高三復習課：空間中的垂直關系

趙建峰

【中圖分類號】 G633.6

【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1992-7711（2020）02-175-020

一、教學內容分析

本節內容是復習數學必修2的第二章《直線與平面垂直的判定及其性質》（第一課時），鑒于長方體是一個重要的空間幾何模型，運用長方體可以幫助我們直觀認識和理解空間中直線和平面的的垂直，異面直線的垂直關系，平面與平面的垂直，所以本節課以長方體為復習對象的起點，將立體幾何中的垂直關系串聯起來組織復習教學，從課本出發，熟悉線面垂直的判定定理，然后以高考題真題進行檢測。

本節課的教學重點是：回顧空間中線面垂直的判定方法及用這個判定定理去判定線面垂直。

二、學生學情分析

我所面對的學生基礎比較薄弱，雖然他們已經基本掌握了線面垂直的判定定理和性質，但在運用判定定理時，缺乏邏輯推理的嚴密性，缺乏對基本幾何模型的研究，缺乏書寫的規范性。這些知識和能力是學生需要提高的地方。

本節課的教學難點是：讓學生“看得出來，說的清楚，寫的正確”，培養直觀想象、邏輯推理、數學建模等能力。

三、教學目標設計

1）以長方體為載體，復習空間中線面，線線，面面的垂直的判定及關系。

2）結合長方體引導學生完成發現，證明問題的過程，提升直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養，積累數學探究活動經驗。

四、教學策略分析

為實現教學目標，結合學生的實際情況，這節課選用了綜合型教學策略。在內容上精編典型例題與練習，學生在通過獨立思考、合作交流、互評互助學習或完成這些例題練習的過程中，實現靈活應用相關定理分析問題、解決問題目的;在形式上，采用集體教學、師生互動、分組探究、個別指導等多種形式相結合，學生在學習中既能感受輕松愉悅的參與感、又能體驗被個別關注的存在感;在方法技術上，將實物模型觀察、計算機軟件演示等引入課堂，學生既可以借助這些技術手段幫助思考，從而提高學習興趣，激發學習欲望和探究精神。

五、教學過程設計

環節一：知識回顧

問題1：同學們我們的課室是什么幾何體？老師再展示長方體模型。

問題2：在這個長方體中有哪些垂直關系？你們是如何判定的？

【設計意圖】長方體是一個重要的空間幾何模型，借助長方體幫助學生構建知識的概念圖，形成整體的知識框架。學生進行一輪復習，不僅是將原來學習過的知識溫習一遍，更重要的是要能夠將這些知識之間的關聯整理清楚，形成知識網絡，并能在實際問題中自如的加以應用，在整理概念圖的過程中，注意自然語言、符號語言和圖形語言并舉，讓學生進一步體會3種語言各自的特點，并融為一體，加深了學生的理解和記憶，方便學生應用時進行知識提取。

環節二：例題講解

例題1.（人教版A版數學必修2，第66頁例題2改編）

如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中

（1）證明：BC1⊥平面A1B1CD;

（2）證明：BC1⊥B1D;

（3）證明：平面A1BC1⊥平面A1B1CD.

【設計意圖】回歸課本，激活教材，挖掘教材的深刻內涵，一題多問，并在設問上作了一些改編。從簡單的判定線面垂直關系入手，把學生容易處理的問題作為思維的切入點，3個證明問題所涉及到的知識點包括點線面、線線、面面之間的垂直關系，讓同學理解三種垂直關系中，線面垂直是關鍵，同時在證明的過程中規范解題過程，梳理定理的因果關系。

環節三：課堂練習

1.（人教版A版數學必修2，第67頁課后習題1）在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC.

2.（人教版A版數學必修2，第69頁例題3）AB是ΘO的直徑，PA垂直于ΘO所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.

【設計意圖】這兩個小題是教材上線線垂直、面面垂直的判斷或證明，讓學生進一步掌握線面垂直的判定和性質定理模型及其應用，并且在這里進行總結在哪些條件下可以得出線面判定定理的條件，進而完成線面垂直的證明。

環節四：真題檢測

1.（2019全國II卷理科）

如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1。

證明：BE⊥平面EB1C1;

2.（2018全國I卷理科）

如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥DF.

證明：平面PEF⊥平面ABFD;

3.（2017全國I卷理科）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

證明：平面PAB⊥平面PAD;

【設計意圖】精選了近3年高考數學全國卷里的3道試題，帶領學生共同賞析高考題中的線面垂直的判定及應用。有了前面課本3道題的基礎，解決這3道高考題并不困難，讓學生感受到高考題就是源于課本。

環節五：課堂小結

（1）通過本節課的學習，你學到了哪些性質定理？

（2）上述性質定理中體現了什么數學思想？

（3）得到性質定理用到了什么學習方法？

課后完成：數學日記

今天數學課的課題是：

涉及的重要知識有：

用到的數學思想和方法有：

【設計意圖】回顧和總結本節課的主要內容，優化重組認識結構，并鼓勵學生多總結，多反思。

六、結果預測

學生對于空間垂直知識框架的構建、線面垂直判定定理和性質定理的內容能夠基本上掌握;但在應用定理對問題進行分析、轉化、解決上，在表述的調理性、規范完整性上，估計有部分學生還會有一定的困難，需要在以后的復習中進一步培養、提升和強化。