傳統應用題教學之當代重建（上）

【摘?要】傳統應用題教學之當代重建并非是相關傳統的簡單回歸，而是如何能夠依據數學教育目標的現代認識對此做出認真的總結與反思，并能通過新的研究做出進一步的發展。研究者以“努力提升學生的核心素養”作為分析的基本立足點，主張數學教育的主要任務是促進學生思維的發展，特別是幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神”，從而真正成為一個具有高度自覺性的理性人。

【關鍵詞】應用題教學;理性精神;數學教育;當代重建

【作者簡介】鄭毓信，南京大學哲學系教授、博士生導師，國際數學教育大會（ICME-10）程序委員會委員，美國《數學評論》雜志評論員，長期從事數學哲學、科學哲學、數學教育與科學教育的專門研究。

為什么要提及“傳統應用題教學之當代重建”？難道不是基于這方面的一個事實，即傳統應用題因為有諸多弊病自新一輪課程改革以來已為“問題解決”（或“解決問題”，下同）所完全取代了？

相對于簡單接受這一事實而言，筆者認為，我們應當更深入地思考兩個問題：（1）盡管應用題教學確有不少弊端，但其作為中國數學教育教學傳統的組成成分是否也有一定的合理性，又是否可以被看成已由當前的“問題解決”教學得到了很好地繼承？（2）數學教育為什么應當特別重視“問題解決”，其是否也有一定的局限性？進而，以下的事實也可被看成進一步凸顯了深入思考上述問題的重要性：傳統應用題教學有不少內容，包括基本體系已在“奧數訓練”“一日一練”等名目下得到了沿用。但是，由于缺乏認真的總結與深入研究，傳統應用題教學的弊病也在新的形式下得到了延續，甚至有所加重。

為了對上述問題做出解答，我們應首先弄清分析的基本立場，也即我們應當按照什么標準對傳統應用題教學與“問題解決”教學各自的優缺點做出分析。由于這兩者都應被看成實現數學教育目標的具體手段或途徑，因此在筆者看來，我們應依據數學教育的基本目標對此做出具體分析，包括很好地理解“傳統應用題教學之當代重建”這樣一個含義：我們所希望的并非是相關傳統應用題教學的簡單回歸，而是希望如何能夠依據數學教育目標的現代認識對此做出認真的總結與反思，并能通過新的研究做出進一步的發展。

在此，還應特別提及這樣一個論點：“數學應用題的本質是數學建模”[1]。因為這集中反映了新一輪數學課程改革，特別是受《義務教育數學課程標準（2011年版）》的影響，也即對“模型思想”的突出與強調。與此相對照，筆者認為，盡管應用題的求解在一定程度上確可被看成屬于“數學建模”的范圍，其相關學習也可為學生“日后進一步學習‘數學建模做好必要的準備”。但我們應更深入地思考：究竟什么是應用題教學的主要作用。我們應依據數學教育的基本目標對此做出具體的分析。

以下就是這方面的一個具體工作，希望能夠引起廣大讀者的重視與思考，并能積極地參與到傳統應用題教學的當代重建之中，從而能通過共同努力很好地完成這個任務。

一、研究的基本立場

我們將以“努力提升學生的核心素養”作為分析的基本立足點，認為數學教育的主要任務是促進學生思維的發展，特別是幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神”，從而真正成為一個具有高度自覺性的理性人。我們還應正確處理數學教育“三維目標”之間的辯證關系。思維的發展相比于其他兩個目標更加重要，我們應當以此帶動、促進學生關于數學基礎知識與基本技能的學習，以及相關情感、態度與價值觀的培養[2]。

正因如此，這就成為我們判斷一項具體活動（不僅是指“問題解決”和應用題求解，也包括“數學游戲”“數學繪本”“數學折紙”等廣義的“數學活動”）是否適合數學教育的主要標準：是否有益于學生思維的發展。我們應從這一角度進一步分析相關活動究竟有哪些優點與不足之處，又應如何對此做出必要的改進和發展，等等。

以下首先按照這個標準對“問題解決”對于數學教育的適合性做出簡要分析。

“問題解決”是國際數學教育界在20世紀80年代的主要口號，其基本指導思想是“學數學，做數學”，突出了實際參與數學活動對于數學學習的重要性，并認為學生只需通過實際參與各種數學活動就可學會數學。但是，學生是否真的只需通過實際參與各種數學活動，特別是通過“解決問題”的實踐就可學會數學，包括初步學會數學思維？

筆者的看法是，盡管“學數學，做數學”的認識具有廣泛影響，但這又恰是“問題解決”數學教育改革運動給予我們的重要啟示或教訓：我們不應認為學生只需實際參與各種數學活動就可學會數學。因為，數學特別是數學思維的學習，并不能被歸結為經驗的簡單積累，而是主要依靠主體的反思與教師的必要指導。而且，如果缺乏自覺性，即使是“問題解決”的簡單實踐也可能出現各種各樣的弊病。

例如，以下就是美國數學教育界以前經常可以看到的一個現象，并因此引發了專業人士特別是數學家的嚴厲批判，甚至在一定程度上引發了所謂的“數學戰爭”：教學中的學生（甚至包括教師）往往滿足于用某種方法（特別是觀察、實驗和猜測）求得問題的解答，卻沒有認識到還應做進一步的思考和研究，甚至都未能對所獲得結果的正確性（完整性）做出必要的檢驗或證明[3]。

更進一步，我們應清楚地看到在人們的解題行為與內在思維活動之間的重要聯系，特別是只有圍繞以下一些問題進行認真地思考，相應的解題行為才能被看成真正的數學活動。而這事實上也已由單純的“問題解決”過渡到了“數學思維”，即我們應當如何從事解題活動，特別是使用怎樣的解題方法;我們又應當如何對所得的結論做出必要的論證，包括對結論與相關方法等做出的推廣與優化……總之，人們的解題行為完全離不開內在的思維活動，故應被看成數學思維的具體體現與直接應用。當然，就學生而言，這主要又是一個后天的學習過程，更離不開教師的直接指導，而后者所發揮的則主要是“數學文化”的傳承作用。

由此可見，即使是在今天，我們仍然應當十分重視防止與糾正對于“問題解決”的簡單化理解，特別是認為學生只需通過實際參與各種數學活動就可學會數學，乃至將學生的數學發展歸結為基本活動經驗的簡單積累。恰恰相反，我們應當按照“努力促進學生思維的發展”這一目標對此做出進一步的分析與研究，包括更深入地認識數學學習活動的本質，特別是實際活動與反思之間的關系。

那么，我們究竟應如何看待傳統應用題教學？除了“是否可以用‘問題解決完全取代”這樣一個論題，人們還經常提及的一個疑慮是：由于算術應用題的學習并不容易，其中有些問題更具有很大難度，但隨著方程（代數）方法的引入，這些問題的求解往往變得十分容易，只需按照一定的程序或方法就可順利解決。因此，我們似乎完全沒有必要花費如此多的時間和精力從事算術應用題的專門教學和學習，而應盡快離開“四則難題”引進代數方法。

不難看出，后一論點主要是從單純的“解決問題”，即如何能夠求得問題的具體解答這一角度進行分析的。但這是否就是應用題教學的主要作用？筆者的看法是：這里的關鍵，事實上并不在于我們究竟應當采用“應用題”還是“問題解決”這樣一個名稱，也不在于我們是否應當盡快離開“四則難題”去引進代數方法，而在于應當更好地弄清相關內容的教學對于數學教育基本目標的實現，即有效促進學生的思維發展究竟有什么作用。這也正是“傳統應用題教學之當代重建”的主要方向。

筆者認為，應用題教學應當對促進學生的思維發展發揮重要的作用。也正因如此，簡單否定或完全取代的立場并不可取，恰恰相反，我們應明確提出“傳統應用題教學之當代重建”的任務，從而不僅可以對促進我國數學教育事業的深入發展起重要作用，也可以使之成為中國數學教育的一個重要特色和亮點。

在此，我們還可對“數學應用題的本質是數學建模”這一說法做出如下簡要分析。事實上，我們并不應將幫助學生很好掌握“模型的思想”，包括“為日后進一步學習‘數學建模做好必要的準備”看成應用題教學的主要目標，因為“數學建模”主要關注的只是模型的有效性，即我們如何能夠針對“一個個復雜的具體情境，建立一個個特定的專用數學模型，并用模型來解決非常具體的問題”。也正因如此，相關工作往往就以“（模型的）檢驗和改進”作為解題工作的最后步驟。但是，如果主要著眼于促進學生思維的發展，應用題的教學顯然就不應集中于如何能夠有效地解決問題，而應更加關注我們如何能夠通過解決問題的具體實踐幫助學生在思維方法的學習以及思維品質的提升上有更大的收獲，從而自然應當以“反思”（或者說，“再認識”）作為相關學習活動的最后步驟。總之，如果以“數學建模”的思想去指導應用題教學，就必然會極大地削弱學生思維發展的功能。

我們還將從同一立場對應當如何從事應用題教學做更加具體的分析，從而為“傳統應用題教學之當代重建”指明努力的方向。這也十分有益于我們防止與糾正現實中看到的種種“回潮”現象，即如以“奧數訓練”等名目加以包裝的機械教學和機械學習。

二、從“問題分類”到“聯系的觀點”

特別強調問題的分類與基本題型的學習是傳統應用題教學的一個重要特征。然而，正是在這方面我們又看到如下的弊病，即題型區分過多、過細，分類時又往往過分強調問題的事實性內容……更一般地說，就如以下分析所指出的那樣：“小學數學教學中，應用題教學作為培養學生解決問題能力的重要載體，積累了豐富的經驗……然而，在幾十年的演變過程中，應用題教學的理念與價值不斷轉變，逐漸形成了一套固定的思考模式和解題模式。以至于將應用題的類型機械地歸結為11種，解題模式由一步應用題到兩步應用題（復合應用題）再到典型應用題，形成了一種‘程式化的解題套路……使應用題的教學陷入困境，學生的問題解決能力沒有得到切實的培養。”[4]4-7

對于機械的、程式化的教學，我們當然應持批判的態度，但又是否因此否定“問題的適當分類與辨識”的重要性？

事實上，即使就日常的認識活動而言，問題的適當分類與辨識也具有特別的重要性，因為這直接關系到我們如何能夠有效地應用已有的知識和技能，包括經由長期實踐獲得的經驗去解決新的問題，而不是每次都要“從頭開始”，耗費大量的時間和精力。再者，這也是人類認識活動的一個重要特征，即特別善于按照“由特殊到一般、再由一般到特殊”規律，從事認識活動。正如著名數學家、“問題解決”現代研究的主要奠基者波利亞所指出的：“對于一個特例所以要進行這樣周密的描述，其目的就是為了從中提出一般的方法或模式，這種模式，在以后類似的情況下，對于讀者求解問題，可以起指引作用。”[5]

應當強調的是，上述分析直接關系到數學的本質：數學可以定義為“模式的科學”，因為數學并非是對真實事物或現象量性屬性的直接研究，而是以抽象思維的產物，即所謂的“模式”作為直接的研究對象，其所反映的則是一類事物或現象在量的方面的共同特性[6]。顯然，從這一角度我們也可以更好地理解“問題的適當分類與辨識”的重要性，因為在此無非是將“模式”這一概念推廣應用到“問題”之上。特別是，我們必須要超出相關特例包括其現實意義，并從更廣泛的角度去理解“基本題型”的意義。與此相對照，如果一個問題不具有所說的普遍意義，那么只能被看成所謂的“怪題”“偏題”，對此我們自然也就不應予以特別的重視。

以下就依據這一認識，對我們應當如何從事應用題教學，特別是“問題的適當分類與辨識”的教學提出一些具體建議。

第一，應用題教學必須“去情境”。就目前的論題而言，這是指盡管我們可以而且應當通過適當的例子，包括現實性問題引出相應的問題類型，但在教學中又應聚焦問題中數量關系的分析，而不應以相應的事實性內容作為區分題型的主要標準。

當然，上述分析并不應被理解成完全否認典型案例的作用。事實上，如果說由具體問題向相關題型的過渡意味著由特殊上升到了一般，那么借助案例進行分析則可以看成類比聯想的直接應用，后者當然也具有普遍的方法論意義，并可被看成為相關抽象提供了直接的基礎。在筆者看來，這也就是現代學習心理學研究特別強調“多元表征理論”，特別是典型案例在概念、理論等抽象物心理表征中有著重要地位的主要原因。

但作為問題的另一方面，我們又應清楚地看到超出事實性內容并集中于數量關系分析的重要性。為了清楚地說明問題，在此仍可聯系“數學應用題的本質是數學建模”這樣一個觀點來進行分析，特別是“我們可以將一類情境中發生的問題給以特殊的名稱。說到底，不是我們數學教學工作者進行這樣的分類，而是客觀世界本來就有這樣的不同的情境。”[1]149相關作者特別提到的一些典型題型，例如行程問題、工程問題、價格問題、利息問題、利潤問題、折扣問題等。在筆者看來，這又直接涉及了“應用數學”與“純粹數學”（包括基礎數學）之間的重要區別：由于“數學建模”主要屬于“應用數學”的范圍，因而不應被看成應用題的本質，或者說我們在教學中不應過分地強調應用題的“應用性質”。

顯然，我們也可按照同一標準對教學中所提到的各種“問題類型”的恰當性做出判斷，如我們是否應當將行程問題、工程問題等看成教學中應當特別強調的一些基本題型？另外，這也是我們在從事“數學廣角”等內容（更一般地說，就是“問題解決”）的教學時應特別重視的一點，即不應停留于各個具體問題（如植樹問題、搭配問題等）的求解，而應更加重視必要的抽象問題，也即由相關實例過渡到一般性的問題類型①。

第二，與數學概念的教學相類似，“舉三反一”和“舉一反三”也可被看成應用題教學特別重要的環節。前者是指我們應當通過多個實例的對照比較幫助學生很好地理解相關的抽象概念，順利地提煉出相應的題型與解題方法，包括必要的“去情境”;后者則主要涉及問題模式的辨識與應用，包括充分發揮案例的作用。

當然，教學中我們不應將二者機械地對立起來，而應清楚地看到它們之間相輔相成的關系，應當將二者很好地結合起來：學習者若能“舉一而反三”“問一而知十”這必定是其熟悉內在道理并能融會貫通的結果。然而“舉一反三”是建立在“舉三反一”之上的，只有經過深入的“三番考察”“十方探究”，總結出一種客觀規律（即“舉三反一”），才能在應用該規律時做到“舉一反三”。”也正因此，數學教學需要“舉三反一”，甚至有時需要“舉十反一”，能夠“舉三反一”，孺子可教也[7]。

另外，從同一角度我們也可更好地理解“變式理論”，特別是“過程性變式”對應用題教學的指導作用：通過適當的變化（情境變化、問題變化、條件變化等）為學生順利理解相關抽象概念并能有效應用相應的問題模式和解題模式解決新的問題提供必要的基礎。“求變”正是為了“不變”，我們應當通過恰當的變化與對照比較突出其中的不變因素或本質。

在此，特別提及上海顧亞龍老師的“題組模塊”研究，尤其是這樣一個思想：“在設計題組時，教師要有意識地把相關的各種變化有層次地引入其中，形成題組模塊。這種有層次的階梯型有助于學生在變化的題組中尋找不變的規律，發現題目之間的本質聯系，進而找到其中的通性解法。”[8]41“我們主張對學習內容進行結構化設計……借助‘在題型結構、解題方法或數學思想上基于同一數學模式的一組題構成的訓練模塊——題組模塊，及其結構化呈現，促進學生先‘舉三反一……再‘舉一反三……促進學生有關聯地學，最終指向對數學模式的感知、理解與建構。”[8]34

當然，正如前面所提及的，對于問題內在數量關系的分析應被看成所有這些活動的共同核心。我們應在這一層面上引導學生對不同實例，特別是典型案例做出對照比較，這也可被看成我們切實糾正應用題分類過多、過濫這一傳統弊病提供了現實的可能性。

第三，“聯系的觀點”。這是從“聯系的觀點”進行分析的一個直接結論：應用題教學的真正重點并不在于基本題型的數量，如小學應用題的教學究竟應當強調11種還是12種基本類型，而是如何能夠通過不同問題（題型）之間關系的分析幫助學生很好地建立整體性的認識，并能以此為基礎，包括總結、反思和“再認識”很好地實現“化多為少”這樣一個目標②。

例如，在學完了“和差問題”并進而學習“和倍問題”時，教師應引導學生將兩者聯系起來加以思考，特別是注意分析它們的共同點與不同點：都包含2個或2個以上的未知數，而解決問題的關鍵又都在于如何能夠實現未知數由“多”向“一”的轉變。也正因此，我們事實上就可將“和倍問題”看成“和差問題”的一個變式，并應積極鼓勵學生通過自身努力發現相應的解題模式，包括進一步解決如下的問題：除“和倍問題”，“和差問題”還有哪些可能的變式？

再例如，盡管這或許可以被看成一個過高的要求，即我們如何能將“行程問題”“購物問題”“運輸問題”等歸結成單一題型，但教學中仍應注意引導學生對它們進行對照比較，從而清楚地認識這些問題的共同點，以此為基礎順利地求解各個類似的問題。具體地說，這些問題的共同點在于：它們都涉及“單位量”這樣一個概念以及“單位數×單位數=總數”這樣的數量關系。當然，教學中應注意引領學生針對具體情境對它們的含義做出具體解釋。例如，“行程問題”有求速度和求總路程;“購物問題”有求單價和求總價;“運輸問題”有求單車的運載量和求運輸的總量……另外，我們也應注意分析各類問題的特殊之處。例如，面對“行程問題”，我們應特別重視相應的“行車方式”，即究竟是“相向而行”還是“同向而行”，等等。

總之，為了切實提高學生對“問題類型”的識別與應用能力，除了圍繞題型本身進行分析，我們還應引導學生從更廣泛的角度進行思考，特別是注意分析不同題型之間的聯系與區別，包括新問題與基本題型的聯系與區別。（待續）

參考文獻：

[1]?唐彩斌.怎樣教好數學：小學數學名家訪談錄[M].北京：教育科學出版社，2013.

[2]?鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”[J].數學教育學報，2016（3）：1-5.

[3]?鄭毓信.關于“問題解決”的再思考[J].數學傳播（臺灣），1996（4）.

[4]?馬云鵬，朱立明.從應用題到數量關系：小學數學問題解決能力培養的新思路[J].小學數學教師，2018（6）：4-7.

[5]?波利亞.數學的發現：第一卷[M].劉靜麟，曹之江，鄒清蓮，譯.呼和浩特：內蒙古人民出版社，1980.

[6]?鄭毓信.新數學教育哲學[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

[7]?張奠宙.張奠宙數學教育隨想錄集[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

[8]?顧亞龍.題組模塊：給數學課堂以生成的力量[J].小學數學教師，2019（1）：34-40.