選考必選，素養必有

陳龍龍

【摘要】坐標系與參數方程作為選考內容，出現在全國卷高考中的第二十二題。該內容作為選考常被棄或在被輕視。學生選考，雖選不解，迫于時間有限，走馬觀花式的解決此內容。教學中亦出現對該內容價值挖掘不深，單純從解決單一問題角度出發去處理該內容。坐標系與參數方程本質屬于解析幾何，所以可以處理解析幾何內容，為學生理解解析幾何的帶來新視角，是解析幾何培養學生核心素養另一途徑的有力工具。本文從這些思考去探討坐標系與參數方程的深入價值。

【關鍵字】坐標系與參數方程? ?核心素養? ?解析幾何

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）08-022-02

經歷了幾輪課程改革，數學的育人價值由注重知識轉變為注重學生情感態度價值觀培養，著眼于學生的全面發展，著眼于學生的探究性學習，讓學生有終身學習的發展理念。培養目標也隨時代要求進一步完善，提出了六大核心素養。

而引導核心素養培養的課程理論，從知識構架方面，要求教師在設計課程中要有全局意識，培養素養的立意。其中解析幾何在培養學生邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養有重要作用。而坐標系與參數方程在教學中從內容及知識應用上都未得到重視。坐標系和參數方程可以解決自身問題，也可以將坐標系與參數方程問題轉化為直角坐標方程，但教學中出現了遇到極坐標與參數方程問題一般轉化為直角方程問題來處理的偏頗。坐標系與參數方程的引入本身具有解析性質，那么解析幾何問題能否用坐標系與參數方程知識解決呢？

坐標系與參數方程的引入是幾何問題代數化的標志，坐標系與參數方程有更豐富的幾何意義，理解掌握幾何意義，是掌握其應用的關鍵。

近年高考中，解析幾何必考，但坐標系與參數方程的方法未引起重視，需要教師引導學生前往探索。可以構建學生情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思的學習過程的理解。

本文圍繞實際問題探求解析問題的坐標系與參數方程視角下的解法，希望能給讀者帶來新的理解。希望推動解析幾何下坐標系與參數方程教學為載體的學生核心素養培養的又一次思考。

例1.（2010年·全國Ⅱ·12）? 已知橢圓C：

（a>b>0）的離心率為? ? ? ?，過右焦點F且斜率為k（k>0）的直線與C相交于A、B兩點。若AF=3FB ，則k= .

[解法一]：設橢圓方程為? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，則F（ 3? ，0）

過F的直線的參數方程為

代入橢圓方程得

AF=3FB，則|AF|=3|FB|.即t1= -3t2 ，由①②? k=? ? ? .

[解法二]：以右焦點F為極點，x正半軸為極軸，F點到右準線距離為p，e為離心率。由橢圓第二定義，設任意一點P（? ，? ? ）點在橢圓上，則

即橢圓的極坐標方程.

利用上述結果，則

極坐標本身含有夾角與長度內容，是溝通角度與長度的重要載體。根據極坐標的特點，若用極坐標解決恰好將角度和長度在同一個方程里表示，而且明確了兩者之間的關系。正因為如此，極坐標在處理與角度和長度相關問題更有其優越性與生命力。

例2.（2016年·全國Ⅱ）已知橢E：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的焦點在x軸上.A是E的左頂點，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.

（1）略.

（2）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍.

解：? 過A（-? m，0），過A直線參數方程為

代入橢圓（3cos2θ+msin2θ ）t2 -6 m tcosθ=0

t=

2|AM|=|AN|

直線的參數方程亦能將長度與角度聯系起來，直線的參數方程不僅具有消參可以使得變量統一的功能，更能根據自身特點聯系長度與角度，解決與夾角和長度相關的問題。

例3.（2016年·全國Ⅰ·19 ）設橢圓C：? ? ? ? ? ? ? ，右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，M的坐標為（2，0）.

（1）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

證：（1）F（1，0），過F點的直線的參數方程為

例4.（廣東佛山2019屆高三質量檢測（一））已知橢圓C1：? ? ? ? ? ? ? ? ?（a>b>0）的焦點與拋物線C2： y2=8? 2 x的焦點F重合，且橢圓右頂點P到F的距離為3-2? 2.

（1）求橢圓C1的方程.

（2）設直線l與C1交于A，B兩點，且滿足PA⊥PB，求Δ PAB面積的最大值.

解：（1）

（2）P（3，0）設過PA的直線參數方程為

結束語

坐標系與參數方程又是平面幾何中曲線的又一重要表64現形式，有著重要的幾何意義，溝通了夾角與距離兩個重要幾何量之間的關系。因此，可以用來解決解析幾何問題，應根據問題的實際意義，探索性的使用極坐標與參數方程解決問題。坐標系與參數方程雖然是選考內容，但是對培養學生的幾何直觀，數學運算，邏輯推理等核心素養方面有著重要作用。在教學中需要教師挖掘極坐標與參數方程在解決具體問題中的實用價值，同時在平時的教學中要利用該內容滲透數學核心素養，培養學生豐富的數學認知，健全學生知識體系，培養學生深層次的全方位個性發展，構建學生終身發展學習理念。所以坐標系與參數方程在培養學生的解析幾何下的核心素養有重要作用，應該引起教師的足夠的重視。

【補充案例】

1.（2017全國卷1·理）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F做相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，求|AB|+|DE|的最小值。

2.（湖南長沙2019屆高三模擬（節選）） 已知橢圓C：

，過x軸正半軸上一點M作l直線交橢圓C于A、B兩點.

問：是否存在定點M，使當直線l繞點M轉動時

為定值.

3.（2019年湖北第四屆高考測評·理·16）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作兩條互相垂直弦AB、CD.若Δ=AFC與ΔBDF面積之和的最小值為16，則拋物線的方程為? ? ? ? ? ? ? ? ? .

[參 考 文 獻]

[1] 人民教育出版社.普通高中課程標準實驗教科書（A版）：數學4-4（選修）.

[2]教育部.普通高中數學課程標準.