廣義坐標及其選取

石小寧

摘要：介紹廣義坐標的概念及其在動力學和靜力學中的選取方法。

關鍵詞：廣義坐標;自由度;虛功原理

1687年，牛頓《自然哲學的數學原理》一書的出版，標志著經典力學的正式建立，成為研究機械運動的有力工具，產生了深遠的影響。但是經典力學在分析具體運動時也有其不足之處，它是一門矢量力學，在處理問題時側重于力和加速度等物理量的矢量分析，而且使用傳統的坐標系，因此在數學分析上比較繁瑣。牛頓以后的科學家為了克服上述缺陷，在研究物體的機械運動時，一方面側重于用功和能量等標量來描述物體的運動;另一方面，選取完全獨立的廣義坐標來替代傳統意義的坐標，使得運動方程的數目變少，在這個基礎上逐漸發展出了一個新的力學分支——分析力學。下面簡單討論一下分析力學中的廣義坐標及其選取的問題。

1 廣義坐標

研究物體的運動，就需要確定物體在空間中的位置。在數學上，就是建立坐標系并用相應的量來表示，這些量就是坐標。一般情況下，坐標都是表示距離和方位的量，如長度和角度。傳統的坐標系，如笛卡兒坐標系、球坐標系、柱坐標系都是這種表示方法。

但是，表示物體在空間中的位置，除了用線量和角量以外，還可以用許多其它的量來表示，這些量不再是傳統意義上的表示距離和方位的量，它可能是面積、體積等，甚至電極化強度、磁化強度等都可以作為表示物體空間位置的坐標。由于這樣的坐標不同與以往用線量和角量表示的坐標，而且這種坐標與具體的坐標系無關，因此，把這種坐標稱為廣義坐標。

廣義坐標的選取沒有什么特定的限制，主要取決于研究對象的自由度，也就是它的獨立坐標數目。廣義坐標的數目必須與自由度的數目相一致。由n個質點組成的力學體系，用傳統直角坐標系的話，每一個質點的坐標為（x_i，y_i，z_i）共三個坐標，因此，n個質點在空間中需要3n個坐標來表示它的位置。但當它受到k個約束時，以穩定約束為例，每一個約束都可以表示成一個約束方程：

通過約束方程，可以將其中任一個坐標解出，因而，三個坐標中就有一個是不獨立的。由此，對于有k個約束的力學體系，真正的獨立坐標只有：

s就稱為力學體系的自由度，它確定了獨立坐標的數目。當力學體系的自由度s確定后，就可以選擇s個完全獨立的量來表示力學體系在空間中的位置，這些量就是廣義坐標。廣義坐標與傳統坐標（如直角坐標）滿足變換關系為：

所以也可以認為，當一個力學體系不受到約束的情況下，傳統意義上的坐標，如直角坐標、球坐標、柱坐標等也就是廣義坐標。

2 動力學中廣義坐標的選取

先討論力學體系在受到完整約束情況下的動力學過程中廣義坐標的選取問題。

從上面的分析可知，選取一個力學體系的廣義坐標，首先必須要確定它的自由度。力學體系的形式主要有以下幾種：⑴質點，⑵質點組，⑶剛體，⑷剛體系，⑸質點組與剛體系組成的體系。其中質點組、剛體系、質點組與剛體系組成的體系除了有外在的約束外，還可能存在內在對象之間的約束，要視具體的約束情況而定。這里只介紹一下質點和剛體在運動過程中自由度的確定方法，這也是最常遇到的情況。一個質點在不受約束的情況下，它的自由度是3，當它被限制在面上（曲面或平面）運動時，自由度為2，當被限制在線上（直線或曲線）運動時，自由度為1。剛體的自由度要比質點多一些，這里只介紹重要的幾種情況下的自由度。當剛體不受約束，剛體作一般運動，自由度是6，當剛體作定點轉動或平面平行運動，自由度是3，剛體作定軸轉動，自由度是1。當然，剛體還有其它的運動形式，對應的自由度也不同，由于不是很典型，讀者可自行分析。

其次，力學體系的自由度確定好后，廣義坐標的數目必須和自由度的值一致。選取廣義坐標可以靈活多樣，但必須各坐標之間要保持獨立性，即保坐標之間不能用方程聯系起來，否則就是不獨立的。下面舉一道最簡單的單擺例題（如圖1），說明廣義坐標選取的多樣性，起到拋磚引玉的效果。

首先，單擺是沿著圓弧運動，故其自由度為1。通常情況下，都是選用擺線與豎直方向的夾角q作為廣義坐標。現選取擺線與豎直線所圍的扇形面積S作為廣義坐標，用基

這與選q作為廣義坐標所得結果完全一致。這道題還可以選相對于最低點的弧長作為廣義坐標，這其實就是自然坐標，結果也是一樣的，可見，廣義坐標的選取是多種多樣的，但必須與自由度數相一致。

3 靜力學中廣義坐標的選取

在理想約束的情形下，當力學體系處于平衡狀態時，用虛功原理處理力學體系的平衡問題。在動力學的情形下，研究對象的運動范圍或者軌跡是可以確定的，因此可以以此為基礎確定自由度和廣義坐標。但在平衡狀態下，力學體系保持靜止，自由度和廣義坐標又該如何選取呢？主要依據就是在約束的情況下，沿著任意可能的情況下發生的虛位移來確定自由度和廣義坐標。

現舉一例，如圖2所示，一個剛性桿置于半球形的碗內處于平衡。剛性桿受到主動力重力mg，約束力N₁和N₂。首先確定剛性桿的自由度，所受到的三個力均為平面力系，所以不考慮半球形碗的限制，剛性桿將作平面平行運動，自由度為3。但是由于剛性桿受到兩個約束，每個約束減少一個自由度，所以其自由度為1，故只需選擇一個廣義坐標。讓剛性桿在約束的情況下發生一個虛位移，圖中從實線移動到虛線位置。這樣，可以選擇圖中的q為廣義坐標，也可以選擇桿在碗內的長度作為廣義坐標，結果是一樣的。

4 總結

通過以上的討論可以看出，廣義坐標的選取是多種多樣的，關鍵是先要確定好力學體系的自由度，然后再選擇廣義坐標。廣義坐標的數目必須與自由度數相一致，而且廣義坐標必須獨立，這是至關重要的。

參考文獻

[1] 周衍柏.理論力學教程[M].高等教育出版社，2009.