整合科研與教學過程中數學史的趣味性應用——函數極值

李靜

摘要：將數學史有機融入科研與教學中可以激發學生學習興趣、培養其創造能力、啟發其人格成長、預見其認知發展、指導并豐富教師的課堂教學等。

關鍵詞：數學史趣味性函數極值

當前在高等數學教學中融合科研已經越來越普遍，在整合科研與教學中添加數學史會使得枯燥的學習變得更加具有趣味性。數學史在數學教育中不僅可以活躍課堂氛圍提高學習興趣，還可以增加學生的審美能力以及培養創造能力。但在我國數學教學中尚未得到重視及普及，究其原因主要是因為首先數學史有關書籍較少， 滲透數學史教育的相關文獻則更少;其次，教材中數學文化知識較少， 數學史知識則更少。怎樣將數學史融入科研與教學過程中去，有助于學生體驗數學學習的快樂， 欣賞數學之美以及靈活運用數學思想解決實際問題。數學史與高等數學教學內容相結合的方式可為（1）古今方法比較[1];（2）某類數學問題的比較[2];（3）數學名題的應用[3];（4）欣賞數學之美[4]。

在高等數學教材中函數的極值是這樣定義的：假設在點的某鄰域內有定義，對于去心鄰域內任一有， 則稱是函數的一個極大值（極小值）。極值概念是局部性的，判斷方法之一為必要條件：設函數在點可導卻在該處取得極值，則， 該必要條件即為費馬引理，聯系費馬引理可以適當引入皮埃爾·德·費馬（法國著名的“業余數學小王子”）的人物簡介或者趣聞幫助學生理解和建立聯系.與此同時，費馬對于極值的研究可以延伸到科研中， 古典變分法的核心內容是確定泛函的極值和極值點，在有限維空間中，如果泛函弱下半連續且強制，則該泛函必定取得極小值。變分理論的主要思想是通過廣義解將微分方程的求解和泛函極值問題的求解聯系起來，通過尋找適當泛函的臨界點求微分方程的解。經典牛頓力學認為空間和時間處處連續， 基本物理量比如速度、加速度和力等都可以用整數階的微分算子來定義，因而物理和力學演化過程可都可以用整數階的微分方程來精確刻畫。但是，在1926年有學者指出湍流的速度場是不可微的， 同時有大量的實驗表明， 許多粘彈性材料的應用松弛是非指數型的，有記憶性傳統的粘彈性整數階微分本構模型不能精確表述其力學行為。基于以上種種原因，人們波切期待著有一種可以用的數學工具和可依據的基本原理來對這些復雜系統進行建模。分數階的微分方程用于刻畫具有記憶和遺傳性質的材料和過程，其對復雜系統的描述具有建模簡單、參數物理意義清楚以及描述準確等優勢，因而成了復雜力學和物理過程數學建模的重要工具之一。

在科學技術進步中，要求分析和控制客觀現象的數學能力向著富有全局性高、精水平發展，從而使得非線性分析的成果不斷積累，逐漸促成了分析數學內新分支學科的誕生.無論如何，在無限維空間框架中，處理分析學的線性和非線性問題的方式有著無窮的潛力。近數十年的成就足以有理由要求人們接受非線性泛函分析這一重要的分支學科。 橢圓型微分方程的研究起源于18世紀Laplace等人的工作，既有著悠久的歷史，又不斷更新著其研究對象、內容和方法，能夠直接聯系著眾多的自然現象和實際問題，不斷提出和產生需要解決的新課題和新方法。自然科學中很多問題都可以用橢圓型方程來刻畫。

比如我們研究一類擬線性拉普拉斯方程

考察方程所對應的能量泛函

需要指出需要注意的是在工作空間中無法定義，為了克服這一困難需引入變量替換其中為

通過變量替換后變為

在相應的條件下，利用極值的方法得出泛函即的臨界點，從而得出這一類拉普拉斯方程多解的存在性。一個問題用多種方法來解決是要從給定的信息中，能夠盡可能全面具體的從各個方面思考同一個問題，能夠不受現有知識或結論的常規束縛，關于創新提出新的構思，達到思維躍進的創新局面。數學問題源于客觀的世界，用數的形式和法則來描述和分析世界， 充分利用數學教學、數學科研相結合讓學生在體驗數學知識發現的過程來培養學生的獨立思考能力。

古人云，學貴有疑，小疑則小進，大疑則大進。科學研究大都從問題開始。在實際的應用過程中，我們注重學生的自主探索，加強學生之間與學生教師之間的多向合作，鼓勵學生獨立創新思考以及注重理論聯系實際，善于發現生活生產中的實際例子。

參考文獻

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[3]李文林.三位一體數學史.[J]中國科技史雜志，2007，28（4）：444-448.

[4]梁宗巨.世界數學通史.[M]大連，遼寧教育出版社，2005.