存在站址誤差下的時頻差穩健定位算法

高向穎 趙擁軍 劉智鑫 劉成城

(戰略支援部隊信息工程大學 數據與目標工程學院 鄭州 450001)

1 引言

隨著現代戰爭環境的日益復雜，無源定位系統由于其自身不輻射電磁信號[1]，戰場生存能力強而備受關注。無源定位技術的主要原理是通過獲取不同類型的觀測量來估計目標狀態，常用的觀測量有到達角度(Angle Of Arrival,AOA)、到達時間(Time Of Arrival,TOA)、到達時間差(Time Difference Of Arrival,TDOA)、到達頻率差(Frequency Difference Of Arrival,FDOA)、以及上述觀測量的相互結合[2]。其中，基于AOA的定位算法較簡單，但由于目前能實現的角度測量誤差較大，故該類算法對遠距離目標定位時，定位精度低[3]，不能滿足戰場需求。基于TOA定位需要滿足目標與觀測站時間同步，對系統硬件要求高[4]，戰場環境往往無法滿足其要求。而使用TDOA進行目標定位，可消除TOA測量中引起定位誤差的時鐘偏差，從而解決了時間同步問題，系統構成簡單。但只利用TDOA進行定位的算法僅能獲取到目標的位置信息，而無法獲取運動目標的速度信息。為實現對動目標的無源定位，需要進一步引入包含接收站與目標之間相對速度信息的FDOA[5,6]。聯合TDOA和FDOA定位可在大幅度提高目標定位精度的同時，獲取到目標的速度信息，這對于后續的軍事戰略部署、敵情監控具有重大意義[7]。

在實戰應用中，接收站自定位精度往往不夠高，文獻[3]中已證明，對于未考慮接收站位置和速度誤差的算法，即使在存在很小站址誤差的情況下，算法的定位精度也會大幅度下降，故對動目標定位時需考慮站址誤差。現有的考慮站址誤差的動目標定位算法主要有兩大類：迭代類和解析類。文獻[8]中提出了一種迭代類算法—約束最小二乘法(Constrained Total Least Squares,CTLS)，解決了定位方程的非線性問題，但所有迭代類算法都需要擬定適當的初值，不當的初值擬定會導致算法定位性能的下降。為克服這個問題，Ho在文獻[9]中提出了一種解析類算法—兩步加權最小二乘(Two-Stage Weighted Least Squares,TSWLS)算法，該算法無需擬定初值，更適用于對非合作目標定位的場景。但在該算法中，當目標接近參考站的任一坐標軸時，會產生缺秩問題，從而導致算法在特定點處定位誤差顯著增大。為了避免這個問題，文獻[10]提出了一種改進的TSWLS算法(Improved Two-Stage Weighted Least Squares,ITSWLS)，顯著改善了算法的穩健性。盡管上述基于TSWLS的算法具有無需擬定初值以及計算量較小的優點，但由于其第2步存在平方、開方等非線性運算，可能會導致算法產生很大的估計誤差，在中等噪聲條件下，算法的定位精度仍不盡人意。為了同時避免TSWLS算法中的非線性運算和矩陣缺秩問題，文獻[11]提出一種修正定位誤差(Localization Error Refinement,LER)的算法，改進了TSWLS算法的步驟2，提高了算法的定位精度和穩健性，但是該算法只可用來定位靜目標。之后，劉洋等人[12]將其擴展應用到動目標定位上來，但其中的LER算法沒有考慮站址誤差，仍存在嚴重的精度損失，不適用于真實無源定位場景。綜上所述，現有動目標無源定位算法仍存在3個缺陷：(1)在計算過程中出現非線性運算；(2)未考慮站址誤差；(3)定位穩健性弱。

針對以上3個缺陷，本文在考慮站址誤差的條件下，提出了一種動目標穩健無源定位的改進算法。算法在與TSWLS算法步驟1相同的基礎上，提出了全新的步驟2。新的步驟2基于誤差校正的思想，首先對步驟1的定位誤差進行估計，然后用步驟1中的初估值減去定位誤差估計值，從而得到更精確的目標定位結果。本文算法可有效避免TSWLS算法中的非線性運算，具有更高的定位精度，且不存在矩陣缺秩問題，因此具有更強的穩健性。數字仿真結果表明，相比于現有算法[8–12]，本文所提算法具有更優的抗噪性和穩健性。

2 定位模型

3 定位算法

本文所提算法共有兩步，其中，步驟2為創新點，是算法性能提升的關鍵。簡便起見，本文僅簡述步驟1流程并對其中必要的參量進行說明，而詳細介紹步驟2。

3.1 初步定位

加權矩陣W1可以表示為

由式(7)可知ε1B1?α+D1?β，其中，?α,?β服從零均值高斯分布，因此在噪聲較小時，?θ1均值近似為零，也就是說是漸進無偏的，其協方差矩陣為

3.2 誤差校正

TSWLS算法中存在平方、開方等非線性運算，會進一步放大步驟1中的定位誤差，影響算法的最終定位精度。為避免非線性運算帶來的精度損失，本文提出全新步驟2，通過對定位誤差進行估計并用初步定位結果減去估計誤差，得到更準確的定位結果。

從步驟1中可以得到

需要注意的是，加權矩陣W1是關于目標位置的函數，所以在步驟1中不可直接使用。因此，先假設W1為等維度的單位陣，帶入式(13)得到一個初始估計值，然后用該初估值計算得到新的W1，再通過式(13)更新本文共更新兩次。W2中的目標位置和速度可用步驟1的估計結果代替。

4 性能分析

4.1 CRLB分析

本節通過量化所提算法的估計誤差，并將其與克拉美羅下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)相比較，證明了本文算法在噪聲較小的情況下可達CRLB。

4.2 穩健性分析

出于對定位連貫性的要求，在對空間目標定位的過程中，不可出現誤差過大的特殊位置點[15]，即空間目標的地理位置應與算法的定位性能無關。

TSWLS算法中矩陣B2為

其中包含有與目標位置相關的元素，當目標位置接近參考站的任一坐標軸時，(u ?s1)中某個元素接近為零，B2變為缺秩矩陣，在式(25)中對B2求逆時就會導致定位誤差較大，最終影響算法定位精度。而根據本文3.2節可知，所提算法步驟2中矩陣B2為

由式(37)可看出，本文B2內所有元素與目標位置無關，有效地避免了矩陣缺秩問題，使得本文算法具有更高的穩健性。

4.3 定位精度分析

TSWLS算法的步驟2利用輔助變量與目標位置信息間的關系構建方程。算法首先對輔助變量和進行平方和乘積運算

式(39)將方程誤差分為了兩個部分：1階誤差項和2階誤差項。TSWLS算法在平方及乘積運算后直接忽略了2階誤差項，接著對步驟2的結果開方得到最終定位結果算法中，平方及開方等非線性運算都會使定位誤差增大，且在噪聲較大的情況下，2階誤差會顯著增大以至于在計算過程中不能被忽略，將其直接忽略將會造成嚴重的精度損失。

所提算法的步驟2不涉及非線性運算，雖然式(18)也只保留了1階項，但其高階相都與‖u ?s1‖成反比，例如的2階項

當目標距接收站較遠時，2階相非常小以至可以被忽略。故相比于TSWLS算法，所提算法具有更高的定位精度。

相比于文獻[12]，所提算法將接收站的位置及速度誤差考慮在內，更貼近現實情況，消除了由于無法獲得接收站的準確位置和速度而產生的精度下降問題。雖然所提算法計算量大約為文獻[12]的5倍，但考慮到所提算法定位精度的提升，一定計算量的犧牲是值得的。(計算量計算過程見附錄B)

5 仿真結果與分析

本節通過蒙特卡洛仿真實驗將本文算法與ITSWLS[10],TSWLS[9],LER[12]及CRLB進行比較，驗證了本文所提算法的定位性能。

仿真中，本節將以L次獨立的蒙特卡洛實驗得到的均方根誤差(Root Mean Squares Error,RMSE)來定量評估算法的定位性能。TDOA和FDOA的觀測誤差協方差矩陣設為Qα接收站站址誤差協方差矩陣設為Qβ0.1J3M}。其中，σt為TDOA測量誤差，σs為接收站位置誤差，Ji為i維 方陣，其對角線元素為1，其余元素均為0.5。

5.1 仿真1

仿真1的目的是量化算法精度，以文獻[9]中的CRLB為基準，對比所提算法與TSWLS,ITSWLS,LER算法的定位精度。與文獻[9]相同，本文選取6個移動接收站，其位置與速度如表1所示

對一個真實位置為[ 2000 2500 3000 ]Tm，速度為[?20 15 40]Tm/s的動目標進行定位。分別設TDOA測量誤差σt10?2m，接收站位置誤差σs10?1m，并以0.05 m為步進長度不斷增大σs至100m，經過L500次蒙特卡洛實驗后的仿真結果如圖1所示。

圖1給出了當站址誤差σs從10?1m變化到100m時，不同算法的定位RMSE和誤差的變化曲線。從圖中可以看出，當σs不斷增大時，所提算法的定位RMSE能更好地貼合CRLB，且擁有更小的定位誤差，盡管在σs1 m時仍存在輕微的門檻效應，但相比于其他算法在σs ≈0.4 m就已經開始偏離CRLB，且在σs1 m時誤差較大，所提算法的抗噪性仍明顯優于其他對比算法，這也驗證了4.2節中的理論分析。

5.2 仿真2

仿真2的目的是量化算法的穩健性，仍然以文獻[9]中的CRLB為基準，對比所提算法與ITSWLS,LER,TSWLS算法的穩健性。為使仿真結果更直觀，選取6 個速度為0 m/s，真實位置分別為[0 0?150]Tm,[ 0 300 0 ]Tm,[?300 0 0]Tm,[ 0?300 0 ]Tm,[300 0 0]Tm,[150 0 0]Tm的固定接收站，用以定位一個以20 m/s的速度在3000 m高空做半徑為2000 m圓周運動的動目標，目標的位置及速度表示為

其中，方位角φ ∈[0,2π]。

設測量誤差σt10?2m，站址誤差σs10?1m，目標方位角從0～ 2π變化[14]，經過L100次蒙特卡洛實驗后的仿真結果如圖2所示。

表1 接收站位置(m)及速度(m/s)Tab.1 Position(m) and velocity(m/s) of receivers

圖2對比展示了所提算法與ITSWLS,LER,TSWLS算法的穩健性。可以看出，ITSWLS,LER算法及本文算法在方位角變化時定位精度都始終能達到CRLB，表現穩定。而TSWLS算法由于存在矩陣缺秩問題，即使在噪聲較小的情況下，每當目標方位角接近kπ/2,k0,1,···,4時，算法的RMSE都會顯著增大。例如，當φπ/2時，向量(0,1700,3000)Tm，此時式(36)中B2缺秩，對其求逆時會導致算法誤差增大，定位RMSE激增，在圖2中呈鋸齒狀。而本文所提算法則不存在矩陣缺秩問題，算法的定位性能與目標位置無關，具有更強的穩健性。

6 結論

在存在站址誤差的條件下，本文提出了一種基于誤差校正的高精度穩健定位算法。所提算法中，全新的步驟2通過對步驟1中目標位置和速度估計值的誤差?u和進行估計，并用步驟1的初步估計值減去誤差估計值，最終獲得精確的目標位置和速度。避免了傳統基于TSWLS算法中的非線性運算及矩陣缺秩問題。理論分析和仿真實驗都表明，相比于現有算法，所提算法具有更好的抗噪性，更小的定位誤差及更強的穩健性。

附錄A

附錄B

本文主要以算法涉及到的實數乘法次數為標準[2]，對比分析了所提算法與文獻[9]及文獻[12]的計算量。此外，由于迭代類算法需要多次迭代才能獲得較好的估計性能，計算量往往遠大于解析類，故在此不再具體分析迭代類算法的計算量。

所提算法步驟1的計算量

所提算法步驟2的計算量

需要注意的是，由于所提算法步驟1中需要先初始化加權矩陣W1，并更新兩次得到估計結果，故步驟1中(a)需要計算兩次(b)需要計算三次，因此所提算法共需要(240M3+992M2+1312M+5992)次實數乘法。文獻[9]中TSWLS算法在步驟2后仍需利用公式得到最終定位結果，故相比于TSWLS算法，所提算法計算量稍小。而相比于文獻[12]算法，由于所提算法多考慮了接收站位置和速度的誤差，在計算W1和W2時比文獻[12]共多出192M3+944M2+880M+2176次實數乘法。