基于最大相關熵的雷達擴展卡爾曼濾波算法研究

王恒，李春霞，劉守訓

(1.中國傳媒大學 信息與通信工程學院，北京100024；2.中國電子科技集團公司 信息科學研究院，北京 10081)

1 引言

在實際生活中，雷達目標跟蹤在民用、軍事等諸多領域都有十分重要的應用。在雷達跟蹤系統中，由于目標狀態以及量測信息一般是在不同坐標系下獲得的，這使得系統濾波模型是非線性的[1]。對于非線性濾波問題，通常的處理方法是運用線性化技巧將非線性濾波問題近似為線性濾波[2]，最常用的濾波算法有擴展卡爾曼濾波(EKF)[3]、不敏卡爾曼濾波(UKF)[4]、轉換量測卡爾曼濾波(CMKF)[5].但這些濾波算法前提要求是系統量測噪聲為高斯噪聲。然而，雷達系統中的量測噪聲往往并不是高斯噪聲而是重尾非高斯噪聲，這就導致應用傳統算法對目標進行跟蹤時性能急劇下降，跟蹤精度大大降低。

針對非高斯噪聲下的目標跟蹤問題，一些算法不斷被提出。例如，粒子濾波(PF)算法是近年來興起的一種非線性濾波算法，該方法不受高斯噪聲假設的限定，適用于任何情況下的量測模型[6]；基于學生t分布的魯棒濾波算法，用來解決過程噪聲和量測噪聲均是重尾噪聲下的非線性狀態問題[7]；近年來，信息論學習中的優化準則受到了越來越多的關注，它直接使用從數據估計的信息論量(如熵)代替通常的二階統計量(如方差、協方差)作為優化代價[8-12]。最大相關熵準則(MCC)便屬于信息論學習領域，其優勢在于不但可以獲得誤差的二階項信息，還可以捕捉濾波誤差的高階統計量，從而使得系統跟蹤性能得到極大改善，提高系統魯棒性。相比于最小均方誤差優化準則(MMSE)，該準則不受高斯分布假設，尤其在誤差分布有離群值、非零均值時展現出強大的優越性[13]。

文獻[14]中提出了線性最大相關熵擴展卡爾曼濾波(LRMCEKF)和非線性最大相關熵擴展卡爾曼濾波(NRMCEKF)，用來解決狀態方程和量測方程均為非線性且量測噪聲為重尾噪聲的濾波問題。本文將最大相關熵擴展卡爾曼濾波(MCEKF)應用到雷達跟蹤系統中。該算法中，狀態和協方差矩陣的先驗估計與傳統擴展卡爾曼(EKF)濾波算法狀態與協方差一步預測相同，而后驗估計則通過定點迭代過程進行更新[15]。

2 問題描述

對目標進行跟蹤，首先需要建立目標運動的狀態方程以及量測方程。對于雷達來說，目標的狀態信息通常是在直角坐標系下獲得的，而量測信息則是在極坐標系下獲得的，這就導致雷達目標跟蹤系統是非線性的。

考慮到現實中目標大多是做勻速直線運動，所以雷達直角坐標系下離散狀態方程為，

X(k+1)=F(k)X(k)+G(k)v(k)

(1)

雷達極坐標系下離散時間系統的量測方程為，

重尾噪聲往往存在于雷達量測以及GPS定位系統中。重尾噪聲與高斯噪聲的區別主要是重尾噪聲尾部較長，而中心類似高斯形狀。重尾噪聲可以分解為高斯噪聲和具有“厚尾”特性噪聲的加權和。這些“厚尾噪聲”有t分布、拉普拉斯分布以及大方差的高斯分布[17]。所以本文采用不同方差的高斯混合噪聲對雷達非高斯噪聲進行建模?；旌细咚乖肼暷Ｐ涂梢员硎緸?，

f(k)～(1-?)N(μ1，P1)+?N(μ2，P2)

(3)

其中，0≤?<1 代表重尾噪聲的強弱，N(μ1，P1)代表均值為μ1方差為P1的正常高斯噪聲，N(μ2，P2)代表大方差的高斯噪聲[18]。

3 基于最大相關熵的擴展卡爾曼濾波

擴展卡爾曼濾波(EKF)是處理非線性跟蹤系統的一個重要工具，基本思想是利用泰勒級數將非線性濾波問題近似為線性濾波問題，其優勢在于算法簡單，計算量小[19]。基于最大相關熵的擴展卡爾曼濾波(MCEKF)的濾波過程為，

(2)預測。根據式(4)和(5)得到狀態和協方差的先驗更新。然后根據式(6)和式(8)得到量測先驗更新值及其雅克比矩陣。

(4)

(5)

(6)

(7)

(3)結合EKF非線性模型，可以得到非線性回歸模型[14]，

(8)

其中，

(9)

α(k)的協方差矩陣可以表示為，

=M(k)MT(k)

(10)

其中，M(k)是對協方差矩陣E[α(k)α(k)T] 進行Cholesky分解得到的結果。將式(8)兩邊分別左乘M-1(k)，可以得到，

D(k)=B(X(k))+e(k)

(11)

(4)為了防止量測異常引起的C(k)奇異，用以下方法來解決。

(12)

(13)

β(k)=ψT(k)η-1(k)ψ(k)

(14)

(6)迭代過程。

(15)

(16)

(17)

其中，Gσ(·)為高斯核函數，σ表示核帶寬，

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

比較當前迭代步的估計以及上一步的迭代估計，如果滿足，

(23)

(7)k=k+1重復步驟(2)到步驟(6)直至濾波結束。

4 仿真實驗

假設雷達位于坐標原點，目標的初始位置設為(200km，400km)，目標的初始速度為(220m/s，-180m/s)，采樣點數為N=100，采樣間隔 T=1s，混合高斯噪聲中大方差高斯噪聲的方差是正常高斯噪聲的104倍，蒙特卡羅仿真次數為M=100。在仿真過程中，濾波的初始值由兩點法給出。本文分別應用EKF算法與MCEKF算法對目標進行跟蹤。

圖1和圖2分別為非線性高斯系統中傳統EKF算法與MCEKF算法位置以及速度均方根誤差結果對比圖。從均方根誤差濾波結果可以看出，當量測噪聲為高斯噪聲假設時，濾波位置均方根誤差大約在40m，而速度均方根誤差大約在3.8m/s左右，MCEKF濾波效果與傳統的EKF濾波精確度以及魯棒性近似相同，都能實現很好的跟蹤，且傳統的EKF濾波效果略好于MCEKF。

圖1 高斯噪聲下EKF與MCEKF位置均方根誤差對比

圖2 高斯噪聲下EKF與MCEKF速度均方根誤差對比

圖3和圖4分別為非線性非高斯系統中傳統EKF算法與MCEKF算法位置以及速度均方根誤差結果對比圖。結果顯示，當量測噪聲為非高斯噪聲時，濾波位置均方根誤差上升到300m，上升了260m左右；速度均方根誤差上升到10m/s，上升了6.2m/s左右，可見傳統濾波算法中當量測噪聲為非高斯噪聲時，跟蹤性能出現明顯惡化，目標跟蹤性能嚴重下降。從濾波效果對比來看，MCEKF濾波效果明顯優于傳統的EKF濾波效果，MCEKF算法的濾波精度更高，魯棒性更強。

圖3 非斯噪聲下EKF與MCEKF位置均方根誤差對比

圖4 非斯噪聲下EKF與MCEKF位置均方根誤差對比

5 結束語

在本文中，我們將最大相關熵引入到雷達跟蹤系統中，當系統跟蹤模型為非線性且量測噪聲為非高斯噪聲時，傳統濾波算法無法保證系統的跟蹤性能，出現惡化及魯棒性降低的現象，這是由于傳統算法均是在高斯假設下進行濾波的。而最大相關熵擴展卡爾曼濾波是基于MCC而非傳統的MMSE作為優化準則，相較傳統算法只能保留誤差二階矩，該準則可以保留跟蹤誤差的更高階信息，提高算法的魯棒性。在仿真實驗中，比較了EKF與MCEKF在不同量測噪聲下跟蹤性能的差異，結果表明，MCEKF在非線性非高斯情況下跟蹤效果明顯好于EKF的跟蹤效果，該算法不僅能解決非線性跟蹤問題同時可以有效抑制非高斯噪聲的干擾，提高雷達跟蹤精度。