解題教學需要捅破那層窗戶紙

摘要：如何讓學生在解題中思維更開闊縝密，解題更高效，需要我們在平時的課堂教學中注重學生思維品質的培養，引導學生加強對各知識點和模型的聯系。本文以初中數學課堂教學為研究切入點，引導學生理解性質定理的聯系，以課本中的例題、課后練習題為例，對解題教學中提高學生發散學生思維、加強知識點之間整合進行了詳細的研究和分析。

關鍵詞：初中數學;窗戶紙;聯系;發散思維

數學問題是基于數學概念、知識、方法和思想等方面的一種整合與創新。解題過程中學生需自覺的分析題目中的條件和特征，有效的捕捉題目中的重要信息，多角度、深層次、全方位地探索解題思路，在聯想、反思、比較、選擇中尋找解題策略。筆者結合初三教學過程中的具體實踐，以浙教版教科書為例談談在概念、定理或推論、課本例題、課后練習題及幾何與函數中如何捅破那層窗戶紙，引導學生加強對各個知識點的聯系，以達到融會貫通，方便解題的目的，談談自己的心得體會，聊以拋磚引玉，愿與廣大同仁探討。

一、捅破概念的那層窗戶紙

九年級上冊，我們學習《圓的基本性質》中指出“在同一平面內，線段OP繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一端點P所經過的封閉曲線叫做圓”。勿容置疑，大部分學生對于這個概念是沒有問題的，但是，當點P不是旋轉一周，而是幾個跳動的點的時候，就很少有同學能想到圓了。例題呈現：

如圖1所示，四邊形ABCD中，DC//AB，BC=1，AB=AC=AD=2，則BD的長為（? ? ? ）

思維對比：此題如果用常規思維來解，過A作BD、BC的垂線短，構造全等三角形來做，解法比較繁瑣。而如果能看到圓，補充圓，則該題就變成了一道口算題了。筆者在班級中粗略的看了一下，發現用圓來解決的同學占比三成左右。

反思：對于學生來講，看到圓去解圓，比較容易，但是要學生逆向思維圓的確有點困難。這應該緣于自己在圓概念教學當中的欠透。當以條線段繞它固定端點旋轉一定角度，也是圓的一部分（扇形）;當一條線段的一個端點繞另外一個固定端點跳動的時候也得到圓的一部分（點圓）;當平面內幾個點到一個固定點的距離都相等的時候也得到圓的一部分，不管哪種情況得到的模型它們都應該具有圓的性質。如果能把圓概念的這層窗戶紙讓學生捅破，我相信遇到類似題目想到用圓來解決的人會越來越多。

二、捅破推論的那層窗戶紙

九年級上冊，我們學習《圓的基本性質》得到圓周角定理的一個推論“半圓（或直徑）所對的圓周角是直角”。

如圖2就是“半圓（或直徑）所對的圓周角是直角”的課本圖示。讓學生去分析這個圖形可引導學生得到以下幾點心得：其一，這其實給了我們提供了一個用尺規作直角的方法;其二，如果連接CO，那么“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，就如此理所當然;其三，如果點C在圓周上運動，使得∠B=30?，那么“30?角所對直角邊等于斜邊的一半”、圓周角定理又完美的結合在一起;其四，如果延長CO與圓相交，得到矩形，那么矩形的性質和判定，在這個圖形中是如此的和諧！學生回顧或解惑以前學過的知識的同時，又進一步切身感受數學定理的嚴謹性和邏輯的嚴密性，更能拓展了自己的發散性思維，這層紙要捅破！

三、捅破例題的那層窗戶紙

九年級上冊，我們學習《圓的基本性質》3.5《圓周角》這一節例題3，題目如下：

如圖，有一個弓形的暗礁區，弓形所在的圓的圓周角∠C=50?.問船在航行時怎樣才能保證不進入暗礁區？

當船在燈塔線AB以上海域航行，會不會進入暗礁區域，顯然以此弓形上的優弧為界。那么，假如要使船在此優弧上航行，要滿足什么條件呢？根據“在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等”，則必須保持∠S=50?。至此，由定線段（燈塔AB）和定角構成的“定弦定角得定圓”的隱圓模型躍然而出。

近年來各地中考卷中隱圓問題時有出現，有動點并且涉及到軌跡問題，學生處理起來比較困難。如能捅破這個例題“定弦定角得定圓”的窗戶紙，我相信對學生感知模型的意義、體驗模型建立并最終解決此類問題會有很大的幫助。

四、捅破課后習題的那層窗戶紙

4.1九年級上冊，我們學習《相似三角形》4.4《兩個三角形相似的判定》這一節課后習題，題目如下：

如圖4，在?ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于點D，試寫出圖中的相似三角形。

不難發現，圖中Rt?ABC、Rt?ACD、Rt?CBD三個彼此相似，那么同學們是否可以寫出這些三角形對應邊成比例的比例式呢？當學生寫出AC2=AD·AB;BC2=BD·AB;CD2=AD·BD時，突然得到三個比例中項的體驗和欣喜，無疑會加深學生對此模型（射影定理）的印象！

4.2課本同一頁中的另一課后習題，題目如下：

已知：如圖5，在☉O中，弦AB與CD交于點P，

（1）求證：?ADP∽?CBP.

（2）判斷AP·BP=DP·CP是否成立，并給出證明.

證明和判斷都很簡單，我們需要讓學生思考兩個問題：其一，題中這些線段的特征;其二，這個結論是否具有普遍性，能否用自己的語言描述（相交弦定理）。

當圖4的外接圓被補充，斜邊上的高被倍長，如圖6，對于CD2=AD·BD，學生會有欣喜若狂的發現，原來我們同出一轍！兩個看似毫不相干的圖形，在特定的條件下竟然互為印證，這就是數學的美、數學的嚴謹！

五、捅破幾何與函數的那層窗戶紙

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微;數形結合百般好，隔離分家萬事休”。數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透。例題呈現：

[2017寧波]如圖7，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4，國點E做EFBC，分別叫BD，CD于G，F兩點。若M，N分別是DG，CE的中點，則MN的長為（? ? ）

該題在中數參2017年第10期《從信息萃取到多解生成》一文中浙江省象山港書院的周孝輝、王偉兩位同仁用構造、面積等方法提供了6種幾何解法，可謂用心良苦，筆者甚是認同。只是在我們平時的解題教學中，捅破幾何函數間的那層窗戶紙，不僅能為學生的思維拓開一個新的方向，更能在限時作業中收到更好的效果。

“有形缺數，調用函數;直角中立，或可建系”，數形結合思想是中學到高等數學解題中極其重要的解題方法。如果我們以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，這道題就可以口算得出結果。

六、結束語

課程標準中明確了解題要求，要使得學生能夠靈活準確地掌握相應的數學知識，不斷拓展知識之間的聯系，使學生形成分析與求解問題的思路和方法，要發展學生的思維能力。教師在課堂教學過程中應更加注重引導學生對知識點的拓展和整合，培養學生的發散性思維，這必然對加強學生的解題能力有很大的幫助。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]周孝輝、王偉《從信息萃取到多解生成》中學數學教學參考，2017.10

作者簡介：殷美喬（1978.12-）男，浙江紹興人，本科，浙江上虞曹娥街道中塘學校教師，職稱：中學一級，研究方向：初中數學教學。