例談如何突破初中數學知識“分化點”

陳益萍

摘 要：每一個新概念的學習，并不是簡單地知道有了這樣一個新概念，而是要理解概念的核心內涵，才能學會辨別和應用。初中數學知識相對于小學數學知識而言更具有抽象性和邏輯性，對學生的理解能力和應用能力要求更高。學生在初中的數學學習過程中，將不斷地遇見不同的數學知識模塊，總是有一些內容無論哪一屆學生遇到它都會覺得不好理解，因此在學習這部分的內容過程中屢屢犯錯誤，而且是同樣類型的錯誤，學生也將在這些知識上出現能力的分化，從而出現了成績的“分水嶺”，不妨將這類模塊的知識稱為知識“分化點”。本文借絕對值這一概念教學淺談自己對知識“分化點”的教學思考和理解。

關鍵詞：知識分化點;絕對值;符號化

學生從小學升到初中，遇到的第一個知識難點，恐怕非絕對值莫屬了。絕對值安排在七年級上第一章有理數的章節里，按照人教版的教材編排，是很符合我們學生對數的認識規律的：認識數，數的分類，數的相關概念，數的相關概念的表示符號，數的運算和運算性質等。在學完有理數之后，引入了數軸的認識和學習，并在此基礎上，進一步學習相反數和絕對值兩個概念。

教材上借助一條馬路和兩棵樹來引出對應的數軸的數表示的點之間的距離概念，這是一個很好的示范。絕對值本質上講的，便是“數”與“數”所表示的點之間的距離，而學生也會在這個地方理解起來很困難。從小開始會數0，1，2，3...知道數可以表示數量，數有無窮多個，在學生心中，數，更多的是一個大小的概念，很難想象和理解，數所表示的點以及點與點之間的距離？其實，這和學生到初中學習了有理數和數軸這一概念有很大的關系，特別要幫助學生深入理解前面數軸的學習，因為絕對值的概念是在數軸的基礎上引出來的，而數軸則是進入中學第一次遇到的完美的數形結合的典例，數軸的學習讓學生理解到，原來數可以跟點對應起來，點也可以跟數對應起來，數本身有大小，可運算，又因為借助數軸，數與點對應了起來，而點可以理解是實物，只要是物，便有它的空間位置，萬物有它的空間位置，萬物之間便有了彼此的距離，因此，點與點之間，它是有距離概念的，在數軸上，數可以表示點，點與點有距離，就意味著兩數所表示的點之間也可以計算距離的，那么這就幫助學生理解和突破聽起來比較拗口的“數a與數b所表示的點之間的距離”的理解。

既然在數軸上，兩個數所表示的點之間是可以衡量距離的，那么我們需要有一個固定的參考點，這樣可以準確確定每一個數所表示的點的位置和及方便計算距離，我們知道0所表示的點是最特殊的位置，也是正負數的臨界所在，那么我們將0作為參考點（原點），可以輕而易舉地得到任何一個數表示的點到原點之間的距離是多少。在數軸上，“9表示的點到原點的距離是9 ”，“-12.5表示的點到原點之間的距離是12.5”，當然，數學講究簡潔明了，數學即符號化的世界，一切都可符號化。我們更樂意用一個新的概念和符號來表示我們要做的這件事情，因此引入了絕對值的概念，也引入了絕對值的符號—— 。絕對值的符號是很生動形象的，兩條豎杠就猶如兩根豎桿，立在了兩個位置上，讓我們很直觀地看到兩個位置之間是有距離概念的。我們進行一個統一的規定，在數軸上，表示數a的點到原點之間的距離，叫做a的絕對值，用這樣的符號來表示。實際上，應該提出的是，本是用來表示的，只不過，任何一個數減掉0，還是它本身，因此這里我們將，簡寫成了。那么前面所提到的，在數軸上，“9表示的點到原點的距離是9 ”，“-12.5表示的點到原點之間的距離是12.5”就可以進行符號化表達“”。所以，絕對值這一概念實際上是對數軸上兩個點之間的距離進行抽象化、符號化的表達。學生在學習絕對值這一概念的時候，一不理解為什么要學絕對值，二學了也不知道絕對值這個概念是在說什么，因此就導致一部分的學生在學習這一概念以及應用這一概念的時候，會覺得困難重重。那么我們要幫助學生如何度過這個坎，就是要幫助學生理解絕對值這一概念的存在性和合理性。再這個基礎上，進一步加深和鞏固絕對值符號與實際意義對應的關系，也就是需要一定量的正例對該概念進行強化，可以通過多舉一些例子，從文字表達到圖形表達再到符號表達，這三者之間要進行不斷地靈活地切換，那么，在學習絕對值這一節內容的時候，也許會讓一部分“學困生”能夠更好更深入地理解和掌握。

我們在教學絕對值這一節內容時，往往因為課時原因會比較趕，在概念上習慣直接拋出和強塞給學生，沒有花時間幫助學生了解絕對值的來龍去脈，自然學生對絕對值的學習會覺得很生硬和困難，同時，又急于總結絕對值的代數意義和幾何意義，也會忽略了讓學生自主探究和自主挖掘絕對值這一概念知識的內在本質。我們常常急于教給學生一些口訣，如正數的絕對值是正數，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值還是0，想要學生能夠在求一個數的絕對值的時候根據口訣能夠快速判斷和作答出來，但是，這樣的結果只是生搬硬套結論，但不理解其實際意義。如果不能深度理解絕對值的代數意義和幾何意義，那么在遇到與絕對值有關的稍微拔高一些的題目時，就會顯得舉步維艱，如后期會遇到的幾何意義，求的最小值這一類問題時，會覺得比登天還難。

絕對值這一節概念的學習，不能囫圇吞棗，想要大部分的學生能夠很好地掌握這一模塊的知識點，必須刨根碩源地教，甚至要細水長流地教，只有真正理解和掌握了它的代數意義和幾何意義，才能將與絕對值有關的這一類題目快速攻破。把握事物的本質，是以簡驅繁、削枝強干的前提，更是構建知識結構的前提。把握了事物的本質，便能與萬千事實中把握根本，由博返約，頭腦清明。

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