一類雙向單葉解析函數的系數估計

烏仁其其格

摘 要：本文首先利用解析函數以及該函數的q-導數的二階凸組合定義了新一類雙向單葉解析函數，其次根據從屬關系與Faber多項式展開式得到了該新函數類的系數上界，并進一步解決了這類函數的Fekete-Szeg？觟不等式問題。

關鍵詞：解析函數;雙-單葉函數;系數界;Faber多項式;q-導數;從屬關系

中圖分類號：O174.52? 文獻標識碼：A? 文章編號：1673-260X（2020）09-0007-03

1 引言

近年來，許多學者開始研究解析函數的特殊子類雙向單葉解析函數及其相關系數估計，取得許多重要成果。其中主要是利用CHEBYSHEV多項式或Faber多項式定義了新一類雙向單葉解析函數，并給出了該函數類的系數估計。

2018年，Sahsene Altinkaya在《On A Subclass of Bi-Univalent Functions with The Faber Polynomial Expansion》中，使用Faber多項式展開式，來求屬于開單元盤E={z∈C：|z|<1}內有關解析函數的q-導數以及該函數的一階凸組合的一類雙向單葉解析函數系數的上界。然而解析函數的q-導數以及該函數的其他階數凸組合的函數類也是有待研究的。

本文改進了Sahsene Altinkaya的研究成果，研究有關解析函數的q-導數以及該函數的二階凸組合的函數類的系數上界。

設R=（-∞，∞）是實數集合，C是復數集，N：={1，2，3，…}是正整數集。

令A表示在單位圓盤？駐={z∈C：|z|<1}內解析，且具有如下標準形式

f（z）=z+anzn （z∈U）? （1）

的函數類，令S表示？駐內單葉函數類。

設函數f（z）和g（z）在單位圓盤？駐內解析，若存在？駐內解析函數？棕（z）（不必單葉），滿足？棕（0）=0和? |？棕（z）|<1，使得

f（z）=g（？棕（z））（z∈？駐），

則稱函數f（z）從屬于g（z），或稱g（z）超從屬于f（z），記做

f（z）？芻g（z） （z∈？駐）。

顯然f（z）？芻g（z）（z∈？駐）？圯f（0）=g（0）和f（？駐）？奐g（？駐）。特別是，如果函數g在？駐內單葉，則有

f（z）？芻g（z）（z∈？駐）？圳f（0）=g（0）和f（？駐）？奐g（？駐）。

顯然，每一個函數f∈S有逆映射f-1，滿足

f-1（f（z））=z （z∈？駐）

及

f（f-1（？棕））=？棕（|？棕|

對于具有（1）式形式的函數f∈S，g=f-1有如下形式：

g（？棕）=f-1（？棕）

=？棕-a2？棕2+（2a22-a3）？棕3-（5a23-5a2a3+a4）？棕4+… （2）

如果f和f-1在？駐內單葉，則稱f為？駐內雙向單葉函數，令∑表示？駐內具有（1）式形式的雙向單葉函數類。1903年Faber引進了函數f∈∑的Faber多項式展開，它的逆映射g=f-1的系數如下：

g（？棕）=f-1（？棕）=a2，a3，…）？棕n

這里

定義1.1[2] C的子集上函數f的q-導數為

（Dqf）（z）=（z≠0）? （3）

且（Dqf）（0）=f′（0）。

注意到，如果f可微的，則

由（3）可得

2018年，Sahsene Altinkaya在文獻中介紹了如下函數類，并獲得該函數類的上界。

定義1.2[1] 設？鬃∈∑是？駐上單葉函數，？追（？駐）關于實軸對稱，且？鬃′（0）〉0如果有以下的擬從屬關系

稱函數f∈∑屬于T∑（q;？姿）（？姿≥1）函數類，其中g=f-1。

本文利用q-導數，類似定義1.2給出新一類雙向單葉函數的子類，并獲得該函數類的上界，改進了2018年Sahsene Altinkaya在文獻中的結果。

2 主要結論

定義2.1 設？鬃∈∑是？駐上單葉函數，？追（？駐）關于實軸對稱，且？鬃′（0）〉0，如果有以下的擬從屬關系

則稱函數f∈∑屬于T∑（q;？姿）（？姿≥1）函數類，其中g=f-1。

由定義2.1可知，f∈T∑（q;？姿）等價于，存在函數h（|h（z）|≤）使得

且

本文中，假設函數？鬃∈∑，具有？鬃（z）=1+B1z+B2z2 +…，Bi>0，z∈？駐形式的函數h在？駐上解析，且有? h（z）=H0+H1z+H2z2+…，|h（z）|≤1，z∈？駐。

定理2.2 若f∈T∑（q;？姿），且對2≤m≤n-1有am=0，則

證明 對形如（7）式的解析函數f，有

+1+2an+2？姿（[n]q

-1）-1）an-i+1]zn-1 （9）

（n-i+1+2bn+2？姿（[n]q

-1）bn+1]q-1）bn-i+1]？棕n-1 （10）

另一方面，由（7）（8）存在兩個Schwarz函數 u（z

（1-？Dqg）（？棕）]2=h（？棕）？鬃（v（？棕））? （12）

由（7）和（9）得

（13）

同理，由（8）和（10），得

（14）

又am=0，2≤m≤n-1，可得bn=-an，從而

2[1+（[n]q-1）？姿]an=2an+2？姿（[n]q-1）an=B1Cn-1+Hn-1

2[1+（[n]q-1）？姿]bn=2bn+2？姿（[n]q-1）bn=B1dn-1+Hn-1

對上面兩個等式取絕對值，并由條件|Cn-1|≤1和|dn-1|≤1，有

證畢。

推論2.3 在定理2.2中取

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參考文獻：

〔1〕Sahsene Altinkaya， Sibel Yalcin Tokgz. On A Subclass of Bi-Univalent Functions with The Faber Polynomial Expansion[C]. International conference on analysis and its applications， 2018： 133-138.

〔2〕Jackson， F. H.On q-functions and a certain difference operator[J].Transactions of the Royal Society of Edinburgh， 1909（46）：253-281.

〔3〕李書海，馬麗娜.與條形區域有關的某類亞純解析函數的系數估計[J].數學的實踐與認識，2018， 48（10）：301-307.

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〔5〕石磊，王智剛.兩類雙單葉非Bazilevic函數族的系數估計[J].安徽大學學報（自然科學版），2016， 57（03）：17-21.

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