長期增長中的最優政府間轉移支付1：基于地方公共服務的跨區域溢出效應

金戈 林燕芳

0 引言

自Arrow and Kurz(1970)、Chamley(1986)和Barro(1990)的開創性研究以來，關于動態最優公共支出和最優稅收的研究一直是公共經濟學和經濟增長理論的重要研究主題。值得注意的是，這一領域的大多數研究都是在僅包含單一政府的動態模型里展開(如Turnovsky，1996)。然而，在現實世界中，除了新加坡等少數國家，絕大多數國家都包含多級政府。如美國包含聯邦、州和地方三級政府；中國則包含中央、省市區、地市、縣市區和鄉鎮五級政府。在研究動態財政問題時，如果忽略了多級政府框架，也就等于忽略了政府間的行為關系以及政府間的轉移支付，而這些問題在現實中都是至關重要的。

基于以上考慮，鄒恒甫、龔六堂、郭慶旺等一些學者開始將Oates(1972，1993)等人的財政分權框架引入動態財政模型，構建了包含多級政府支出及政府間轉移支付的經濟增長模型，進而考察了中央對地方的最優轉移支付率以及轉移支付率變動對經濟增長的影響(Zou，1994，1996；Gong and Zou，2002，2011；郭慶旺等，2009)。

然而，上述關于政府間轉移支付的動態分析，主要是從中央和地方政府由于稅收種類不同而存在收入盈余或缺口的角度進行研究，而普遍忽略了地方公共服務存在跨區域溢出效應(即空間外部性)這一重要因素。

不同級次的政府存在收入盈余或缺口，雖然是世界各國實行政府間轉移支付的主要原因之一，但并非唯一原因。事實上，從經濟學的角度，如果不同級次政府存在收入盈余或缺口，理論上完全可以通過重新設計稅制來解決，而并非必須由轉移支付來解決。實踐中，政府間轉移支付存在的另一個(甚至是更為重要的)原因是，地方政府提供的地方公共服務對本地區以外的居民產生了跨區域溢出效應(即空間外部性)。如果沒有中央政府的轉移支付進行協調，這種空間溢出效應就很難得到矯正，則地方公共服務無法實現有效提供。換句話說，為了矯正這種跨區域的地方公共服務外部性，需要由中央政府通過轉移支付對地方政府的行為進行干預。實際上，這也是Gordon(1983)關于最優政府間轉移支付的經典研究的出發點。在Gordon的模型中，政府間轉移支付的原因在于：地方公共服務對非本地居民存在著跨區域溢出效應，從而地方政府激勵不足，需要中央政府通過轉移支付進行干預。Oates(1999)也認為矯正地方公共服務空間外部性是政府間轉移支付的一項重要職能。Bird and Smart(2002)則進一步強調，從經濟學的角度，實行政府間轉移支付的最重要的基礎就在于存在著地方公共服務的跨區域溢出效應。

然而，Gordon(1983)的研究是在靜態模型中進行的。本文試圖將Gordon(1983)關于轉移支付矯正跨區域空間外部性的核心思想引入Barro(1990)模型，借鑒Gong and Zou(2002，2011)的分析方法，構建一個包含中央政府、地方政府與代表性消費者的三階段Stackelberg博弈的內生經濟增長模型，引入地方公共服務的跨區域溢出效應，重點考察中央對地方的最優轉移支付率、地方政府的最優財政政策及相應的最優稅收。

與現有相關文獻相比，本文的主要結論與貢獻體現在以下幾個方面。

(1) 本文在Barro(1990)的經典模型基礎上引入了多級政府框架。我們借鑒了Gong and Zou(2002)的分析框架，構建了一個中央、地方和代表性消費者之間的三階段Stackelberg博弈過程。但相對Gong and Zou(2002)的文獻，我們在研究方法上有了很大的改進。具體而言，Gong and Zou(2002)只求解了消費者的動態最優化，在求解地方政府和中央政府的最優化問題時均假定經濟趨于不變的穩態，因此實際上只求解了靜態最優化問題。在本文中，我們借鑒并擴展了Chamley(1986)、金戈(2010)研究最優稅收時使用的逆向歸納法，依次求解了三階段博弈中消費者、地方政府和中央政府的動態最優化問題。因此，我們的模型無需收斂于一個不變的穩態；實際上，其本質上是一個內生增長模型，收斂于平衡增長路徑(穩態增長)，這也是我們對Barro模型的繼承。根據Lucas(1990)的說法，收斂于平衡增長路徑的模型更適于解釋增長型經濟(growing economy)。在這個意義上，本文為研究內生經濟增長中的最優政府間轉移支付提供了一個分析框架。

(2) 已有的研究多級政府公共支出與經濟增長的文獻(如Gong and Zou，2002；鄒恒甫和龔六堂，2005)往往忽視了地方公共服務所產生的跨區域溢出效應，相對于此，我們在本文中明確引入了地方公共服務的跨區域外部性，探討了中央政府如何通過轉移支付矯正地方政府行為的機制，求解了中央和地方的稅率函數(依賴于轉移支付率)，并推導了中央對地方的最優轉移支付率。我們發現，中央對地方的最優轉移支付率及相應的最優中央收入稅率與地方公共服務對相鄰地區產出的彈性系數正相關，與地方公共服務對本地區產出的彈性系數負相關。進一步，我們發現，收入稅籌資模式下的次優轉移支付率與總額稅籌資模式下的第一優轉移支付率相比，兩者之間存在一個稅收楔子。這一結論意味著，如果地方公共服務存在正的外部性且中央政府以收入稅籌資，那么中央政府對地方政府的次優轉移支付率應大于無稅收扭曲時的第一優轉移支付率。這一發現對轉移支付政策實踐具有一定的理論啟示。

(3) 我們發現，當地方公共服務只對生產具有直接影響時，最優地方公共支出占產出的比例等于地方公共服務對本地區的產出彈性與對相鄰地區的產出彈性之和，而且這一結論與政府采取收入稅或總額稅籌資無關，也就是具有稅收中性的特征。相比Barro(1990)在一級政府模型里的重要發現，即無論以收入稅還是總額稅籌資，最優生產性公共支出與產出的比例等于生產性公共服務的產出彈性，我們的研究將Barro(1990)的發現擴展到了多級政府框架中。

(4) 當地方公共服務不僅影響生產，同時也直接增進居民效用并對相鄰地區產生跨區域的消費外部性時，地方政府和中央政府的最優政策都會發生變化。特別地，我們發現，這時中央政府應該采取更高的轉移支付率以及更高的收入稅率。

本文的模型框架是一個包含多級政府支出與政府間轉移支付的動態增長模型。這一系列文獻是由鄒恒甫(Zou，1994，1996)最先發起的。以下對該系列文獻進行簡要回顧。

Zou(1994)在一個地方政府最大化自身效用的動態模型中，最先考察了中央轉移支付對地方政府公共支出的短期和長期影響。在此基礎上，Zou(1996)正式構建了一個包含中央和地方兩級政府的代表性消費者動態模型。其中，中央政府以收入稅籌資并向地方政府實行轉移支付；地方政府以消費稅、收入稅和中央轉移支付籌資，并向社會提供地方公共消費和地方公共資本。作者發現：在長期，中央對地方公共投資的配套撥款對地方公共資本和公共消費以及私人資本和私人消費均產生促進作用；而中央對地方公共消費的配套撥款對上述變量均無長期效應；但是，如果效用函數為Arrow-Kurz型(即地方公共資本不僅影響生產，也促進效用)，那么，中央對地方公共消費的配套撥款對上述變量將產生負的長期效應。

龔六堂和鄒恒甫(2000，2002)、Gong and Zou(2003)在Zou(1994，1996)的模型基礎上，進一步引入了中央政府提供的公共服務，假定中央公共服務和地方公共服務同時進入生產函數和效用函數。通過參數賦值，作者考察了中央和地方各稅率以及中央對地方的轉移支付率變動與經濟增長率的數量關系，并發現，中央對地方公共投資的轉移支付可以促進經濟增長率，而中央對地方公共消費的轉移支付則使得經濟增長率下降。

Gong and Zou(2002)，鄒恒甫和龔六堂(2005)則進一步考察了多級政府動態模型中的最優轉移支付及相應的最優稅收。假定中央政府以收入稅籌資，提供全國性公共服務，并向地方政府進行轉移支付；地方政府以消費稅、財產稅以及中央轉移支付籌資，并向本地居民提供地方公共服務。中央公共服務同時進入兩地居民的生產函數和效用函數，地方公共服務僅進入本地居民的生產函數和效用函數。作者發現，如果消費者具有對數效用函數，生產函數為柯布-道格拉斯形式，則在最優路徑上：地方財產稅為零，消費稅為正；中央收入稅可正可負，對地方的轉移支付為負。如果轉移支付施加非負限制，則中央最優收入稅為正，對地方的最優轉移支付為零。進一步，在一個中央和地方政府均以收入稅籌資的模型中，Gong and Zou(2011)得到了使增長率最大化的中央和地方收入稅率，并且發現中央和地方的收入稅率之和獨立于轉移支付率。

在龔六堂和鄒恒甫的模型中，轉移支付以配套撥款的形式存在。郭慶旺等(2009)則在他們的模型中假定中央對地方的轉移支付是地方自有財力的一個比例，并引入了人力資本積累。假定中央和地方公共服務不僅直接促進生產，也促進了人力資本積累。他們發現，最優轉移支付與財政分權水平有關。如果財政支出分權水平越高而財政收入分權水平越低，則中央對地方的最優轉移支付率越高。

如前文所述，以上一系列關于政府間轉移支付的動態研究均忽視了地方公共服務所產生的跨區域溢出效應。然而，在實踐中，地方公共服務對本地區以外的居民存在著空間溢出效應這一現象是普遍存在的，并且已經在大量經驗研究中得到驗證。

早期對地方公共服務空間外部性進行驗證的一項重要研究是Case et al.(1993)，他們借助Anselin(1988)提出的空間計量方法，利用美國各州政府的相關數據進行經驗研究，發現各州政府的公共服務支出具有顯著的正向空間溢出效應，相鄰地區增加1美元公共服務支出促進本地區至少增加70美分的相應支出。Schaltegger and Zemp(2003)研究顯示，公共服務支出總體上沒有顯著的空間溢出效應，但其并無法為具體類別的公共服務支出是否具有空間溢出效應提供信息。他們的進一步研究顯示公共安全支出具有明顯的空間溢出效應，主要中心城市增加10%的公共安全支出，周圍郊區城市的公共安全支出相應地降低3.1%，而教育、健康、文化娛樂、福利、交通、環境以及經濟方面的公共服務支出沒有發現明顯的空間溢出效應。為了更好地識別公共服務支出的跨區域溢出效應渠道，Baicker(2005)采用不同的指標(地理相鄰、人口統計學以及地區間的流動性)來度量鄰近地區(Neighborliness)，發現人口流動性越強的地區，其公共服務支出產生的空間溢出效應越大，這些地區的公共服務支出增加1美元能夠促使相鄰地區公共服務支出相應地增加接近1美元。Ermini and Santolini(2010)基于意大利馬爾凱大區的市鎮截面數據，也發現各地區間的公共服務支出存在明顯正向空間溢出效應，不僅公共服務支出總量上具有顯著的空間溢出效應，而且還體現在各類不同的具體公共服務支出上。基于地方政府公共服務支出空間溢出效應的存在，Lpez et al.(2017)利用西班牙市級層面數據，進一步對福利、環境、教育、文化等十類公共服務支出的跨區域溢出效應的途徑及作用方向進行研究。

還有一些學者關注特定公共服務支出的空間溢出效應。Holtz-Eakin and Schwartz(1995)首先利用美國相鄰州的數據研究高速公路對相鄰地區生產率的空間溢出效應。Boarnet(1998)在他們的研究基礎上，利用美國加州縣級數據并構建多種空間權重矩陣進行實證分析，發現街道和高速公路公共基礎設施對相鄰地區的產出具有負的空間溢出效應，他給出的解釋是：完善的基礎設施使本地區具有區位優勢，吸引相鄰地區的經濟資源和生產要素流入本地區，進而抑制了相鄰地區的經濟增長。另一方面，Cohen and Morrison(2004)、Bronzini and Piselli(2009)分別根據美國和意大利相關數據的研究指出，基礎設施通過降低相鄰地區的運輸成本和交易費用從而促進相鄰地區的經濟增長，即基礎設施對相鄰地區的經濟增長產生正的空間溢出效應。考慮到空間綠化不僅能夠提高生態服務增加居民的娛樂效益，同時也是各地區爭奪高端人才和企業的戰略之一，Choumert and Cormier(2011)利用法國市級層面的城市公園支出情況進行實證分析，發現各地區在城市公園綠化支出上具有正向關系，相鄰地區在城市公園方面的支出增加10%，會促使本地區在城市公園方面的支出會相應地增加3.6%。

作為發展中大國，中國的發展經驗也為地方公共服務空間溢出效應的存在提供了大量證據。邵軍(2007)沿著Case et al.(1993)的思路，根據2001—2005年中國各省市相關變量的平均數值通過空間計量方法研究表明，中國地方公共支出具有顯著的正空間外部性，即提高某地區的公共支出會促進其他地區公共支出的增長。進一步，一些學者對公共支出的各具體分類項目的空間溢出效應進行了研究。其中，郭玉清等(2012)將公共支出分為基本建設、文教科衛、行政管理、預算外四個部分進行研究，結果顯示基本建設和文教科衛具有顯著空間溢出效應；羅麗英和劉柳(2015)利用省級面板數據，選取對基礎設施、環境、醫療、教育等方面的公共產品進行實證研究，結果顯示不同類型的公共產品對經濟增長的空間溢出效應存在差異。胡鞍鋼和劉生龍(2009)、劉秉鐮等(2010)等利用中國交通運輸投資的相關數據進行實證研究，發現鐵路、公路等公共服務存量的增加提高了其他地區的全要素生產率，從而促進了其他地區的經濟增長。Xie et al.(2016)基于中國城市層面數據，研究交通基礎設施對城市環境的空間溢出效應，發現交通基礎設施對相鄰地區的環境具有負向效應，而一個地區的技術進步對相鄰地區的環境質量具有正向空間溢出效應。張浩然和衣保中(2012)將關注點拓寬到通訊基礎設施和醫療條件，基于中國城市面板數據進行實證分析，發現通信基礎設施和醫療條件不僅提高了本地區的全要素生產率，同時還對鄰近城市產生顯著的正向空間溢出效應。此外，Deng et al.(2012)利用城市截面數據，發現增加環境保護方面的公共服務支出會減少相鄰地區相應公共服務支出。

如上所述，中國經驗研究和國外經驗研究都證實了地方公共服務對相鄰地區存在顯著的空間溢出效應。因此在研究動態最優政府間轉移支付時，有必要引入這種地方公共服務的跨區域外部性。這也正是本文所要解決的問題。

本文余下部分安排如下：第1部分介紹基本模型的設定，闡明中央、地方和代表性消費者的三階段Stackelberg博弈過程，求解分散均衡中代表性消費者對中央和地方政策變量的反應函數(消費函數)和間接效用函數。第2部分利用代表性消費者的間接效用函數，逆向求解地方政府對中央政策變量的財政政策函數，并解出模型的經濟增長率(作為中央政策變化的函數)。第3部分首先論證模型中福利最大化與增長最大化的一致性，求解次優配置中的中央對地方最優轉移支付率及相應的最優中央收入稅率，進而解出地方最優公共支出水平及地方最優收入稅率等一系列變量。第4部分是模型擴展，探討地方公共服務在促進生產的同時也直接影響居民效用的情形。最后一個部分是簡要的總結與進一步研究展望。

1 基本模型

1.1 環境

假定經濟中存在著兩個相鄰地區，分別由兩個地方政府進行管轄。每個地方政府分別向本地居民提供生產性公共服務。每個地區的生產性公共服務不僅促進了本地區生產活動，也對相鄰地區的生產活動產生了跨區域外部效應。在兩個地方政府之上還存在著一個協調地區間事務的中央政府。

每個地區均有一個無限存活的代表性消費者(居民)。假定兩個地區的代表性消費者具有相同的偏好，其跨期效用函數形式為：

(1)

其中，σ>0為消費者相對風險規避系數，ρ>0為時間偏好系數，ci表示i地區代表消費者的個人消費，t為時間。下標i表示地區，i∈{1,2}。代表性消費者在給定中央和地方政府政策變量及自身預算約束的條件下，通過選擇個人消費路徑以最大化一生總效用。為了簡化，我們假定資本折舊率為0，則消費者的預算約束(人均資本積累方程)為：

(2)

每個代表性消費者各自經營一家代表性企業，生產函數形式為：

yi(t)=Aki(t)αgi(t)βg-i(t)γ

(3)

其中，gi和g-i分別表示本地政府和相鄰地區政府提供的生產性公共服務；A>0為技術系數；α∈(0,1)，β∈(0,1)和γ∈(-1,1)分別為資本、本地區公共服務和相鄰地區公共服務的產出彈性；假定α+β+γ=1，即生產函數具有一次齊次性質。特別需要指出，彈性系數γ代表了相鄰地區公共服務對本地區生產活動的跨區域溢出效應。當γ=0時，不存在公共服務的跨區域外部效應；當γ>0，則存在正的空間溢出效應；當γ<0時，則存在負的溢出效應。

中央政府的目標是兩個地區的整體社會福利最大化。則中央政府的目標函數為：

(4)

其中，χ和(1-χ)分別為中央政府賦予地區1和地區2的權數。我們假定兩個地區的消費者效用對中央政府同等重要，即χ=1/2。中央政府以收入稅融資，并向兩個地方政府分別實行轉移支付，在任意時間t的預算約束為：

(5)

其中，-1<υi<1(i=1,2)表示中央對第i地區的轉移支付比率(配套率)。為了矯正地方公共服務的空間外部性，中央政府對地方政府實行配套轉移支付(正向或逆向)。

地方政府則通過向本地居民提供公共服務以最大化本地區代表性消費者效用，其收入來源包括地方收入稅和來自中央政府的轉移支付。這樣，地方政府的平衡預算約束為：

(6)

地方公共服務由地方政府和中央政府(通過轉移支付)共同承擔，即：

gi(t)=[1-υi(t)]gi(t)+υi(t)gi(t)

其中，地方政府負擔[1-υi(t)]gi(t)，中央政府通過轉移支付承擔υi(t)gi(t)。如果地方政府在公共服務投入1元，則中央政府出資υi/[1-υi]元。反過來說，中央政府可以通過合理設置υi使得地方政府選擇最優的投入水平。

地方政府面臨的本地區資源約束為：

(7)

注意，將兩個地區的資源約束加總，并結合中央政府預算約束式(5)，就蘊含了兩個地區的總社會資源約束：

(8)

根據模型中生產函數和效用函數的設定，經濟的最優配置將從初始狀態開始就進入穩態增長，即沿著一條平衡路徑增長。

為了將本文的研究重心集中于考察地方公共服務的空間外部性及中央政府如何通過轉移支付矯正這種空間外部性，本文忽略了中央政府提供的全國性公共服務，也沒有考慮消費性公共服務。但需要指出，以本文的模型為基礎，我們可以很方便地引入中央的全國性公共服務，也可以將全國或地方的公共服務引入效用函數，而且這些步驟不會對本文關于最優政府間轉移支付的結論產生實質性影響。

1.2 三階段Stackelberg博弈的次序及求解過程

中央政府、地方政府和代表性消費者之間形成一個典型的三階段Stackelberg博弈，博弈次序如下：

第一階段，中央政府宣布中央收入稅率的時間路徑及對兩個地方政府公共服務的轉移支付率(配套率)路徑。

第二階段，兩個地方政府在給定中央政府政策變量的前提下，進行同時博弈(Cournot博弈)，各自選擇并宣布本地區的收入稅率路徑和地方公共服務路徑。

第三階段，兩個地區的代表性消費者在給定中央和兩個地方政府的政策變量及初始條件下，各自選擇自身的消費(及投資)路徑。

上述博弈的求解方法為逆向歸納法。即首先求解兩個地區代表性消費者的效用最大化問題(即分散均衡)，得到消費者的消費函數(對中央和地方政策變量的反應函數)和間接效用函數；其次求解兩個地方政府的本地福利最大化問題，得到地方政府的最優財政政策(對中央政策變量的反應函數)；最后求解中央政府的整體福利最大化問題，得到中央政府的最優轉移支付率及相應的中央收入稅率。

1.3 分散均衡

每個地區的代表性消費者分別在給定中央政府、本地區政府及相鄰地區政府的政策變量及個人預算約束式(2)下，通過控制個人消費路徑，以最大化其一生總效用式(1)。其漢密爾頓函數為：

(9)

其中，qi為漢密爾頓乘子。求解一階條件，得到：

(10)

結合式(9)和式(10)，我們得到個人消費的增長率(歐拉方程)：

(11)

(12)

進而將式(12)代入式(1)，我們就得到了代表性消費者的間接跨期效用函數：

(13)

其中，

(14)

2 地方政府的最優政策函數

兩個地區的地方政府均在給定中央政府政策變量和相鄰政府公共服務水平的前提下，最大化本地代表性消費者的間接跨期效用函數式(13)，受約束于本地區資源約束式(7)和自身平衡預算約束式(6)，其漢密爾頓函數為：

結合(15)和(16)兩式，我們得到：

(17)和(18)兩式非常重要，它們給出了兩個地方政府的最優財政政策函數(作為對中央收入稅率和轉移支付率的反應函數)，我們總結為以下的命題。

命題1

在以收入稅籌資的兩級政府的框架里，地方政府的最優地方公共支出(以公共支出與產出的比例衡量)函數為：

相應的最優地方收入稅率函數為：

但是，只要當地方公共服務對相鄰地區存在溢出效應(即γ≠0)時，地方政府僅根據地方公共服務對本地區的產出彈性來選擇地方公共支出水平gi/yi=β是沒有效率的。因此，需要中央政府通過轉移支付進行干預。根據命題1，我們發現，中央收入稅率降低了地方公共支出水平，這是因為中央收入稅率降低了地方收入稅率；但同時，中央對地方的轉移支付率提高了地方公共支出水平。因此，中央政府需要面臨的問題是，如何設計最優的轉移支付率和中央收入稅率，使得地方公共支出達到最優水平。

直覺上可預見的是，如果不存在稅收扭曲，中央政府對地方政府的最優轉移支付率為：γ/(β+γ)，即最優轉移支付率等于公共服務對相鄰地區的產出彈性(外部性系數)與公共服務對本地及相鄰地區的產出彈性之和的比值；但是，收入稅降低了私人資本的收益率，扭曲了行為人的跨期決策。因而，在一個動態框架里，收入稅的存在使得最優轉移支付率將發生變化，而具體會發生怎樣的變化是無法預見的。關于稅收扭曲將會如何影響最優轉移支付率的問題，本文將在第3部分進行探討。

根據模型設定，兩個地區從初始狀態開始就進入平衡增長路徑。經濟增長率由φi表示。根據式(11)～(12)以及式(18)，我們可以分別解出地區產出、消費與地區資本存量的比例：

進一步，根據式(17)和式(19)，并利用生產函數式(3)，我們得到本地區地方公共支出以及相鄰地區地方公共支出與本地區資本存量的比例：

注意，根據模型設定，兩個地區的消費者偏好和生產技術是相同的，且初始資本存量相同。因此，兩個地區本質上是同質的，中央政府對兩個地區的收入稅率和轉移支付率必然是相同的，兩個地區的產出、消費、地方公共支出、稅收以及經濟增長率也必然是相等的。(3)假定兩個地區同質，并不會抵消相互之間的正向或負向空間外部性。以正外部性為例，假定兩個地區的公共服務相互存在正向溢出效應，那么，如果沒有中央政府的干預，每個地區的公共服務都是不足的。因此，同質假定對本文而言，只是一種研究上的便利，不會對研究結論產生實質性影響。

從而，我們必然有gi/ki=g-i/ki。這樣，通過聯立方程式(21)和式(22)，我們解出兩個地區的經濟增長率：

(23)

從這里開始，為了行文的方便，如無特殊情況，我們均去掉代表地區的下標i。

3 中央政府的最優轉移支付與收入稅率

3.1 中央的最優化問題

中央政府面臨的問題是，根據兩地區地方政府及代表性消費者的決策函數(反應函數)，在其自身預算約束條件下選擇對地方政府的轉移支付率及相應的中央收入稅率以最大化整體社會福利式(4)。

根據式(20)，我們得到

(24)

將式(24)和k(t)=k(0)eφt代入式(4)，并利用χ=1/2，得到：

(25)

其中，ρ>φ(1-σ)以保證跨期效用有界。

根據式(25)，整體社會福利水平W是經濟增長率φ的函數。經過推導，我們發現：(4)不等式(26)的證明見附錄2。

(26)

式(26)意味著，整體社會福利最大化等價于地區增長率最大化。因此，中央政府的整體社會福利最大化問題轉化為在自身預算約束式(5)下最大化地區增長率式(23)。

由于兩個地區是同質的，中央政府的預算約束式(5)可簡化為τfy=υg。進一步，利用式(17)，我們將中央預算約束改寫為：

(27)

式(27)實際上給出了中央政府的收入稅率函數。結合式(18)可知，中央收入稅率、地方收入稅率，以及兩者之和，均為轉移支付率υ的函數。

為了求解最優轉移支付率，我們將式(27)代入式(23)，得到：

(28)

這樣，中央政府的問題就進一步轉化為：通過選擇轉移支付率υ以最大化式(28)。最大化的一階必要條件為：

(29)

根據模型參數設定，轉移支付率υ∈(-1,1)，則必然有：

因此，要使一階條件式(29)成立，則要求γ-)γ+αβ(υ*=0。這樣，我們就可以得到：

(30)

可以證明，υ*是φ(υ)在定義域(-1,1)上的唯一全局最大值解。(5)關于υ*是φ(υ)唯一全局最大值解的證明見附錄3。也就是說，υ*是唯一的最優轉移支付率。

進一步，將式(30)代入中央預算約束式(27)，得到最優的中央收入稅率：

(31)

式(30)和式(31)分別給出了中央政府的最優轉移支付率及相應的最優中央收入稅率，是本文的核心結果，我們將其總結為命題2。

命題2

在以收入稅籌資的兩級政府的框架里，中央政府的最優轉移支付率為：

相應的最優中央收入稅率為：

命題2是本文的核心結論，給出了當兩級政府以收入稅籌資時，中央政府對地方政府的最優轉移支付率和相應的最優中央收入稅率。為了進一步理解這一命題背后的經濟學含義，我們首先來考慮一下當兩級政府以總額稅籌資時的情形。由于總額稅是沒有扭曲性的，因而當中央和地方政府以總額稅籌資時，分散均衡能夠復制社會最優(第一優)配置。我們從直覺上可以預見，在社會最優(第一優)配置中，中央政府對地方政府的最優轉移支付率為(本文的附錄1給出了嚴格證明)：

(32)

式(32)的經濟意義很容易理解。由于存在地方公共服務的跨區域外部性，在沒有中央政府干預時，地方政府所提供的地方公共服務水平是沒有效率的。根據生產函數式(3)，地方公共服務對本地經濟的產出彈性系數為β，對鄰近地區的生產外部性系數是γ。因此，在沒有稅收扭曲的前提下，中央政府對地方政府進行一項比例為γ/(β+γ)的轉移支付(相當于庇古補貼或庇古稅)，可以矯正地方政府的行為。

然而，當中央政府以收入稅為轉移支付籌資時，稅收對行為人的跨期選擇帶來了扭曲。在次優配置中，最優轉移支付(實際是次優轉移支付，即the second-best optimal intergovernmental transfers)必須考慮到這種稅收所帶來的扭曲。當γ≠0時，通過將式(30)和式(32)兩式相除，并利用式(31)的結論，我們可以得到：

(33)

式(33)告訴我們，當政府以收入稅籌資時的次優轉移支付率與當政府以總額稅籌資時的第一優轉移支付率之間存在一個稅收楔子，這個稅收楔子等于以外部性系數度量的中央收入稅單位稅率。顯然，這個稅收楔子是由于收入稅扭曲導致的。中央收入稅率越高，這個稅收楔子也就越大。

綜合式(32)和式(33)，我們可以把式(30)改寫為：

(34)

上式意味著，當中央政府以收入稅為轉移支付籌資時，最優轉移支付需要承擔兩個職能。一方面，最優轉移支付用于矯正地方公共服務的外部性，即式(34)等號右邊的第一項；另一方面，最優轉移支付用于部分補償收入稅率帶來的扭曲，也就是中央政府收入稅率越高，中央給予地方的轉移支付率也就是越高，即式(34)等號右邊的第二項。

下面，我們進一步考察最優轉移支付率υ*及相應的最優中央收入稅率τf*與參數之間的關系。由于α+β+γ=1，任何一個系數的變化都會引起其他兩個系數的聯動。考慮到我們真正關心的是地方公共服務對本地區及相鄰地區產出彈性系數(即β和γ)，我們固定住α，重點考察β和γ變動對最優轉移支付率和中央收入稅率的影響。給定α不變，我們很容易通過觀察式(30)和式(31)發現，隨著γ上升(β下降)，最優轉移支付率和中央收入稅率均提高；反之，隨著β上升(γ下降)，最優轉移支付率和中央收入稅率均下降。

此外，特別注意的是，當γ<0時，則υ*<0，τf*<0。這意味著，當存在地方公共服務的負外部性時，中央應該通過負向轉移支付(即地方政府向中央進行政府轉移)來矯正負外部性，同時中央政府通過負所得稅(即向地方無條件轉移支付)以保證地方實現預算平衡。這說明，我們的理論本身不僅可以為正空間外部性，也可以為負空間外部性提供了一個矯正方案。

3.2 基于中央最優轉移支付的地方最優財政政策

進一步，我們將式(30)和式(31)代入地方政府的最優財政政策函數式(17)和式(18)，就得到了基于中央最優轉移支付政策下的地方政府最優財政政策，如下：

我們將上述結果總結為命題3。

命題3

在以收入稅籌資的兩級政府的框架里，給定中央政府執行最優轉移支付和最優收入稅政策，地方政府的最優公共支出(以公共支出與產出的比例衡量)為：

相應的最優地方收入稅率為：

命題3的經濟含義很容易理解。根據式(35)，最優地方公共支出占產出的比例等于地方公共服務對本地區的產出彈性β與對相鄰地區的產出彈性γ之和。注意，我們在分析命題1時已經指出，如果沒有中央干預，地方政府選擇的公共支出—產出比例為β，而沒有考慮本地公共服務對相鄰地區的外部性，顯然這個結果是沒有效率的。現在，在中央政府的最優轉移支付和收入稅政策干預下，地方政府在決策時將本地公共服務對相鄰地區的外部性也考慮了進去，中央轉移支付使得這種跨區域溢出效應完全內部化了。

地方收入稅率則需要和中央收入稅率合在一起來理解。我們加總式(31)和式(36)，得到：

(37)

上式告訴我們，最優時，中央收入稅率和地方收入稅率之和等于地方公共支出與收入的比例。對于社會而言，總的收入稅率剛好等于公共支出對收入的占比，等于本地區和相鄰地區公共服務的產出彈性之和。

此外，容易證明，當中央和地方政府均以總額稅籌資，即不存在稅收扭曲時，最優地方公共支出與產出的比例為(詳細的證明參見附錄1)：

(38)

通過比較式(35)和式(38)，我們發現最優地方公共支出與產出比例具有稅收中性的特征，即這一比例與政府部門采取總額稅籌資還是收入稅籌資是不相關的。

Barro(1990)的研究表明，在一級政府的框架里，無論在政府以收入稅籌資的次優配置中，還是在政府以總額稅籌資的第一優配置中，最優生產性公共支出與產出的比例均等于生產性公共服務的產出彈性。我們的這一發現，實際上進一步將Barro(1990)關于最優生產性公共支出的稅收中性結論擴展到了多級政府框架中。

3.3 地方政府Cournot博弈產生配置扭曲了嗎？

比較命題1和命題3可知，當地方公共服務存在空間溢出效應時，如果沒有中央政府干預，則地方政府基于本地福利最大化選擇的地方公共服務水平低于最優水平。這實際上由于在Cournot博弈環境中，地方政府之間采取非合作策略引起的配置扭曲。為了進一步說明這一點，下面我們考察兩個地方政府采取合作模式，即完全協調選擇，如同一個地方政府行事的情形，并對比合作情形中的地方政府最優策略與非合作博弈時所采取的策略之間的差別。

此時，代表性消費者的消費函數、間接跨期效用函數分別同式(12)～(14)一致。同時，由于兩個地區本質上是同質的，其產出、消費、地方公共支出以及稅收必然是相等的，又由于兩個地方政府的政策行為完全協調如同一個地方政府行事，此時模型退化為只有一個地方政府的兩級政府模型，則代表性企業的生產函數可以由式(3)簡化為：

y(t)=Ak(t)αg(t)β+γ

中央政府面臨的預算約束及總社會資源約束分別由式(5)和式(8)退化為：

給定中央政府的策略，地方政府的預算約束及面臨的社會資源約束分別同式(6)和式(7)一致，即為：

這樣，地方政府面臨的漢密爾頓函數為：

Hs=v(k,g,τf,τs)+λ[(1-τf)y-c-(1-υ)g]+μ[τsy-(1-υ)g]

其中，λ和μ分別是地方政府面臨的社會資源約束和預算約束的乘子。通過求解關于τs和g的一階條件，并結合預算約束條件進行化簡，得到地方政府的最優策略函數為：

與非合作博弈時的地方最優政策函數式(17)和式(18)相比，當兩個地方政府共同協調決策時，地區之間的公共服務溢出效應內部化了，給定中央政府的政策選擇，地方政府的公共支出和稅收決策均取決于公共服務的總產出彈性(即β+γ)。

此時，代表性消費者的消費函數(反應函數)可寫成：

這樣，中央政府面臨的漢密爾頓函數為：

Hf=v(k,g,τf)+θ(y-c-g)+ξ(τfy-υg)

其中，θ和ξ分別為中央政府面臨的社會資源約束和預算約束的乘子。結合社會資源約束及預算約束，求解最優化的一階條件，可以得到中央的最優收入稅率及最優轉移支付率：

相應地，地方政府的最優收入稅率和最優公共支出水平(相對于產出)分別為：

因此，當地方政府之間能夠進行協調合作時，無需中央政府的干預，地方政府就能通過自身的稅收政策為最優地方公共支出籌集相應的資金。而當公共服務存在空間溢出效應且各地方政府間獨自進行政策選擇(即非合作博弈)時，地方政府的收入稅率函數為(如式(18)所示)：

τs=β(1-τf)

如果中央政府不加以干預(即τf=υ=0)，則地方政府選擇的稅率和公共支出水平(相對于產出)分別為：τs=g/y=β<β+γ。說明在非合作博弈的情形中，如果沒有中央政府的干預，地方政府將選擇較低的公共服務水平，導致配置扭曲。這種扭曲是由于地方政府之間采取非合作策略導致的。在中央政府的最優轉移支付政策干預下，地方政府的稅率為：

3.4 最優干預政策與不干預政策的效果比較

下面，我們在非合作博弈狀態下，進一步比較中央政府采取最優轉移支付政策和采取不干預政策兩種狀態下的社會福利水平。我們所關心的問題是，地方公共服務的空間溢出效應強度(即外部性系數γ)與中央政府的不干預政策造成的福利損失之間存在什么關系？

根據式(25)和式(26)可知，社會福利W與經濟增長率φ正相關。因此，比較兩種狀態下的社會福利，等價于比較兩種狀態下的經濟增長率。

如果中央政府采取不干預政策，則υ=0，將其代入式(28)，我們就得到了在沒有中央干預狀態下的經濟增長率：

(39)

如果中央政府采取最優轉移支付政策，則υ=υ*，我們將其代入式(28)，得到在中央政府最優轉移支付下的經濟增長率：

(40)

為了比較φ(υ*)與φ(0)的關系，我們需要考慮以下三種情形。

情形1:γ=0。

這時，地區間不存在公共服務的跨區域溢出效應，根據式(30)，易得υ*=0。從而，必然有φ(υ*)=φ(0)。這時，中央采取最優轉移支付政策等價于采取不干預政策。

情形2:γ>0。

這時，地方公共服務存在正的跨區域外部性，根據式(30)，可知υ*>0。由于υ*是φ(υ)的唯一全局最大值點，則必然有φ(υ*)>φ(0)。這是意料之中的，當存在公共服務的跨區域正外部性時，相對于采取不干預政策，中央政府采取最優轉移支付政策提高了經濟增長率，進而增進了社會福利。

下面，我們重點分析外部性系數γ變動所帶來的影響。可以證明，當γ>0時，給定α不變，以下不等式成立：(6)不等式(41)的證明見附錄4。

(41)

即地方公共服務的空間溢出效應γ越大，中央政府采取最優轉移支付政策相對采取不干預政策下的經濟增長率差異越大；相應的，中央政府采取不干預政策的福利損失也就越大。換句話說，γ越大，中央政府采取最優轉移支付政策帶來的增長率增量和社會福利增量也就越大。

情形3:γ<0。

γ<0的分析與γ>0的分析完全對稱，此處不再贅述。

3.5 最優平衡增長路徑

給定中央政策采取最優轉移支付(相應的最優中央收入稅)政策，地方政府基于中央轉移支付政策執行最優地方財政政策，則整個經濟從初始狀態開始，就進入最優平衡增長路徑。消費、資本、地方公共支出以及產出的增長率均由式(40)給出。進一步，根據式(3)，式(35)和式(20)，可以分別得到產出、地方公共支出和私人消費與資本的最優比例，如下：

上述配置是在中央和地方政府征收收入稅籌資模式下得到的最優解。如前所述，由于收入稅帶有扭曲，因此上述結果實際上是一種次優配置。在附錄1，我們進一步考察了社會第一優配置及其在分散化決策的經濟中的實現可能性。

4 擴展模型

在基本模型中，地方公共服務只對企業的生產具有直接影響。然而，現實中的公共服務往往不僅影響生產，也直接增進了居民的效用水平(如高速公路)。下面，我們對基本模型進行擴展。借鑒Gong and Zou(2011)的處理方法，我們假定地方公共服務同時進入企業生產函數和居民的效用函數。我們還假定地方公共服務不僅影響本地居民的效用，也對相鄰地區居民的效用產生正的跨區域溢出效應。

這樣，i地區代表性消費者的瞬時效用函數由式(1)轉變為：

其中，等式右邊第一項表示消費者通過消費私人產品獲得的效用，第二項表示消費者通過使用當地政府提供的地方公共服務獲得的效用，第三項表示相鄰地區公共服務對本地居民的溢出效應。ζ,δ>0為公共服務的系數，分別表示本地公共服務和相鄰地區公共服務對本地居民效用水平的影響強度。

給定中央政府和地方政府的政策選擇，代表性消費者在自身預算約束式(2)條件下，通過選擇個人消費路徑最大化一生效用，得到的私人消費函數同式(12)，即：

這樣，消費者的間接瞬時效用函數為：

兩個地方政府均在給定中央政府及相鄰地方政府政策選擇的前提下，最大化本地代表性消費者的間接跨期效用函數，其漢密爾頓函數為：

此時，給定中央政府的政策選擇，地方政府的最優稅率及最優公共支出水平均大于公共服務僅具有產出效應時的值(如基本模型式(17)～(18)所示)，最優稅率的差值取決于以產出衡量的公共服務對當地居民的效用貢獻大小。同時，地方公共服務對本地居民生活水平的改善力度越強，地方政府的最優稅率及最優公共支出水平也越大。

由于兩個地區是同質的，結合中央政府的預算約束(同式(5))以及地方政府最優稅率，可得到：

(45)

在擴展模型中，地方公共服務不僅對相鄰地區的生產活動產生了正外部性，也對相鄰地區的消費活動產生了正外部性，因此，相對于基本模型，地方公共服務的空間外部性增強了。進而，我們可以預見，這時的最優轉移支付率υ**必將大于基本模型中地方公共服務對其他地區只具有生產外部性時的最優轉移支付率υ*，即：

υ**>υ*.

進一步，通過比較式(45)和式(27)，我們發現，擴展模型中的最優中央稅率τf**也必然大于基本模型中的最優中央稅率τf*，即：

τf**>τf*

簡言之，在擴展模型中，由于地方公共服務不僅影響生產，同時還直接影響居民效用，并且對相鄰地區產生正的跨區域消費外部性，因此，相對于地方公共服務僅具有生產性的基本模型，要求中央政府征收更高的收入稅率并對地方政府實行更高的轉移支付率。這是擴展模型的一個重要政策含義。

5 總結

本文構建了一個包含中央政府、地方政府與代表性消費者的三階段Stackelberg博弈的內生經濟增長模型，通過引入地方公共服務的跨區域空間溢出效應，探討了中央對地方的最優轉移支付率、地方政府的最優財政政策及相應的最優稅收。

我們重點考察了假定地方公共服務具有生產性，并對相鄰地區產生跨區域的生產外部性的基本模型，求解了收入稅籌資模式下的次優配置，在逆向推導地方政府對中央政策變量的財政政策函數的基礎上，論證了福利最大化與增長最大化的一致性，分析了次優路徑上中央對地方的最優轉移支付率及相應的最優中央收入稅率，進而解出地方政府的最優公共支出水平與最優地方收入稅率。我們發現：(1)中央對地方的最優轉移支付率及相應的最優中央收入稅率與地方公共服務對相鄰地區產出的彈性系數正相關，與地方公共服務對本地區產出的彈性系數負相關；(2)次優轉移支付率與第一優轉移支付率之間存在一個稅收楔子，該稅收楔子等于以地方公共服務外部性系數度量的中央收入稅單位稅率；(3)最優地方公共支出與產出的比例等于地方公共服務對本地及相鄰地區產出彈性系數之和，并且這一結論與政府采取收入稅或總額稅籌資無關。

進一步，我們在擴展模型中考察了當地方公共服務不僅影響生產，同時也直接增進居民效用并對相鄰地區產生跨區域消費外部性的情形，探討了中央和地方政府的最優政策選擇與基本模型中相應政策的差異。特別地，我們發現，在這種情形中，相對于基本模型，中央政府應該征收更高的收入稅率并對地方政府實行更高的轉移支付率。

本文在地方公共服務具有跨區域溢出效應的視角下，提供了一個關于最優政府間轉移支付的標準動態分析框架。基于本文的分析框架，我們有四個重要的擴展方向。

(1) 引入多種類型公共服務，并允許不同類型的公共服務具有不同的外部性系數。這里的重點是，我們可以允許正的外部性系數和負的外部性系數同時存在，這樣，我們就可以在這個擴展框架里研究中央政府如何通過轉移支付同時解決地方政府之間的正外部性和負外部性問題。

(2) 借鑒Golosov et al.(2003)、Kocherlakota(2005，2010)等人關于新動態財政學的研究，在多級政府框架中引入行為人的異質性和非線性稅收結構，探索動態最優轉移支付率可能存在的非線性特征。

(3) 本文對最優政府間轉移支付率以及相應的經濟增長率和社會福利水平進行了定性研究，在下一步的研究中，我們需要根據中國的實際情況進行參數校準，進而計算得到更為準確和更具可操作性的最優轉移支付率，為實踐中的政府間轉移支付體系提供有價值的理論指導和評價標準。

(4) 借鑒現有的財政分權理論，在我們的多級政府動態分析框架中，引入不對稱信息和地方政府競爭，引入不同的博弈次序，假定中央政府和地方政府具有不同于福利最大化的目標(比如中央政府目標可能是促進不同地區之間經濟協調發展，地方政府的目標有可能是最大化本轄區內的經濟增長率或財政收入)，從而獲得更為豐富更具現實意義的研究結果。

附錄

附錄1 第一優配置及其可實現性

在附錄1，我們通過在基本模型中求解命令經濟中的社會計劃者問題得到第一優配置；并將其作為參照系，與收入稅籌資模式下的次優配置進行比較，考察兩者之間的差異；進而對在分散化決策的經濟中實現第一優配置的可能性進行討論。

附錄1.1 第一優配置： 社會計劃者問題

我們考慮一個命令經濟。經濟中存在一個全知全能的社會計劃者，其目標是：在總社會資源約束式(8)和初始條件下，通過直接配置各種數量(消費，投資和公共支出)，以最大化整體社會福利式(4)。此外，我們仍然假定，社會計劃者賦予兩個地區的權數是相同的，即χ=1/2；兩個地區初始資本存量相同，即k1(0)=k2(0)。

這樣，社會計劃者的漢密爾頓函數可以寫為：

其中，θ為社會資源約束的乘子(資本的社會價值)。

通過求解一階條件，我們得到如下第一優配置：

經濟從初始狀態開始就進入社會第一優的平衡增長路徑，兩個地區的資本，產出，私人消費和公共支出均按第一優的經濟增長率增長。第一優增長率為：

(49)

附錄1.2 第一優配置與次優配置的比較

我們將第一優配置及其增長率式(46)～(49)與次優配置及其增長率式(42)～(44)和式(40)進行比較，不難看出，在第一優和次優配置中，公共支出與資本的比例是相同的；相應地，產出-資本比例也是相同的。但是，相對于第一優配置中，在次優配置中，消費者選擇了更高的消費-資本比例以及更低的經濟增長率。

導致次優配置出現扭曲的原因是收入稅扭曲了資本回報率。這一點也可以通過觀察均衡增長率式(11)得到。均衡增長率等于稅后的資本邊際產出減去時間偏好系數ρ再除以風險規避系數σ。顯然，中央和地方征收收入稅使得資本邊際產出下降進而降低了經濟增長率。

從作用機制來看，在一個動態經濟中，代表性消費者面臨著如何在當前消費與投資(未來消費)之間進行選擇的問題。收入稅的存在降低了消費者的投資回報率，從而扭曲了消費者的消費—投資決策，使得消費者傾向于選擇相對較高的消費和較低的投資(以占資本存量的比例來衡量)。

附錄1.3 實現第一優配置的可能性

既然次優配置的效率低于第一優配置，那么，一個自然而然的問題是：有沒有可能在分散化決策的經濟中實現第一優配置？

如前所述，次優配置的扭曲是由收入稅導致的。如果在分散經濟中，政府只能以收入稅或其他扭曲性稅收工具為公共支出和轉移支付籌資，那么分散均衡必然將帶有扭曲，只能實現次優解。

因此，為了在分散市場中實現第一優配置，需要擴大政府的稅收工具集。眾所周知，總額稅(lump sum taxes)是沒有扭曲的稅收。可以證明，如果允許中央政府和地方政府以總額稅而非收入稅籌資，那么分散經濟可以實現第一優配置。下面，我們來證明這個結論。

由于改以總額稅籌資，則中央政府預算約束式(5)變為：

zf(t)=υ(t)g(t)

(50)

與此同時，地方政府面臨的預算約束式(6)變為：

[1-υ(t)]g(t)=zs(t)

(51)

其中，zs表示地方政府對本地區征收的地方總額稅。此外，地方政府面臨的本地區資源約束式(7)變為：

(52)

相應地，代表性消費者面臨的個人預算約束式(2)變為：

(53)

這樣，代表性消費的問題是在預算約束式(53)的約束下，通過選擇個人消費路徑，以最大化個人一生效用式(1)。求解一階條件，易得：

將式(55)代入式(1)，得到消費者的間接跨期效用函數：

(56)

這樣，地方政府的問題就是在預算約束式(51)和本地資源約束式(52)的約束下，通過選擇地方公共支出及相應總額稅，最大化消費者間接效用式(56)。通過求解一階條件，我們可以得到地方政府的最優公共支出—產出比例(作為中央轉移支付率的函數)：

相應地，地方政府總額稅為：

zs=βy.

(58)

進一步，我們將式(57)代入生產函數式(3)，并利用g=g-i，得到

(59)

再將式(59)代入式(54)，得到：

(60)

上式給出了作為中央轉移支付率函數的均衡增長率。

(61)

將式(61)代入式(57)，易得：

(62)

進一步，利用式(50)和式(57)，可以得到中央政府總額稅為：

zf=γy

(63)

再將式(61)代入式(59)和式(57)，我們得到：

最后，我們將式(58)，式(63)和式(64)代入消費函數式(55)，得到：

(66)

通過比較均衡配置式(64)～(66)及其增長率式(60)與第一優配置式(46)～(48)及其增長率式(49)，可知只要中央政府按式(61)設置最優轉移支付率，地方政府按式(57)設置最優地方公共支出，且中央和地方政府均以總額稅籌資，則分散均衡能夠完美復制第一優配置。

命題4

在以總額稅籌資的兩級政府框架里，地方政府的最優地方公共支出(以公共支出與產出的比例衡量)函數為

中央政府的最優轉移支付率為

相應地，地方政府最優公共支出(以公共支出與產出的比例衡量)為

地方和中央政府的最優總額稅分別為zs=βy和zf=γy。如果中央和地方政府分別執行上述最優財政政策，則分散化決策經濟能夠實現社會第一優配置。

將命題4與正文部分的命題2和命題3進行比較，我們發現，無論在第一優配置還是次優配置中，地方政府的最優公共支出與產出的比例均為β+γ，說明這一最優比例具有稅收中性的特征，即與政府部門采取總額稅籌資還是收入稅籌資是不相關的。與此同時，在第一優轉移支付率與次優轉移支付率之間存在一個稅收楔子，說明收入稅帶來的扭曲對最優轉移支付率產生了影響。

需要指出，雖然在總額稅籌資模式下，分散經濟可以實現社會第一優配置，但總額稅在政策實踐中的可行性相當低，從而分散經濟通常只能實現次優配置的結果。我們對第一優配置以及總額稅籌資模式的討論，主要是為了提供一個參照系，使得我們能夠清晰地認識到次優配置相對社會第一優配置，差異究竟在哪里。

附錄2 不等式(26)的證明

證明：令Δ(φ)=(σ-α)φ+ρ，Λ(φ)=ρ-φ(1-σ)。為保證效用不發散，參數設定必然保證Λ(φ)>0，則Δ(φ)=Λ(φ)+(1-α)φ>Λ(φ)>0。

根據社會福利函數W(φ)的表達式式(25)，我們求W對φ的導數，得到：

利用Δ=Λ+(1-α)φ>Λ>0，σ>0和0<α<1，我們得到：

證畢。

附錄3υ*是φ(υ)全局唯一最大值解的證明

證明：根據φ(υ)的表達式式(28)，我們首先求φ對υ的一階導數，得到：

根據上式，我們進一步求φ對υ的二階導數，得到：

以下，我們分兩種情形考慮。

情形1:γ≤0

這時，在υ∈(-1,1)的定義域上，φ″(υ)<0，即φ(υ)嚴格凹。因此，一階必要條件也是充分條件。υ*=γ/(γ+αβ)作為唯一滿足一階條件的解，必然是唯一的全局最大值解。

情形2:γ>0

由于φ(υ)在定義域υ∈(-1,1)上是連續函數，我們根據φ(υ)的一階導數，得到如下分段結果：

綜合以上兩種情形，υ*=γ/(γ+αβ)必然是全局唯一的最大值解。證畢。

附錄4 不等式(41)的證明

證明：首先，根據式(39)和式(40)，并利用β=1-α-γ消去β，我們得到：

進一步，我們將上式對參數γ求偏導，得到：

當γ>0時，必然有：

證畢。