在Yang-Lee邊界臨界區域貝里相位標度行為的理論研究

高琪　裴明旭　吳曉慶　翟良君

摘 ? ?要：以縱向虛外場一維橫場伊辛模型為例，計算了非厄米體系中貝里相位的標度行為。研究采用雙參數空間中的貝里相位進行計算，結果表明：貝里相位的實部和虛部能夠反映出Yang-Lee邊界奇異點（Yang-Lee edge singularity， YLES）周圍的異常行為;在由（0+1）D YLES和（1+1）D YLES的臨界區構成的重疊臨界區中，貝里相位的實部和虛部的標度規律可以同時用（0+1）D YLES和（1+1）D YLES標度理論加以描述。因此，復合貝里相可以作為非厄米系統中檢測耗散性相變的通用序參量。

關鍵詞：貝里相位;Yang-Lee邊界臨界區;對稱性破缺相變

中圖分類號：O413.3 ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-7394（2020）02-0074-07

近年來，貝里相位的理論和實驗探究受到了人們越來越多的關注。貝里相位描述了量子系統參數空間經歷循環絕熱過程而產生的量子相位效應，是物理學中一個非常重要的概念。由于其滿足規范不變性，因而在原子分子物理、量子信息以及拓撲材料等眾多領域中都有著極為廣泛的應用[1-3]。近期，在凝聚態物理學的研究中，人們發現，貝里相位與量子相變（Quantum phase transition， QPT）之間存在著密切的聯系[4-5]。研究表明：貝里相位能夠作為序參量來描述系統的QPT，并且具有很好的標度性質。例如，ZHU等人的研究發現在XY伊辛鏈模型中，基態的貝里相位在QPT的臨界區域表現出明顯的異常行為，并且滿足相關的標度規律[5]。除QPT和經典相變外，發生在非厄米量子系統中的Yang-Lee邊界奇異點（Yang-Lee edge singularity， YLES）臨界區域的耗散性相變（Dissipative phase transition， DPT）也具有重要的研究意義[6]。與QPT不同，非厄米量子系統中的DPT是由于量子系統的耗散強度的變化而引起的一種相變行為。雖然對QPT中貝里相位的標度行為已得到了廣泛的研究，但DPT中貝里相位的標度行為還需要更深入的研究。

當考慮量子體系與外界環境的相互作用時，系統是一個開放的量子體系，可用非厄米哈密頓量來描述。近期，研究人員也將貝里相位推廣至非厄米量子體系的幾何描述中[7-9]，并對非厄米量子系統中貝里相位與QPT之間的關系進行了研究。由于DPT引起的變化同樣能夠反映在希爾伯特空間的幾何結構變化中，而非厄米系統的貝里相位可以很好地描述這種幾何結構的變化，這也就意味著，貝里相位可作為一個通用的序參量來描述QPT和DPT的標度行為。此外，由于在Yang-Lee邊界臨界區域的DPT通常伴隨有宇稱-時間對稱性（Parity transformation and time reversal， PT）破缺的相變，因此，非厄米量子體系的DPT的研究也就能夠作為研究PT對稱性破缺相變的一個模型[10-13]。考慮到PT對稱性量子力學研究的重要意義，對Yang-Lee邊界臨界區域貝里相位的標度行為理論研究也就同樣具有重要的意義。近期，ZHAI等人[14]提出了一種能夠滿足規范變換不變性的數值方法，首次對Yang-Lee邊界臨界區域的貝里相位的標度行為進行了研究。他們的研究表明：對于中等大小的格子，貝里相位的實部和虛部都能夠用來描述靜態DPT，并且在靠近鐵磁-順磁相變點時其標度行為能夠同時用（0+1）維（（0+1） D） YLES 相變以及通常的（1+1） D鐵磁-順磁相變的標度理論所描述。

以具有縱向虛外場的一維橫場伊辛模型為例，采用文獻[14]中提出的數值方法，計算了小格子以及中等大小格子時的復數貝里相位的標度行為。當遠離鐵磁-順磁相變點時，該模型存在一個由（0+1） D YLES和（1+1） D YLES構成的重疊區域。發現貝里相的實部和虛部可以用（0+1）D YLES和（1+1） D YLES 的臨界指數來進行標度。計算結果表明：復數貝里相位可以作為PT對稱和PT對稱破缺下DPT的通用序參量。

1 ? 縱向虛外場一維橫場伊辛模型的貝里相位

縱向虛外場一維橫場伊辛模型的哈密頓量表述為：

[H=-n=1Lσznσzn+1-λn=1Lσxn-ihn=1Lσzn'] ?， ? ? ? ? ? ?（1）

其中，[σxn]和[σzn]分別表示格點n處x和z方向上的泡利矩陣，[λ]和[h]分別為沿橫向和縱向的外場分量，L為晶格大小。對于模型（1），由于縱向虛外場具有與實外場相同的量綱，其鐵磁-順磁相變點會出現在[λc=1]且[h=0]的位置。而在此鐵磁-順磁相變點之外，當[g=λ-λc>0]時，YLES的相變點出現在[gLYL'hLYL]處，其中，上標L表示晶格大小。與一般的鐵磁-順磁相變總是出現在熱力學極限下有所不同，YLES點可以在有限晶格大小時出現，并且它們的位置會隨著L的變化而變化[15]。

在YLES點附近，該模型也會經歷PT對稱性破缺相變。對于固定的[g]，[hgLYL]）時，系統處于PT對稱相，基態能量為實數;對于固定[g]，[h>hLYL]（或固定[h]，[g

為了解決貝里相位計算中的規范變換問題[5][16]，我們通過引入兩種方向的自旋的旋轉對哈密頓（1）式做了規范變換。變換后的哈密頓為：

[Hθη=UθUηHU+ηU+θ] ， ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

其中，[Uθ=n=1Leiθσzn/2]表示自旋繞z軸做角度為[θ]的旋轉，[Uη=n=1Leiησxn/2]表示自旋繞x軸做角度為[η]的旋轉。通過這些幺正變換，可以得到一個由[θ，η]構成的二維參數空間，并可以在此參數空間里應用規范不變性的貝里相位的數值計算公式。但值得注意的是，體系在臨界區域的動力學行為并不依賴于參數[θ]和[η]，這是因為哈密頓（2）式的能譜不會受到該幺正變換的影響。

非厄米系統中貝里相位定義[4]為：

[βn=cΨnλ?aΨnλdλa]， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

其中[Ψnλ]和[Ψnλ]分別是非厄米矩陣的左右本征向量，其滿足：[HλΨnλ=EnλΨnλ]，[ΨnλHλ=EnλΨnλ]，以及[mΨmλΨmλ=1]。在二維參數空間中，體系基態的貝里相位可表示為：

[βg=χθ，ηdθdη=idθdηm≠gψg?θHψmψm?ηHψg-θ?ηEg-Em2=βR+iβI，] ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

其中，定義了貝里曲率[χθ，η]，[?θ=??θ]，[?η=??η]，[ψm]是[H]的本征態，[ψg]為基態。[βR]和[βI]分別為貝里相的實部和虛部。盡管這個表達式與厄米系統中貝里相的表達式形式一致，但這里的能量Em一般是一個復數。

[ψm]可以由哈密頓（1）的本征態[?m]做如下的變換得到：

[ψm=U+ηU+θ?m]。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

由于本征態[?m]與參量[θ]和[η]無關，貝里曲率[χθ，η]寫為：

[χθ，η=-im≠g?mWθ?m?mWη?m-θ?η]， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

其中：[Wθ=UθUη?θUη+Uθ+=Uθ?θUθ+]，[Wη=UθUη?ηUη+Uθ+]。[Wθ]也可以寫成：

[Wθ=n=1Leiθ2σznk…?e-iθ2σzk-1?θ?e-iθ2σzk?e-iθ2σzk+1?...=k…?σ0?eiθθ2σzk?θ?e-iθ2σzk?σ0?...=-i2kσzk， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）]其中[σ0]為單位矩陣。可見，[Wθ]也與參量[θ]和[η]無關，采用同樣方式也可以對[Wη]做變化得到：

[Wη=-i2cosηjσxj+sinηjσyj]。 ? ? ? ? ? ? ?（8）

將（7）（8）兩式帶入（6），可得到貝里曲率：

[χθ，η=-12m≠gj?gσzj?m?mσxj?g-z?xcosη+?gσzj?m?mσyj?g-z?ysinη=χR+iχI。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）]其中[χR]和[χI]分別表示貝里曲率的實部和虛部，由此可見，貝里曲率[χθ，η]與參量[θ]無關。如圖1所示，貝里曲率隨角度[θ]和[η]變化，可以看到貝里曲率的實部和虛部均與[θ]無關。這一結果也表明，本研究中所采用的雙參數空間中的貝里相位與以往研究中所采用較多的單參數空間的貝里相位應具有相同的物理意義。

2 ? 數值結果

在本節中，我們將研究YLES點附近臨界區域貝里相位的靜態標度規律。在此臨界區域，已有的研究發現對于較小晶格時，體系的相變行為能夠用（0+1） D YLES指數所描述;而對于中等大小晶格時，其相變行為可以同時被（0+1） D和（1+1） D YLES臨界指數來描述[14]。（0+1） D和（1+1） D YLES臨界指數分別為：[β0=β1=1，ν0=-1，δ0=-2，ν1=-5/2，δ1=-6]，其中，下角標表示維度。如圖2所示，給出了[λ]確定的情況下，YLES點周圍的臨界區的示意圖。其中：黑色表示由[hLYL]構成的曲線，該曲線與x軸交點為[h∞YL]（格點無窮大時YLES點）;深色區域表示格點較小的情況時的臨界區域，其相變行為能夠用（0+1） D YLES理論所描述;而淺色區域表示中等大小格點情況，其相變行為可以被（1+1） D YLES理論所描述。

如圖3所示，給出了在YLES點附近臨界區域，尺寸較小晶格的貝里相位的實部和虛部隨參數h和[λ]的變化。可以看到，在YLES周圍[βR]和[βI]處均會出現異常的峰值，這些結果表明復數貝里相位能夠描述DPT。

為了進一步了解貝里相位與DPT之間的關系，我們對[βR]和[βI]的標度規律進行了研究。在臨界點附近，數值計算表明[βR]和[βI]滿足如下的標度規律：

[βR（I）h-hLYL∝h-hLYL1δ0]。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

圖4中，給出了L=2時，[hLYL]點附近[βR]和[βI]隨[h-hLYL]的變化。其中擬合曲線的指數為-0.495 4和-0.497 8，接近0.5，證明了滿足（0+1）D YLES的標度行為。hx=5，hyL= 2.933 353 621 854 912。在雙數-對數坐標系中，[βR]和[βI]與[h-hLYL]為直線關系，說明[βR]和[βI]之間滿足指數規律。進一步的擬合結果表明圖中曲線的斜率分別為-0.499 7和-0.500 1，從而數值地驗證了等式（10）。這個結果也表明（0+1）D YLES理論可以很好地描述貝里相位的標度行為[17]。值得注意的是，圖4（a）中，[hhLYL‘]，貝里相位是在PT對稱破缺相中所定義的。因此，這個結果也證明了貝里相位可以作為一個通用的序參量來描述PT對稱相和PT對稱破缺相。此外，公式（10）中的臨界指數與文獻[17]中定義的序參量的指數是完全相同的，該結果為在實驗上測量貝里相位提供了一種新的思路。

對于中等大小的晶格的情況，我們首先給出了[λ=5]時，不同晶格尺寸的貝里相位隨h變化的情況，如圖5所示。可以看到，在YLES相變點附近，貝里相位的實部和虛部都會出現異常的峰值。這些結果也表明，在較大格子時，貝里相位的變化能夠體現出DPT。

圖6給出了較大格子時貝里相位的標度規律。圖6（a）表示[λ=5]，L=9時貝里相位的虛部在YLES點附近的變化。可以看到，在雙數-對數坐標系下，貝里相位的虛部與[h-hLYL]成線性關系，表明它們之間滿足指數規律的關系。進一步的數據擬合發現，圖中直線斜率為-0.498 8。對于貝里相位的實部，同樣能夠得出類似的結論，表明在較大格子時貝里相位的標度規律同樣可以用（0+1） D YLES理論所描述。

對于（1+1） D YLES的臨界區域，相關的研究發現[18]，[hLYL]與[h∞YL=2.292 475]之差與晶格的尺寸滿足如下的關系：

[hLYL-h∞YL=C（λ）L-（β1δ1/ν1）]。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（11）

其中，[β1δ1/ν1=2.4]。為了驗證該關系，在圖6（b）中給出了貝里相位的異常點出現的位置與[h∞YL]之差隨晶格大小的變化的規律。通過對該曲線的擬合發現，[hLYL-h∞YL]與晶格大小L滿足[hLYL-h∞YL∝L-2.356]。該結果表明，中等大小晶格時，貝里相位的標度性質也能夠被（1+1） D YLES理論所描述。

近期，PENG等人完成了實驗上對XY海森堡模型的基態的貝里相位的測量[19];而關于Yang-Lee邊界理論也在實驗中得到了驗證[20]。因此，我們也期待這里的理論計算結果能夠被實驗所證實。

3 ? 結語

本文用數值方法計算了非厄米體系中YLES點臨界區域貝里相位的標度規律。研究表明，貝里相位可以作為一個通用的序參量來描述在PT對稱和PT對稱破缺相中的DPT，并且在遠離鐵磁-順磁相變點的情況下，其標度規律能夠被（0+1） D和（1+1） D YLES臨界理論同時所描述。由于貝里相位在量子力學的很多領域都具有普遍意義，并且總是與如磁矩、極化率或電導等實際模型中的序參量聯系起來，因此，我們對貝里相位的標度規律的研究具有重要的物理意義。非厄米體系的相關問題是近期人們在理論和實驗研究上的熱點問題，考慮到我們這里定義的非厄米的貝里相位可以在復雜的相變中作為一個通用的序參量來描述相變，因此非厄米的貝里相位也同樣能夠應用于非厄米體系相關的其他問題的研究中。例如，對于非厄米體系的非平衡態相變動力學的問題，貝里相位同樣可以作為序參量去描述非厄米非平衡相變動力學;在對非厄米體系中的拓撲相變問題的討論中，由于在厄米體系中貝里相位總是與拓撲現象聯系起來，因此，非厄米的貝里相位同樣能夠用于非厄米體系的拓撲相位的標度問題。當然，這些工作還有待今后進一步討論。

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責任編輯 ? ?祁秀春

Theoretical Study on Bailey Phase Scaling Behavior in the Critical

Region of Yang-Lee Boundary

GAO Qi，PEI Mingxu，WU Xiaoqing，ZAI ?Liangjun

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）

Abstract：We employ a model of the one-dimensional quantum sing model in an imaginary longitudinal field to study the scaling behavior of the Berry phase in the non-Hermitian systems. The Berry phase in two parameters space is used for calculation. The results show that the real and imaginary parts of the Berry phase can show anomalies around the critical points of the Yang-Lee edge singularity （YLES）. In the overlapping critical regions constituted by the （0 + 1）D YLES and （1 + 1）DYLES，we find that the real and imaginary parts of the Berry phase can be described by both the （0 + 1）D YLES and （1 + 1）D YLES scaling theory. Therefore，the complex Berry phase can be used as universal order parameter for description of the dissipative phase transition in the non-Hermitian systems.

Key ?words：Berry phase;Yang-Lee edge singularity;symmetry reaking phase transition

收稿日期：2019-10-29

基金項目：江蘇省自然科學基金項目“不同類型外爾半金屬手征磁效應的理論研究”（BK20170309）;國家自然科學基 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 金項目“外爾半金屬手征磁效應的理論研究”（11704161）

作者簡介：高琪，助教，碩士，主要研究方向為功能材料;翟良君，副教授，博士，主要研究方向為凝聚態物理理論。