問(wèn)題教學(xué)在定積分應(yīng)用中的探究

（陸軍步兵學(xué)院基礎(chǔ)部 江西·南昌 330100）

0 前言

定積分應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一，與微分與積分知識(shí)都密切相關(guān)。因此如何講好定積分的應(yīng)用，讓學(xué)員理解并掌握微元法的基本思想和計(jì)算方法，同時(shí)通過(guò)對(duì)該內(nèi)容的教學(xué)提高學(xué)員的能力，是一個(gè)值得研究的課題。本文結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，探討在定積分應(yīng)用教學(xué)中所采取的一些做法和體會(huì)。

所謂“問(wèn)題教學(xué)法”，其核心思想是“內(nèi)容問(wèn)題化”，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)員發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題并總結(jié)提高的教學(xué)方法。問(wèn)題教學(xué)法的實(shí)施要充分體現(xiàn)“以學(xué)員為主體，以教員為主導(dǎo)，以問(wèn)題為核心，以研究為過(guò)程”的原則。該教學(xué)模式的提出符合“將未知轉(zhuǎn)化為已知”的思維模式。其中創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境和問(wèn)題提出屬于未知區(qū)，解決問(wèn)題和總結(jié)提高屬于已知區(qū)，而分析問(wèn)題的過(guò)程屬于過(guò)渡區(qū)。教學(xué)的過(guò)程就是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、總結(jié)提高、再發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題這樣一個(gè)循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過(guò)程。問(wèn)題教學(xué)的閉環(huán)教學(xué)實(shí)施模式和閉環(huán)思維模式構(gòu)建成問(wèn)題教學(xué)一“明”一“暗”兩個(gè)閉環(huán)。

1 問(wèn)題教學(xué)法在定積分應(yīng)用中的設(shè)計(jì)思路

定積分應(yīng)用這一塊的主要內(nèi)容是理解并掌握微元法的基本思想和計(jì)算方法，其中理解并如何正確的選取微元是問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)學(xué)員來(lái)說(shuō)也是一個(gè)難點(diǎn)。因此，此次課問(wèn)題設(shè)計(jì)的核心是微元法。我的教學(xué)對(duì)象是軍校學(xué)員，已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)定積分的概念、幾何意義和計(jì)算方法，具有一定的歸納、概括和類(lèi)比思維能力，同時(shí)對(duì)定積分的應(yīng)用表現(xiàn)出強(qiáng)烈的求知欲，渴望探究定積分知識(shí)的用途。

為此我的設(shè)計(jì)思路是：

創(chuàng)設(shè)情境：通過(guò)具體軍事案例引入定積分的一個(gè)應(yīng)用創(chuàng)設(shè)情境。

提出問(wèn)題：通過(guò)對(duì)情境問(wèn)題分析，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題“如何計(jì)算曲線的長(zhǎng)度”。

分析問(wèn)題：通過(guò)對(duì)曲線弧長(zhǎng)的“分割、近似、求和、取極限”四步構(gòu)建出弧長(zhǎng)公式。

解決問(wèn)題：利用建立的弧長(zhǎng)公式求解問(wèn)題。

總結(jié)提高：梳理求解問(wèn)題思路，對(duì)比求解曲邊梯形面積的過(guò)程。讓學(xué)員感受用“分割、近似、求和、取極限”四步求解問(wèn)題的繁瑣。引導(dǎo)學(xué)員思考將過(guò)程中的四步簡(jiǎn)化成兩步，即“微”和“積”的過(guò)程，進(jìn)一步提煉出微元法，并介紹微元法的思路。

新的問(wèn)題：如何用微元法求解曲邊梯形的面積？

2 問(wèn)題教學(xué)法在定積分應(yīng)用中的實(shí)施

2.1 創(chuàng)設(shè)情境

我們知道定積分在幾何學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)及其他領(lǐng)域中都有廣泛地應(yīng)用。現(xiàn)在我們看一個(gè)具體的實(shí)例：某集團(tuán)軍進(jìn)行迫擊炮單人操炮簡(jiǎn)易射擊法訓(xùn)練，在射擊訓(xùn)練中，命中率與射程有很大關(guān)系，而射程又與發(fā)射角有關(guān)，當(dāng)發(fā)射角不同時(shí)，射出的炮彈所經(jīng)過(guò)的路程是不同的，要使炮彈所經(jīng)過(guò)的路程最長(zhǎng)，該發(fā)射角如何確定呢？

2.2 提出問(wèn)題

2.3 分析問(wèn)題

分析問(wèn)題是問(wèn)題教學(xué)的關(guān)鍵，學(xué)員發(fā)現(xiàn)想要直接求出曲線的長(zhǎng)度很困難，這時(shí)教員引導(dǎo)思路，回憶求解曲邊梯形面積，加以借鑒。通過(guò)對(duì)比曲邊梯形面積的求法得出曲線弧長(zhǎng)公式。在推導(dǎo)過(guò)程中可以提出微元的思想，為后面介紹微元法的思路埋下伏筆。在具體求解問(wèn)題時(shí)可以采用數(shù)學(xué)建模的思維展開(kāi)教學(xué)，通過(guò)炮彈的參數(shù)方程得到彈道的長(zhǎng)度表達(dá)式它能取到最大值的必要條件是

2.4 解決問(wèn)題

上面分析了問(wèn)題的求解過(guò)程，在只考慮重力時(shí)，只要從ln(sec+tan)=csc中求解出發(fā)射角，就可以得到炮彈的最長(zhǎng)射程。在這個(gè)問(wèn)題求解的過(guò)程中曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算非常關(guān)鍵，我們用了四步，請(qǐng)大家思考一下這樣求解問(wèn)題復(fù)雜嗎？能不能簡(jiǎn)化？實(shí)質(zhì)上在求解具體問(wèn)題時(shí)，只要抓住兩步便可，作微元和求積分，即“微”和“積”的過(guò)程，做微元：在區(qū)間上任取一點(diǎn)，在區(qū)間作微元，使得求積分：在區(qū)間上對(duì)的微元無(wú)限累加，即這種通過(guò)簡(jiǎn)化的過(guò)程稱(chēng)為微元法。一般一個(gè)在一定范圍內(nèi)連續(xù)變化的總量問(wèn)題都可以考慮用定積分表示。而建立這些量的重要方法是微元法。微元法思想是定積分應(yīng)用中的基礎(chǔ)。

2.5 總結(jié)提高

微元法的理論依據(jù)是定積分概念中求整體量的精確值過(guò)程，本次課從具體的軍事案例出發(fā)，把所求量表示成定積分的求解方法。在此過(guò)程中我們要用到微元法，它不僅簡(jiǎn)便實(shí)用，而且準(zhǔn)確可靠，是利用定積分求解問(wèn)題的常用方法。學(xué)完本次課大家要清楚兩個(gè)問(wèn)題：一，什么問(wèn)題可以用定積分解決？二，如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題？請(qǐng)大家總結(jié)發(fā)言。學(xué)員通過(guò)預(yù)習(xí)和聽(tīng)課，大部分都能很好地回答。

2.6 新的問(wèn)題

通過(guò)前面的講解，提出新問(wèn)題“微元法在幾何學(xué)、物理學(xué)上還有那些應(yīng)用呢？”承接后面課程的學(xué)習(xí)。

3 結(jié)語(yǔ)

問(wèn)題教學(xué)法與目前高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革方向在根本上是一致的。將問(wèn)題教學(xué)法理論應(yīng)用到數(shù)學(xué)的教學(xué)尚處于探索階段，還沒(méi)有成熟有效的教學(xué)方法。問(wèn)題教學(xué)法的內(nèi)容很豐富，改革教學(xué)不能完全照搬照抄國(guó)外經(jīng)驗(yàn)，要結(jié)合國(guó)內(nèi)教學(xué)的實(shí)際情況，注重教學(xué)方式的改變，盡量使數(shù)學(xué)內(nèi)容問(wèn)題化、情景化、過(guò)程化，讓學(xué)員在“主動(dòng)學(xué)”的基礎(chǔ)上，能夠“開(kāi)心學(xué)”。在軍校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中引入問(wèn)題教學(xué)法的教學(xué)模式，可以有效提高學(xué)員的自主學(xué)習(xí)能力，同時(shí)對(duì)教員的教學(xué)方法也是一種考驗(yàn)。