群決策的區間數判斷矩陣最優集結及專家評判水平評價研究

劉偉 邱駿達

摘 要：本文將各位專家判斷矩陣中的區間數，以二維坐標點集的形式表示出來。運用模擬植物生長算法（PGSA），求解該點集的廣義Fermat-Torricelli點——專家群體的最優集結點。從而確定專家綜合判斷區間數矩陣。通過比較專家判斷矩陣與專家綜合判斷矩陣區間數對應點集的相對偏差，可以逆判出每位專家的評判水平。最后，通過一個算例計算分析，驗證了該方法的合理性。

關鍵詞：群決策;多屬性;區間數判斷矩陣;PGSA;專家評判水平

中圖分類號：O151.21? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2020）09-0001-06

0 引言

由于客觀世界的不確定性及人類主觀思維的模糊性，在決策過程中，有時候難以用精確的數值表示偏好信息，而只能給出其所屬范圍，即用區間數來表示決策信息。在群決策過程中，通常需要征詢專家小組成員的決策意見，然后通過集結各位專家提供的偏好信息對備選方案進行排序。但是，由于專家在評判過程中所掌握的信息不甚相同，且個人具有不同的決策偏好，所以綜合意見很難達成一致。為使群決策結果得到相對一致，往往需要決策者對專家群組意見進行整體協調甚至對專家小組的成員進行調整。在協調過程中，很有必要對評判專家進行反評判，這就是所謂的“逆判”問題[1]。

關于“逆判”問題，近年來已受到多位學者的重視，研究成果頗為豐富。劉萬里基于AHP判斷矩陣應用統計分析法和模糊分析法對各專家判斷矩陣進行了排序，并用Saaty檢驗一致性方法檢驗了排序的結果[1，2]。陳巖針對互反判斷矩陣提出了一種數理統計的方法進行專家水平的評價和排序，在處理語言判斷矩陣和互補判斷矩陣問題上，則將這兩種判斷矩陣轉化為互反判斷矩陣[3，4]。陳俠等給出了基于互補判斷矩陣、語言評價矩陣和區間數決策矩陣的專家水平評判方法[5-9]，陳俠等根據專家判斷與理想點之間的貼近度給出了基于理想點法的區間數決策矩陣形式偏好信息的專家評判水平分析方法。夏梅梅等通過對不同專家的判斷信息進行整體相似性分析，給出了兩種與決策群體意見一致程度最高的理想區間直覺模糊判斷矩陣的構造方法[10]。陳巖等分別基于區間語言信息和區間直覺模糊信息，提出了一種相容性的分析方法，計算綜合判斷矩陣和每個專家給出的判斷矩陣之間的相容性指標，這些相容性指標數值的大小可以作為對專家評判水平進行排序的依據[11，12]。唐耀平通過對互補判斷矩陣的導出矩陣向量化后進行偏差比較來對評判專家的評判水平進行排序[13]。陳巖等將群決策過程中專家所給出的區間數不確定評價信息轉化為互反判斷矩陣信息，通過構造一個統計量利用方差來評判專家水平[14]。

綜上可以看出，目前針對群決策中如何“逆判”各專家水平這個問題，主要集中在AHP判斷矩陣、互補判斷矩陣、語言判斷矩陣、語言評價矩陣、區間數決策矩陣和直覺模糊判斷矩陣，應用的排序方法主要有統計分析法、模糊分析法以及理想矩陣分析法等。但采用這些方法時，普遍存在一個問題，即在將專家判斷信息集結成綜合評判矩陣的時候，常規采用算術平均、加權平均或者系統聚類等方法，這些方法對于集結那些相對集中的信息，具有較大的優勢，但是對于那些距離均值偏離較大的點，集結結果存在較大的偏差。集結專家判斷矩陣信息對后續的專家水平排序工作產生至關重要的影響，因此，必須對已有的集結矩陣的方法進行改進。

本文受Fermat-Torricelli問題的啟發，基于模擬植物生長算法提出了一種新的判斷矩陣集結方法。該方法是將每位專家判斷矩陣相對應的區間數以二維坐標點的形式表示出來，坐標點集中的各個坐標點，可以代表每位專家的個人偏好信息。通過模擬植物生長算法的智能尋優，找出距離已知坐標點距離之和最小的點，這個點即是Fermat-Torricelli點，也就是集結各位專家偏好的唯一全局最優集結點，而各最優集結點組成的矩陣也是各位專家判斷矩陣的最優集結矩陣。該方法能夠在最大程度上考慮各位專家的意見，得到的專家綜合判斷矩陣能夠保證與各位專家的意愿偏差最小，解決了以往大多數學者以平均值體現群決策的綜合意愿所出現的不足問題。

1 區間數判斷矩陣的規范化

1.1 判斷矩陣的規范化

定義1 在多專家多屬性群決策過程中，設決策者Ek（k=1，2，…，p）關于方案Si（i=1，2，…，m）在屬性Pj（j=1，2，…，n）下的決策值用區間數表示為

aij（k）=[aij-（k），aij+（k）]? （1）

則專家判斷矩陣可以表示為

Ak=（aij）m×n? （2）

定義2[15] 多屬性決策中的屬性一般可以分為效益型和成本型，對判斷矩陣Ak=（aij）m×n的每一列元素可按照如下公式進行規范化處理：

wij（k）=aij（k）aij（k），效益型屬性（1aij（k））（1aij（k）），成本型屬性 （3）

公式（3）可以進一步改寫為：

效益型屬性：

成本型屬性：

.2 專家水平排序

定義4 設wk=（wij）mj）m×n分別為專家Ek與專家群體的區間數規范化判斷矩陣，將相異度？啄元素相加得出成p×m矩陣（p為專家人數，m為方案個數），此矩陣即是每個專家的偏好信息和專家群體綜合判斷信息之間的偏離信息矩陣M。

定義5 設M為專家給出的偏好信息與專家群體綜合判斷信息的偏離矩陣，則定義M專家Ek給出的判斷信息與專家群體綜合判斷信息的正理想點距離和負理想點距離，rk為專家Ek判斷信息與專家群體綜合判斷信息理想點的貼近度。

由上式可以看出，rk越大，說明專家Ek給出的判斷信息與專家群體綜合判斷信息理想點越貼近，專家的評判水平越高;反之，專家的評判水平則越低。

2 平面點集及最優集結

2.1 平面點集

假設有一個區間數群決策問題，p個專家針對m個備選方案，n個屬性給出相應的區間數判斷信息，可以看作為由p個平面所構成的點集：

A（r）=

r=1，2，…，p。

2.2 判斷矩陣區間數的集結

2.2.1 Fermat-Torricelli問題的引入

早在1634年，數學家費馬就提出了一個平面上的數學問題：已知平面上有任意的三個點P1，P2，P3，找出另外的一個點P，使得其到已知三點的距離和最小。這個問題首先由托里策利解決，因此這個P點就被稱為“Fermat-Torricelli點”，這個數學問題就被稱為“Fermat-Torricelli問題”。

瑞士學者斯坦納對“Fermat-Torricelli問題”進行了推廣[16]：在平面上給出n個點P1，P2，…，Pn，找出一個點P，使得其到已知點的歐式距離|PP1|+|PP2|+…+|PPn|達到最小。這個問題被稱為“廣義Fermat-Torricelli問題”。

定義6 給定平面上的n個點P1，P2，…，Pn（n≥2），若平面上存在一點P使得D=|PPi|為最小，則稱P為P1，P2，…，Pn的廣義Fermat-Torricelli點。

2.2.2 專家判斷矩陣的集結

定義7 對于具有m個備選方案，n個屬性的p個專家判斷矩陣區間數，存在著廣義Fermat-Torricelli點：

（x11，y11），（x12，y12），…，（x1n，y1n）

（x21，y21），（x22，y22），…，（x2n，y2n）

…

（xm1，ym1），（xm2，ym2），…，（xmn，ymn）

滿足

i=1，2，…，m，j=1，2，…，n。

則集結點（xij，yij）即為m個備選方案，n個屬性的p個專家判斷矩陣區間數的最優集結區間數。

2.2.3 基于PGSA算法的最優集結區間數的求解

模擬植物生長算法（Plant Growth Simulation Algorithm，PGSA）由中國學者李彤在2005年首次提出，這是一種受植物向光生長機理啟發而提出的智能優化算法[17]。該算法將優化問題當成植物的生長空間，最優解是光源，模擬植物自然向光生長的特性，建立植物在不同光強度下快速生長的演繹方式。自PGSA創立之后，在解決線性規劃、全局尋優等問題方面顯現出了獨特的優勢，引起了國內外學者的廣泛關注。在應用研究領域，PGSA憑借其快速的全局搜索能力和結果的高度準確性，解決了很多實際問題[18-21]。

利用PGSA，求解各專家偏好信息中的廣義Fermat-Torricelli點步驟如下：定義每個生長點按照東西南北四個方向生長，按照相似的結構不停長出新的枝葉。假設新的枝葉的旋轉角度為？琢=90°，枝干的長度為l/1000，l為有界閉箱的長度。

step1假設N維歐幾里得空間中有一有界閉箱X，在有界閉箱X內隨機均勻確定初始生長點am∈X;

step2求解各個生長點am的生長素濃度，也就是生長的概率：

step3根據步驟2計算的結果在[0，1]的閉區間里，以隨機數來選擇本次迭代的生長點am;

step4確定生長點am迭代的步長為l/1000，其按照？琢=90°的L-系統進行生長，每次迭代之后，用新的生長點中的集結點代替am，并進行新一輪的迭代計算;

step5當程序達到預設的迭代總次數，或者運算不再產生新的集結點am，則停止計算，獲得局部最優解和全局最優解，否則轉到step2;

將以上求得的各全局最優集結點組成矩陣，即是各位專家判斷矩陣的集結矩陣。

3 實例分析

本文選取算例數據，四個重要性程度相同的專家（權重wi=1/4，（i=1，2，3，4））針對一個決策問題給出相應的偏好信息。這個決策問題有4個備選方案（S1，S2，S3，S4）和4個屬性（P1，P2，P3，P4），P1，P2，P3為效益屬性，P4為成本屬性。假設4位專家（E1，E2，E3，E4）的偏好矩陣[9]如表1-4。

分別將E1，E2，E3，E4按照公式（4）、（5）規范化，得出如下4個矩陣，見表5～8表。

根據PGSA集結的專家綜合規范化判斷矩陣如表9：

文獻[9]中根據加權平均法集結的專家綜合規范化判斷矩陣如表10：

本文提出的基于廣義Fermat-Torricelli點的判斷矩陣集結法將每位專家判斷矩陣相對應的區間數以二維坐標的形式表示出來。因此，在二維空間內，可以用兩點之間的實際距離——歐氏距離，表示針對方案i屬性j集結的代表各專家綜合意愿的點與各專家偏好點之間的偏差。各專家判斷矩陣中m個方案、n個屬性的m×n個偏好點與綜合判斷矩陣中對應m×n個集結點之間的距離總和即是專家綜合判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差。

用歐氏距離公式求得本文集結的專家綜合規范化判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差為：

S1=4.00521857

文獻[9]中采用加權平均法集結的專家綜合規范化判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差為：

S2=4.94923887

？駐S=S2-S1=0.9440203

精確度提高了19%，本文集結的專家綜合判斷矩陣與各專家判斷矩陣之間的偏差更小。由此可見，運用模擬植物生長算法（PGSA）集結的各專家判斷矩陣更能反映4位專家的綜合意愿，該方法解決了文獻[9]中以平均值體現群決策的綜合意愿所出現的“近似集結”問題。

運用上述“歐氏距離法”評判各位專家的水平，即：求解各位專家判斷矩陣到綜合判斷矩陣之間的偏差dk（k=1，2，3，4）。

wmn為集結的專家綜合判斷矩陣中對應a綜合意愿點。dk越小，則專家Ek偏離專家群體的程度越小，專家的水平越高;反之，偏離程度越大，專家的水平越低。

d1=0.589545，d2=0.099387，

d3=3.108023，d4=0.208264

由此對專家水平排序為：

E2？酆E4？酆E1？酆E3

即專家1水平最高，專家4次之，最次的是專家3。

本文借鑒文獻[9]中提出的“理想點求貼進度”排序法，應用PGSA集結的矩陣進行計算排序，并與文獻[9]的結果做對比：

根據定義3和4，專家Ek對方案i評價偏離專家群體的程度（相異度？啄）組成的矩陣為：

根據定義5，求得正、負理想點分別為：

u=（0，0165，0，0122，0.0486，0.0345）

v=（0.5575，0.9782，0.7613，0.6821）

根據公式（8）、（9）、（10），求得每位專家Ek與理想點的貼進度為：r1=0.7809，r2=0.9851，r3=0，r4=0.9383，r2？酆r4？酆r1？酆r3。

則排序結果為：

E2？酆E4？酆E1？酆E3

即專家1水平最高，專家4次之，最次的是專家3，這與前文中“距離法”排序結果一致。

文獻[9]中的專家水平排序結果為：

E1？酆E4？酆E2？酆E3

與本文中的排序結果不一致。鑒于文獻[9]中集結專家判斷矩陣用的是加權平均法，難以精確反映專家綜合意愿，以致后續的專家水平排序工作產生了誤差，這也從側面證明了本文提出來的用模擬植物生長算法（PGSA）集結基于廣義Fermat-Torricelli點的判斷矩陣方法的合理性。

4 結語

本文基于多專家多屬性的區間數判斷矩陣，提出了一種判斷矩陣集結的新方法，將每位專家判斷矩陣相對應的元素在平面上以二維坐標的形式表示出來，運用植物模擬生長算法（PGSA），計算出點集中的廣義Fermat-Torricelli點，這個集結點代表了專家群體判斷的綜合意愿，各廣義Fermat-Torricelli點組成的矩陣即為專家綜合判斷矩陣。通過比較專家判斷矩陣與專家綜合判斷矩陣區間數對應點集的相對偏差，得到最優的專家水平排序結果。通過實例分析對比，驗證了該集結方法優于加權平均法，并使后續的專家水平排序更加精確，且此方法對于專家屬性較多情況可以用計算機實現，合理高效。

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