關注運算能力發展的計算教學習題設計

宋曉春

（廈門市同安區第三實驗小學，福建 廈門 361109）

計算教學中的習題，很多是純粹的計算類練習，比如“口算”“列豎式計算”“脫式計算”等，其目標指向是訓練學生的運算技能，提高學生運算的速度和正確率。這樣的習題設計關注的僅僅是計算的結果，即停留在“會計算，能算對”的運算技能培養。這樣的運算訓練是機械的、重復的，往往給學生留下“計算枯燥無味”的印象，也容易導致學生思維刻板。在新課程改革以及關注學生核心素養培養的時代背景之下，數學習題設計不能僅僅關注運算技能，更要關注學生運算能力的培養。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”發展學生的運算能力，可促進學生理解運算意義，明晰運算原理，掌握運算方法，選擇運算途徑，學會正確、合理、靈活地計算。

一、豐富現實原型，促運算意義理解

運算意義是學生學習具體運算的基礎，也是解決相關實際問題的依據。把握準確、深刻的運算意義，才能發展運算能力。運算意義的獲得，是學生從現實原型出發，不斷抽象、建構數學模型的過程。張奠宙教授指出，數學中的基本概念和基本算法都可以叫作數學模型，加減乘除都有各自的現實原型，它們都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。教師在設計習題時，可多提供豐富的現實原型，引導學生在辨析、比較、體驗多種現實原型中尋找基本原型，不斷抽象加、減、乘、除運算的意義。加法的原型可以是“合并”“移入”“增加”等，基本原型是“合并”；減法的原型有“剩余”“相差”“加法的逆運算”等，基本原型是“求部分數”；乘法的原型有“幾個相同加數的和”“倍的問題”“面積”等，基本原型是“幾個相同加數的和”；除法的原型有“平均分”“比率”或乘法逆運算等，基本原型是“平均分”。例如，教師可運用文字描述豐富的現實情境，提供以下現實原型：

以下四個問題中，不可以用25×5 這個算式解答的數學問題是（ ）。

A.三年級參加足球興趣小組的有男生25 人，女生5 人，一共有學生多少人？

B.街道綠化工程，種了25 棵楊樹，種的柳樹是楊樹的5 倍，種了多少棵柳樹？

C.學生做操，每排站了25 人，排了5 排，一共有多少人?

D.一個長方形的長是25cm，寬是5cm，面積是多少平方厘米？

這些選項里有加法的現實原型，也有乘法的現實原型。學生在不同的情境中抽象出現實原型，教師進一步引導學生比較發現乘法的三種現實原型“幾個相同加數的和”“倍的問題”“面積”的本質是相同的。比如B 選項中“倍的問題”，教師通過畫圖，讓學生體會到“求一個數的幾倍是多少”，即“求幾個幾是多少”，也就是“求幾個相同加數的和”。D 選項中“長方形的面積”問題，引導學生回憶面積公式的推導過程，明晰求一個長方形的面積是多少，相當于求這個長方形可以擺幾個邊長1cm 的小方格，長方形的長相當于每排擺了幾個，寬相當于擺了幾排，長×寬相當于“每排擺幾個×擺幾排”，其實質也是“求幾個相同加數的和”。由此，學生認識到乘法的基本原型是“求幾個相同加數的和”，對乘法意義的認識更加深刻到位。

二、呈現多元表征，促運算原理明晰

學生不僅要“會算”，還要明白“為什么這樣算”，即明白“算理”。算理是運算的原理。曹培英指出，算理是運算能力的核心成分，它與算法構成運算能力的“一體兩翼”。以往的習題設計更多的是關注學生計算的結果，關注學生計算的準確率，忽視對學生計算過程的關注，忽視學生是否真正理解算理而不只是機械地計算。教師在進行計算習題設計時，呈現多種表征方式，引導學生聚焦不同的表征方式背后相同的算理，促進學生對算理結構化的理解。下面以“兩位數乘兩位數的筆算乘法”的習題設計為例。

1.與口算勾聯

口算是豎式計算基礎，有些口算的過程和豎式計算的算理在本質上是一致的。這時，可以對比口算與豎式計算，溝通兩者的聯系，進行勾聯。習題設計如下：

下面是小明口算一道題的過程。請問，他計算的乘法算式是（ ）

16×10＝160

16×2＝32

160+32＝192

2.與直觀模型勾連

在算理教學過程中，往往要借助一定的直觀模型幫助學生理解算理。這些直觀模型有小棒、計數器、點子圖、格子圖、數軸等。在習題設計時，可以將豎式與直觀模型勾連，以促進學生對算理的領悟。習題設計如下：

3.與具體情境勾連

在具體的情境中理解列豎式計算每一步的含義，讓學生對算理的理解有了情境的直觀化依托。習題設計如下：

陳師傅平均每小時做19 個零件，那么工作13 小時做了多少個零件？在下列豎式中箭頭表示（ ）

A.工作3 小時做了190 個零件。

B.工作10 小時做了19 個零件。

C.工作10 小時做了190 個零件。

D.工作13 小時做了190 個零件。

4.在“去情境化”中抽象

習題設計時，拋開口算、直觀模型、情境等依托，從算理本質入手，直接用數學語言進行表征算理。這就是“去情境化”練習，可以提高學生對算理的抽象化理解水平。習題設計如下：

在19 乘13 的豎式中，箭頭這一步表示的是（ ）

A.10 個19 的和

B.13 個19 的和

C.1 個19 的和

D.3 個19 的和

三、重視理法融合，促運算方法掌握

算法是計算的程序和要領，重在對算理的提煉和總結。算理和算法相互融合，共同支撐運算能力的形成。習題設計時，重視算理算法相互融合，促進學生掌握運算方法。

1.加強算法的比較

計算算法多樣化，可以加強不同算法之間的比較，分析異同點，在比較分析中進一步聚焦計算本質。如“三位數乘兩位數”的計算，可以運用“格子乘法”和“多層列豎式”法，請學生觀察對比，習題設計如下：

以上兩題借助數學史上的算法，開闊學生的視野，同時引領學生觀察、比較、分析“與熟悉的豎式算法”的異同點，促進學生理解筆算乘法內在的本質。不管是哪種方法，實質都是將拆分成的幾個幾、幾十個幾、幾百個幾等用豎式加以記錄，本質上都是相同計數單位的累加。

2.突顯算法的“關鍵步驟”

算法中有“關鍵步驟”，習題設計時可以突顯“關鍵步驟”，在關鍵處理法融合，在關鍵處強化訓練，使學生掌握算法，不易出錯。如“三位數除以一位數的筆算”算法是：從被除數的最高位除起，如果最高位不夠除，就看被除數的前兩位，除到哪一位時，商就寫在哪一位上。在計算過程中，關鍵的一步是“判斷商的最高位”。這是計算的第一步，為順利進行接下來的計算奠定基礎。針對這個“關鍵步驟”，教師可以先設計習題“要使口76÷6 的商是兩位數，口中最大能填()”。學生在觀察、討論、交流的基礎上，小結出“被除數的最高位大于或等于6 時，商是三位數；被除數的最高位小于6 時，商是兩位數”。教師追問為什么，引發學生深思并理解“被除數的最高位小于6 時，不夠1個百，商的最高位只能在十位”。由此，算理算法相融，促學生深刻理解“判斷商的最高位”的方法。接著，教師設計“不計算，快速判斷下面的商是幾位數”的習題，進一步強化訓練，使學生真正掌握“判斷商的最高位”的方法。

四、引導比較分析，促運算途徑選擇

學生在解決純運算問題，或者在解決實際問題的運算決策與實施過程中，能根據問題的條件尋找并設計合理、簡捷的運算途徑，這是學生運算能力發展的表現。教師在習題設計時，應增強學生的比較意識，使學生對問題的不同運算途徑能夠及時分析比較，選擇合理、簡捷的運算途徑。

1.改變習題設計的指導語

以往經常用“口算”“估算”“筆算”“脫式計算”等指導語為學生指定運算途徑，導致學生不需要思考就可以解決問題，或者滿足于一種運算途徑，造成思維“僵化”“程式化”。教師可以將習題設計的指導語改為“選擇你喜歡的方法進行計算”“你認為怎樣簡便就怎樣算，記錄你的計算過程”“如果不列豎式，還可以怎樣算”等，給學生自主思考、自主選擇運算途徑的機會。同時，教師調整跟進相應的評價標準，促進學生對比反思“解決這一個問題有哪些方法？哪個方法最簡捷？”等。

2.增加分析比較類習題

“計算”并不是一項機械化的工作，計算中也蘊含著觀察、推理、分析、比較等思維成分。教師設計分析比較類的習題時，可引領學生感受單純的“計算”并不是解決問題的唯一方法。解決問題的運算途徑多樣化，增強學生計算過程中分析思考的意識，積累豐富經驗，避免思維定式。如“判斷錯題和連線找算式”這兩種題型，要求學生不要列豎式計算，而是運用自己的計算經驗進行分析、判斷、說明。學生可以運用乘積個位上的數字特征、估算比大小等多種策略進行綜合分析，充分體驗到不需要列豎式計算也可以快速作出判斷，其觀察能力、推理能力、估算能力、計算思維都得到發展。

題一：205×42=6023

不列豎式計算，請判斷上面這題是否出錯？寫出你的判斷依據。

題二：不列豎式計算，直接判斷。（將左邊算式與右邊對應的計算結果連起來）

75×48 1794

26×69 3600

36×69 972

82×11 2484

81×12 902

總之，運算能力是在學生數學核心素養培育背景下提出來的一種重要的數學能力。教師在計算習題設計時，關鍵要發展學生運算能力，實現正確、合理、靈活地計算。