學思維品質的形成在數學學習過程中占據核心地位。生活中，人們經常要運用數學的方法去思考和解決問題。在數學學習過程中，需要學生綜合運用基本的數學概念、數學方法和數學思想，來逐步形成數學能力，發展數學思維。因此，在數學學習過程中，如果學生缺乏觀察、分析、判斷和創造性思維能力，就會在解題中出現錯誤。例如，關于x的方程=1的解是負數，求a的取值范圍。很多學生的答案是a<1，但實際結果是同時要求a≠0。其中所暴露出的問題，就是學生在問題解決的過程中缺乏觀察與判斷，以致對問題產生片面性思考。

四是數學學習情境的缺失。數學學習離不開情境的建構，否則容易形成錯誤的理解。小學數學中有這樣一個問題：一輛大客車能坐48名乘客，如果全校1034名師生坐這種大客車去野外做實踐活動，那一共需多少輛大客車？這個問題正確的計算結果是“1034除以48等于21，余數為26”。但有31%的學生回答所需大客車的數量為“21輛26人”;25%的學生回答所需大客車的數量為“21輛”;24%的學生回答正確，即所需大客車的數量為“22輛”;20%的學生計算錯誤。出現這種情況的原因是學生沒有理解題中情境的意義，這就不利于學生數學能力的形成。

二、錯題導課激發學生探知欲

學生在解題過程中出現的錯誤是很好的教學資源，如果能恰當運用，就可以激發學生的學習熱情，使學生對問題形成認知沖突，從而提高學生的思維能力與積極性。例如，在滬教版八年級上“一元二次方程的應用（2）”的教學過程中，其導入一般是從課本上的例題3（見圖1）引出來的，大部分學生都能夠理解掌握。但若將題目中的鐵柵欄開一扇2米的門，再讓學生根據圍成的面積求邊長，很多學生就會出現錯誤。這時，就可對例題3進行改編，即將臨時倉庫的一邊開一扇2米寬的門。這使學生們形成了兩種意見：對“2米寬的門”中的“2”這個量，在設長度時，是“加上2”，還是“減去2”。這時，教師應放慢節奏，不做判斷，讓各方代表充分發表自己的意見，讓其他學生在聽的過程中思考用何種列式更合理。這樣，恰當利用學生在問題認知上的錯誤，引發學生的認知沖突，讓他們養成主動思考的習慣。當教師發現學生出現錯誤時，要及時利用學生的錯誤引導他們思考，讓他們找到分析問題的正確思路。

三、利用學生的錯題突破重難點

一是將難點分解轉化。對于教學中的重難點問題，需要教師給學生設計一個與已有知識緊密相連的學習過程。如在滬教版八年級上“一元二次方程的應用（1）”的教學中，需要學生在學習過程中掌握以下知識：如何通過求解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解來對多項式ax2+bx+c（a≠0）進行因式分解;方程ax2+bx+c=0（a≠0）和多項式ax2+bx+c（a≠0）因式分解之間是什么關系。學生在探究這兩個問題時，不是出現求根的錯誤，就是容易漏掉二次項的系數a，或出現符號的錯誤。倘若仿照一元二次方程求根公式法的推導過程，對二次三項式ax2+bx+c（a≠0）進行配方，配成完全平方式的形式來處理，就會發現二次三項式因式分解的方法，還會找到它與一元二次方程求根公式之間的聯系，有利于學生對這節課的知識點進行更深入的理解和把握。

二是滲透數學思想。數學思想是數學學習的關鍵，是將數學知識轉化為數學能力的橋梁。例如，在滬教版八年級上“一元二次方程”的學習過程中，分類討論思想的滲透是很重要的一環。學生在解決問題的過程中，往往存在片面看待問題的現象，故容易造成錯誤。例如，已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有實數根，求m的取值范圍。關于字母系數的取值范圍是學習的難點，因為這里并未指明是二次方程，故要考慮是一次方程的可能。教學中，教師可將分類討論的數學思想方法的一般解題步驟提煉出來，供學生參考：第一，明確討論的對象;第二，進行合理分類，而且要有個明確的分類標準，還要注意分類是否有遺漏、重復;第三，逐類討論，分級進行。

四、利用錯題進行作業設計

在滬教版八年級上“一元二次方程的概念”的學習中，學生很容易對一元二次方程概念的理解與掌握出現錯誤。究其原因，是學生在“一元二次方程二次項系數不為零”問題的討論上容易遺漏。為此，在針對此項內容的學習與掌握上，教師可在本單元的練習設計中，從不同層次、不同知識上滲透對二次項系數不為零的討論，讓學生從不同的角度深化對一元二次方程概念的理解，提升學生對這一概念在不同情形下的運用與掌握，從而不斷鞏固學生所學的知識，不斷提升學生的思維品質。

以上是通過分析學生錯誤產生的原因，來反思教師在教學過程中的得與失，以及它與學生的學法之間的關聯，進而不斷完善教學方式方法;通過教學環節的改進、習題的配置，達到提高學生預見錯題的能力，變錯題為提高學習效率的資源。

（責任編輯? ?郭向和）