探究“一線三等角”模型解題攻略

曾 靜

【摘要】 利用MM策略數(shù)學(xué)建模思想是重要的教與學(xué)的思想，靈活掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解題是解決綜合題型的重要突破方法。巧用”一線三等角”模型能更好地突破數(shù)學(xué)綜合題，拓寬學(xué)生的解題思路，拓展學(xué)生的解題思維，讓學(xué)生獲取學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的靈性，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)變得更有趣。現(xiàn)代數(shù)學(xué)理念認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維過程的教學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得新的知識(shí)，而且要提高學(xué)生的思維能力，要培養(yǎng)學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)考慮和處理實(shí)際問題，從而形成良好的思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)建模思想 一線三等角模型 數(shù)學(xué)綜合題

【中圖分類號(hào)】 G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號(hào)】 1992-7711（2020）02-171-020

數(shù)學(xué)課標(biāo)實(shí)驗(yàn)本在前言部分11次提到了數(shù)學(xué)的建模，用模問題，數(shù)學(xué)建模的思想對(duì)提高初中生數(shù)學(xué)思維能力有很大的促進(jìn)的作用，它能使學(xué)生真正把數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)活，達(dá)到深化、理解知識(shí)、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高。

利用數(shù)學(xué)模型思想，讓教師們?cè)诮虒W(xué)中不是按點(diǎn)教學(xué)，不只為講一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或講一道題，而是按塊教學(xué)，運(yùn)用綜合知識(shí)解決一類有共性的題，歸納出模型。利用數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)滲透到平時(shí)的實(shí)際教學(xué)中，能提高學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力，讓學(xué)生在面對(duì)綜合題時(shí)不會(huì)束手無措，模型思想的可以給學(xué)生提供更合適的解題思路，減低學(xué)生的思維量，提高解題信心，緩解學(xué)生解題的緊張感。

學(xué)生到了九年級(jí)，數(shù)學(xué)知識(shí)累積到了一定程度，但很多知識(shí)較模糊，尤其是對(duì)于解決綜合題更是無從下手，數(shù)學(xué)模型思想的學(xué)習(xí)，模型的應(yīng)用在一定程度上能開拓學(xué)生的解題思路，在獨(dú)立解題上能更好地引導(dǎo)自己解題突破，學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)題目有熟悉感，離解題成功也就不遠(yuǎn)了。

在眾多的數(shù)學(xué)幾何模型中，一線三等角模型應(yīng)用頻率很高，在綜合題中起到關(guān)鍵的解題突破的作用。什么是一線三等角模型，它突出的特點(diǎn)就是構(gòu)造兩組角對(duì)應(yīng)相等。具體的定義描述是：

兩個(gè)相等的角一邊在同一條直線上，另一邊在該直線的同側(cè)或異側(cè)，第三個(gè)與之相等的角的頂點(diǎn)在前一組等角的頂點(diǎn)中所確定的線段上或線段的延長(zhǎng)線上，另外兩邊分別位于一直線的同側(cè)或異側(cè)與兩等角兩邊相交，會(huì)形成一組相似三角形，習(xí)慣上把該組相似三角形稱為“一線三等角型”相似三角形。（通俗地講，一條直線上有三個(gè)相等的角一般都會(huì)存在相似三角形。）較常見的“一線三等角型”按角分，分別有“銳角一線三等角”、“直角一線三等角”、“鈍角一線三等角”，三種模型如下圖

銳角一線三等角 直角一線三等角鈍角一線三等角

一線三等角模型適用于三角形全等和三角形相似。

直角一線三等角模型尤為常用，在代數(shù)的函數(shù)和幾何中，都能靈活應(yīng)用，這模型的熟練掌握通常能順利幫助學(xué)生攻破難題，解題得心應(yīng)手。

例1是直角一線三等角模型應(yīng)用于幾何綜合題型。此題在圖1直角一線三等角模型基礎(chǔ)上做小變題，增加一些條件，便可以成為豐富的出題素材。

圖1 圖2 圖3

例1：如圖2，P在線段BC上，BP=CP，∠B=∠APD=∠C=90°，證明：△ABP∽△APD。本題的題干是很好的出題載體，可以產(chǎn)生不少結(jié)論。

常見的結(jié)論有：

上述這六個(gè)結(jié)論中，第一個(gè)結(jié)論要用二次相似，對(duì)于考生來說較難，突破了結(jié)論①，后面的五個(gè)結(jié)論都可以由它演變而來。結(jié)論①的思路如下：

由直角三角形一線三等角模型，易證△ABP∽△PCD，可得■=■，由條件PC=BP等量代換，得到■=■，再結(jié)合∠B=∠APD=90°，可證△ABP∽△APD，從而得到結(jié)論①。

勾股定理的證明方法有600余種，其中美國(guó)第二十任總統(tǒng)加菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話，被稱為“總統(tǒng)證法”，圖形的構(gòu)造就是利用了直角一線三等角模型，如圖3.這種勾股定理的證明方法簡(jiǎn)單、直觀、簡(jiǎn)捷、易懂和明了。

接下來再看看直角一線三等角在函數(shù)題中的出色表現(xiàn)。

例2：如下圖，∠AOB=90°，且OA、OB分別與函數(shù)y=-■（x<0）、y=■（x>0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，則tan∠OBA的值是? ? ? ? .

分析：過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D構(gòu)造一線三等角模型。得△OBD∽△AOC，■=（■）2，又點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=■（x<0）的圖象上，S△AOC=1，S△OBD=■，可得tam∠OBA=■=■.

這道題是函數(shù)綜合題，題面上學(xué)生要利用反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正切的定義解題，但這樣不能進(jìn)行難點(diǎn)突破。本題需要充分挖掘題干和圖形的隱含條件，利用反比例函數(shù)的幾何意義并結(jié)合一線三等角模型得到三角形相似，應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)和正切的定義便能順利解題。本題解題思路的巧妙，一線三等角功不可沒，若能理解和感受到解題的過程，學(xué)生會(huì)被這題的魅力折服，讓獨(dú)立答題的學(xué)生們享受解答數(shù)學(xué)的成功感，讓學(xué)生明確到數(shù)學(xué)模型的重要性，在以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，會(huì)主動(dòng)嘗試?yán)媚Ｐ退枷肴フ莆諗?shù)學(xué)知識(shí)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得以提高。

一線三等角模型擅長(zhǎng)隱藏，它在上題中隱藏在反比例函數(shù)圖象里不易發(fā)覺，有時(shí)它也會(huì)藏在等腰三角形、等邊三角形甚至是平面直角坐標(biāo)系里。

例3：如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在BC，AB上，且∠ADE=60°.求證：△ADC∽△DEB.

分析：挖掘等邊三角形的隱含條件，可得∠ADE=∠B=∠C=60°，由一線三等角模型，易證△ADC∽△DEB.本題把等邊三角形改成等腰三角形，利用等邊對(duì)等角，再增加一角相等同樣構(gòu)造一線三等角模型。

一線三等角模型常應(yīng)用在綜合的數(shù)學(xué)題里，它不但便于解決相似問題，而且同樣可以解決全等問題。一線三等角模型能提供三個(gè)相等的角，可以提煉出兩組角對(duì)應(yīng)相等的條件，若能結(jié)合題意能找到任意一組邊對(duì)應(yīng)相等，三角形全等便成立了。總而言之，有邊相等證全等，沒邊相等證相似。

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)，在于教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)、如何思考問題、如何應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該教育自己的學(xué)生學(xué)會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以解決，即建立數(shù)學(xué)模型。也許很多教師都會(huì)問：“為什么自己的學(xué)生這么笨，分析和解決實(shí)際問題的能力這么差”，其實(shí)這跟我們平時(shí)的教學(xué)有很大的關(guān)系，正因?yàn)槲覀儧]有對(duì)學(xué)生進(jìn)行建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)訓(xùn)練，沒有培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)。

培養(yǎng)初中生“數(shù)學(xué)建模”的核心素養(yǎng)的研究，旨在從學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的角度出發(fā)，以數(shù)學(xué)建模為突破點(diǎn)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模既是學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決問題的一種能力。學(xué)生親自經(jīng)歷模型建立的“再創(chuàng)造”過程，有助于培養(yǎng)學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀家和分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，解答日常生活中的問題，進(jìn)而形成通于探索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神，靈活地運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是值得研究和探索的。在中考科目中，數(shù)學(xué)最能體現(xiàn)差距，作為數(shù)學(xué)的教育工作者，幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維能力是我們的必修課，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，同時(shí)又可以減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，最大限度地開發(fā)學(xué)生的潛能。

掌握正確的技巧和重視方法總結(jié)，往往事半功倍。數(shù)學(xué)看似變化莫測(cè)，實(shí)則很多題都可以抽象出基本模型。抓住模型，抓住本質(zhì)，方能以不變應(yīng)萬(wàn)變。當(dāng)然，一切方法都建立在一定的知識(shí)基礎(chǔ)上，打好基礎(chǔ)才能更有效地學(xué)習(xí)。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]裴娣娜.教育研究方法導(dǎo)論.安徽教育出版社（現(xiàn)代教育原理從書）.1995.8.

[2]袁振國(guó).教育研究方法.高等教育出版社（面向21世紀(jì)課程教材）.2000.7（2018.8重?。?

[3]張志存.例談方程思想在解題中是應(yīng)用.中國(guó)教育與教學(xué).2006年10月.第4卷第8期.

[4]全國(guó)數(shù)學(xué)建模工作委員會(huì)編.初中生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)教程.濟(jì)南出版社.2014.9.

[5]猿輔導(dǎo)編著.《中考必會(huì)幾何模型》.地質(zhì)出版社.2017.12.