軸向柱塞泵脈動特性仿真分析

董 蒙，譚永華,2，梁俊龍，王 盈

(1.西安航天動力研究所 液體火箭發動機技術重點實驗室，陜西 西安 710100；2.航天推進技術研究院，陜西 西安 710100;3.西安航天動力研究所，陜西 西安 710100)

0 引言

在航空航天領域，液壓系統中動力元件廣泛采用流量不大、壓力高的柱塞泵[1-2]，隨著技術的發展，柱塞泵的性能也在逐步提高[3]。柱塞泵具有容積效率高、供油量調節簡單的優點，通過改變油泵的可調參數即可改變供油量。文獻 [4]分析了柱塞泵中單個柱塞運動情況，文獻 [5]基于單活塞運動分析了4種泄漏對流量損失的影響。學者們已通過AMESim或EASY5里面子模塊直接建立柱塞泵模型[6-7]，或利用液壓仿真軟件AMESim與機械動力學軟件ADAMS進行聯合仿真，建立柱塞泵機液耦合模型[8]。文獻[9]則采用了一種較為先進的虛擬樣機技術，利用三維虛擬模型構建真實物理模型，使仿真模型更接近實際情況。在進行分析時，主要研究了功率損耗[10]、脈動特性[11]及影響因素[12-13]。由于固有脈動特性影響系統穩定性，學者們進行結構優化設計減少脈動[14-16]，或通過外在的控制方法減少脈動[17-18]。

然而，雖然利用上述軟件進行脈動特性研究時，仿真簡便，卻存在難以分析建模細節對泵性能影響的缺點，而MATLAB建模可以清晰地了解參數對仿真結果的影響。經調研，學者們對柱塞泵MATLAB建模的研究相對較少。AMESim利用軟件中自帶的優化過的圖形模型進行建模，能夠考慮較多因素，例如流量系數、體積模量、密度等隨壓力的變化，使建模更加精確，具有簡單高效的優勢[19]。本文則充分結合AMESim考慮較多因素與MATLAB易分析影響因素優勢，通過AMESim搭建與MATALB編程兩種途徑進行柱塞泵仿真，在試驗數據驗證基礎上，對結果進行分析。

1 柱塞泵數學建模

1.1 柱塞泵結構原理圖

圖1和圖2展示了軸向柱塞泵結構的三維與平面圖。當柱塞處于吸油行程時，柱塞腔的自由容積增大，吸進相應體積的低壓油液；反之，排出高壓油液。柱塞旋轉與往復直線運動合成即柱塞球頭和滑靴在斜盤上的運動軌跡。柱塞泵通過調節斜盤的角度和缸體的轉速來改變供油量，并保證泵出口壓力恒定。

圖1 軸向柱塞泵三維圖Fig.1 3D drawing of axial piston pump

圖2 軸向柱塞泵平面圖Fig.2 Plan view of axial piston pump

1.2 缸體慣量模型

當電動機的轉速作用于缸體傳動軸時，相當于通過彈簧阻尼器產生扭矩，從而帶動具有一定慣量和阻尼的缸體轉動。因此，缸體實際轉速相對于來自電動機的恒定轉速具有一定差別。

缸體實際角位移滿足下列微分方程

(1)

式中：θ1為缸體實際角位移；Jg為缸體轉動慣量；Cg為缸體轉動阻尼系數；Tnet為作用在缸體上的凈力矩，公式為

Tnet=Tr-Tp

(2)

其中

式中：Tp為來自于柱塞的力矩；Ap為柱塞底端橫截面積；pi為柱塞腔壓力；φi為旋轉運動到直線運動的轉換信號；Tr為來自于彈簧阻尼器的力矩；θ2為電動機角位移；k為缸體剛度；r為缸體阻尼比。

1.3 柱塞運動模型

軸向柱塞泵斜側向視圖如圖3所示，柱塞球頭中心即滑靴在斜盤上的運動軌跡為OAB，柱塞底端進出油口在配油盤上的軌跡為O1A1B1，OAB在斜盤上的投影為OA2B2，與配油盤上的O1A1B1對應。以柱塞球頭在斜盤投影上的死點A2作為柱塞泵軸向位移原點，以柱塞球頭指向柱塞底端方向為正，分析各個柱塞球頭中心實際軸向位移與速度。

圖3 軸向柱塞泵斜側向視圖Fig.3 Oblique side view of axial piston pump

根據圖3所示，單個柱塞隨缸體轉動任意角度θ時，即從位置(1)轉至位置(2)，柱塞球頭中心的軸向位移為

sp=BB2=-B2Ctanα=-Rcosθtanα

(3)

式中：R為柱塞軸線在缸體中的分布圓半徑；α為斜盤傾角，圖示方向偏轉角度為負；θ為柱塞相對于初始位置上死點A1轉過的角度。

柱塞球頭中心的軸向速度為

(4)

1.4 柱塞腔模型

由于泄漏量較小，在建立模型時忽略泄漏。由于油液壓縮性的存在，當流入柱塞腔的流量不為零時，柱塞腔壓力產生變化。相應的柱塞腔壓力變化微分方程模型為

(5)

式中：V為柱塞腔容積；qi為柱塞運動形成的體積流量，qi=Avp；qo為通過配油盤節流孔的體積流量；βe為油液體積模量。當油液壓力較大時，體積模量為常值，但當油液壓力較小時，體積模量與壓力大小有關，如圖4所示。

圖4 體積模量隨壓力的變化Fig.4 Change of bulk modulus with pressure

1.5 配油盤面積模型

配油盤油液過流面積變化如圖5所示。

圖5 油液過流面積變化示意圖Fig.5 Schematic diagram of overflow area change

當柱塞腔出口完全位于腰形孔內時面積不變，但柱塞進出腰形孔的面積卻難以用解析表達式計算，因此采用數據插值的方法計算，如圖6所示。

圖6 油液過流面積隨角位移插值Fig.6 Overflow area interpolation with angular displacement

配油盤腰形孔相當于節流口，其流量方程為

(6)

式中：pi為柱塞腔壓力；p為泵出口壓力；Cd為節流口流量系數；Aj為腰形節流孔面積。

其中，流量系數是極其關鍵的參數，直接影響壓力流量大小。流量系數與壓差大小及臨界流量數有關，遵循公式[20]為

(7)

式中：Cd max為最大流量系數，其值取0.7；λcir為臨界流量數，表征孔口的粗糙程度；λ為流量數，計算公式為

(8)

式中：ν為運動黏度系數；Dh為水力直徑。

由圖7可見，當流量數λ大于臨界流量數λcrit=100時，流量系數Cd近似為常數；若λ較小時，Cd與流量數近似成線性關系。

圖7 流量系數隨流量數的變化Fig.7 Change of flow coefficient with flow number

2 柱塞泵模型仿真

柱塞泵整體模型的仿真是在AMESim與MATLAB編程雙重檢驗下完成。既可掌握柱塞泵的精確建模過程，又能達到準確仿真的目的。

2.1 AMESim模型

柱塞泵的AMESim仿真模型如圖8所示，其中包括缸體慣量模型與柱塞超級元件模型。其中，柱塞超級元件模型中包括柱塞運動模型、配油盤模型及柱塞腔模型，如圖9所示。此外，還包括整個系統仿真所需的電機、負載、油箱等輔助組件模型。AMESim中利用漏油子模型表征漏油，利用流體屬性元件表征流體參數隨溫度、壓力等的變化規律，通過調整模型參數達到設置元件結構信息與初始條件的目的。

圖8 柱塞泵AMESim仿真模型(五柱塞)Fig.8 AMESim simulation model of piston pump (five pistons)

圖9 單柱塞超級元件內部模型Fig.9 Internal model of single piston super component

2.2 MATLAB模型

雖然在AMESim中可以較為簡單地建立模型，但由于每個圖標所代表的子模型或方程皆封裝于內部，因此造成了用戶對模型內在的建立過程理解不深，而這一過程恰恰是模型分析中關鍵部分。通過MATLAB編程可以加深對數學建模過程的每一細節的理解，從而準確分析影響因素。數學模型參考前述的柱塞泵各個子數學模型，利用自編的經典四級四階定步長Runge-Kutta算法進行求解。

Runge-Kutta算法的具體迭代格式為

其中

由于吸油排油過程中，柱塞泵內腔室較小，壓力存在急劇變化，使得方程自身帶有剛性特點，因此需要設置較小的步長才能精確求解方程，最終步長設置為10-5。

3 柱塞泵仿真結果分析

3.1 流量脈動特性

柱塞泵的瞬時供油量為處在排油區的各個柱塞排油量的總和。圖10與圖11分別給出了各個柱塞泵瞬時供油量之和與泵出口流量，兩者平均值基本相同，但瞬時供油量之和在每個周期內具有較大的瞬間鋸齒波動，這是由于各個柱塞在旋轉過程中，當柱塞剛進入配油盤腰形孔時，泵出口壓力瞬間大于柱塞腔壓力，因此出現瞬間鋸齒狀流量負值，形成油液倒流。

在柱塞泵內出口處有一定體積的腔室，可以將此部分瞬間鋸齒狀流量負值抵消，最終形成圖11所示的較為平緩的泵出口流量脈動，即泵出口腔室起到阻尼作用。此外，泵出口流量存在一定頻率脈動，脈動頻率可由轉速與柱塞數之積進行理論計算，其值為200 Hz，與圖中仿真結果一致。

圖10 五柱塞排油流量總和Fig.10 Total discharge flow of five pistons

圖11 泵出口流量的AMESim與MATLAB仿真對比Fig.11 Comparison of pump outlet flow between AMESim and MATLAB simulation

3.2 壓力脈動特性

3.2.1 柱塞腔壓力特性

柱塞泵中主要存在柱塞腔壓力和泵出口壓力。各個柱塞腔壓力在吸油時為負，排油時為正。由于壓力較小時，體積模量也相對較小，壓力增大時，體積模量迅速增大。圖12(b)是圖12(a)的局部放大，從圖12(a)和圖12(b)可見，柱塞腔在吸油區存在較小負壓，在排油區存在較高壓力，也正是由于體積模量非常值，使得柱塞在一個周期內腔室壓力呈現不對稱狀態。各個柱塞均布于缸體內的分度圓上，角位置不同，則柱塞腔處于排油區的高壓時刻也各不相同，如圖12(a)和圖12(c)～12(f)所示，每個腔高壓區相對上一柱塞腔存在一定偏移。在缸體轉動一圈內，正是由于柱塞腔高壓區的輪換出現保證了泵出口壓力的恒定，但也正是由于這種特性，造成了柱塞泵的壓力脈動。

圖12 柱塞腔壓力隨時間變化Fig.12 Change of piston cavity pressure with time

3.2.2 柱塞泵出口壓力特性

圖13展示了泵出口壓力變化，相當于圖12各柱塞腔高壓部分的連續輸出。與圖11對比可知，壓力脈動與流量脈動振型相位一致，當壓力增加時，流量增加，反之，流量減小。此外，壓力與流量息息相關，當負載所需流量減小時，柱塞泵通過減小斜盤傾角，從而減小泵出口流量，但會使泵出口壓力產生變化，可以通過控制閥機構進行壓力補償。

圖13 泵出口壓力的AMESim與MATLAB仿真對比Fig.13 Comparison of pump outlet pressure between AMESim and MATLAB simulation

3.3 影響因素分析

柱塞泵除柱塞數外的兩個重要可變參數分別為轉速與斜盤傾角，圖14與圖15分別給出了轉速與斜盤傾角對泵出口壓力的影響趨勢。斜盤傾角越大，泵出口壓力越大，同時脈動幅值增加，但脈動頻率不變。轉速越高，泵出口壓力越大，同時脈動幅值也增加，且脈動頻率增加。在進行柱塞泵優化設計時，應重點關注這些影響特性。

圖14 斜盤傾角對泵出口壓力影響Fig.14 Influence of swashplate inclination angle on pump outlet pressure

圖15 轉速對泵出口壓力影響Fig.15 Influence of rotation speed on pump outlet pressure

3.4 仿真對比及試驗驗證

圖11與圖13分別展示了基于AMESim與MATLAB軟件的泵出口流量與壓力仿真結果，可以看出AMESim與MATLAB仿真結果基本一致，兩者之間的微小偏差原因在于：AMESim利用自帶求解器進行底層的微分方程求解，MATLAB使用自編的定步長四級四階Runge-Kutta算法求解；AMESim模型中考慮漏油模型，MATLAB中未考慮漏油模型；AMESim中流體參數包括密度、體積模量及流量系數等皆隨壓力變化，MATLAB編程只考慮體積模量及流量系數隨壓力變化。

為了進一步驗證模型正確性，將仿真結果與試驗數據進行對比，圖16與圖17給出了泵出口壓力的AMESim仿真與試驗數據的對比結果。可以看出，仿真與試驗數據的壓力脈動頻率皆為200 Hz，脈動幅值包絡誤差2.1%，兩者基本相當，脈動結果一致。其中，脈動頻率只與柱塞數與轉速有關。

圖16 泵出口壓力的試驗與仿真結果對比Fig.16 Comparison of pump outlet pressure between test and simulation results

圖17 圖16的局部放大Fig.17 Partial enlargement of figure 16

兩者之間的小偏差是由建模仿真過程中的簡化模型只關注模型的主特性，參數設置不可能與實際系統完全一致，且試驗過程中轉速與精確設定值有偏差，以及相關參數測量有誤差等因素所致。

4 結論

本文通過建立柱塞泵數學模型，并利用AMESim與MATLAB進行仿真，分析柱塞泵的脈動特性與影響因素，可以得到以下結論：

1)柱塞泵在AMESim與MATLAB編程雙重檢驗下。AMESim建模較為簡單，可以簡便地考慮漏油以及流體屬性變化等因素影響，但較難了解子模型內在建立過程；MATLAB建模較為復雜，且不便考慮漏油，但每個子模型皆由用戶編程實現，可以充分了解柱塞泵的工作原理及參數影響。若需快速仿真，則應選擇AMESim，若需深析模型，則應選擇MATLAB。

2)柱塞泵的壓力脈動與流量脈動振型相位一致，脈動頻率為200 Hz。轉速影響泵出口壓力大小、脈動幅值及脈動頻率隨轉速增加而增加；斜盤傾角則只影響出口壓力大小與脈動幅值，隨傾角增加而增加。

3)仿真與試驗脈動頻率，脈動幅值包絡誤差2.1%，充分說明了本文建模的正確性，為柱塞泵的建模提供理論支撐。之后，不同柱塞泵模型仿真可以調用此模型并進行參數設置來修改，大大減小試驗及建模仿真工作量。