考慮群組傳播的SEIR謠言傳播模型

奚亞麗，王友國，柴 允

(1.南京郵電大學 理學院，江蘇 南京 210023；2.南京郵電大學 通信與信息工程學院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

隨著移動互聯網絡技術的高速發展，諸如微信、Facebook、Twitter等移動社交網絡的普及已經極大地改變了信息的傳播方式[1]。沒有物理空間的限制，個人或組織之間的交互更加靈活多樣，在網絡社交工具的幫助下，大量的信息通過虛擬接觸而不是面對面的方式傳遞，使得傳播過程更加復雜[2]。在這種新型復雜社交網絡中，人們根據共同愛好、親友關系等往往聚合成特定的群組，并在群組之間進行信息分享與交流。因此，一個群組很容易變成一個人們可能無法直接彼此認識的小團體。雖然一些群組成員可能不會直接與其他人聯系，但所有成員都能看到發送給群組的每條消息(包括謠言消息)。作為一種社交習慣，社交網絡中的用戶可能會將收到的謠言轉發給其他個人或群組[3-4]。

早期的經典謠言傳播模型是Dally和Kendal[5]基于SIR傳染病模型提出的。在這個模型中，人群被分為三部分：不知道謠言的人、聽說過謠言并傳播它的人、知道謠言但已經停止傳播的人。許多研究者對經典的謠言傳播模型進行了擴展，以深入了解謠言傳播機制[6-7]，并且大量謠言傳播的研究都是在經典的SIR模型的基礎上進行的。Sahafizadeh等人提出了一個新定義的SIR謠言傳播模型，研究了移動社交網絡中群組傳播對謠言傳播過程動力學的影響，并發現群組傳播顯著地提高了謠言的傳播速度，并且使網絡拓撲結構的影響變得并不顯著[8]。

在現實社會生活中，由于個人的性格特點、教育背景、法律意識等因素，一些社交網絡用戶在知道謠言話題后不會立即傳播謠言，他們將首先會成為潛伏態(exposed state)。考慮謠言內容的吸引力和模糊性導致的潛伏態群組的存在，Xia等[9]提出了一個考慮四種狀態的SEIR謠言傳播模型，并進行了穩態分析來研究傳播閾值和擴散規模大小。

受上述研究啟發，該文采用SEIR傳染病模型[10]，并在此模型基礎上考慮了群組傳播來研究均勻網絡中的謠言傳播動力學。引入了系統的動力學方程，并進行了穩態分析，研究謠言在均勻網絡中的傳播基本再生數。利用雅可比矩陣法[11]，通過計算雅可比矩陣的特征值來分析系統在均勻網絡中的穩定性。通過仿真研究了謠言在不同群組傳播率以及群組參數影響下，在WS小世界網絡中謠言最終的作用范圍。

1 考慮群組的新型SEIR模型

本節建立了一種考慮群組傳播的新型SEIR謠言傳播模型。社交網絡被認為是具有N個標記節點和E條邊的無向均勻圖。假設圖的平均度為k，節點表示移動社交網絡中的單個用戶，邊表示用戶之間或用戶與所屬群組之間的聯系。假設時間是離散的，在每個時間步驟中，每個用戶節點都處于以下四種狀態之一：易感節點(Susceptible，簡記為S)、潛伏節點(Exposure，簡記為E)，傳播節點(Infected，簡記為I)和免疫節點(Removed，簡記為R)。

每個用戶節點都可以通過與自己相鄰的其他節點或其自身所在群組傳播謠言。該移動社交網絡中的群組是由一組可以共享信息的用戶構成，他們不一定是好友關系，也就是說他們可能沒有直接的聯系。假設當一個群組中的某個節點接收到一條謠言時，它將自動傳播給這個組的所有節點。因此，社交網絡中的兩個非好友節點可以通過他們所在群組一起共享謠言消息。

如圖1所示，在均勻網絡傳播謠言的過程中，如果一個易感節點在個體間傳播謠言過程中接收到謠言，則易感節點會以概率τ成為潛伏節點，通過群組傳播接觸到謠言信息的易感節點會以概率γ成為潛伏節點。潛伏節點接受到謠言后，以概率η向其鄰居節點傳播該謠言，以概率ε向所在群組成員傳播該謠言，若節點對該謠言不感興趣，則潛伏節點以概率υ變成免疫節點。當潛伏節點轉變為傳播節點后，節點則可能繼續傳播謠言，也可能以概率θ直接轉變為免疫者。

圖1 基于群組傳播的新型SEIR模型的單個節點狀態轉移圖

假設是在完全連接的社交網絡中，在t+1時刻傳播節點通過個體傳播給易感節點，此時潛伏節點的數量為：

(1)

(2)

(3)

當Δt→0時，

(4)

(5)

而在t+1時刻，傳播節點通過群組傳播感染易感節點，此時潛伏節點的數量為：

當Δt→0時

(8)

將易感節點的群組傳播和個體間傳播狀態方程合并，即將式(5)和式(8)合并，可得到：

(9)

此時得到一個易感節點通過個體傳播和群組傳播受傳播節點感染的動力學方程演化過程。

在謠言傳播中，除了傳播節點會傳播謠言給易感節點外，潛伏節點亦會通過個體和群組將謠言傳播給易感節點。在t時間間隔內謠言通過群組傳播將謠言傳播給易感節點使其變為潛伏節點，所以潛伏節點的增量為：

i(t))

(10)

(12)

當Δt→0時

(13)

由于s(t)+e(t)+i(t)+r(t)=1，可寫出考慮群組傳播的SEIR謠言傳播模型的動力方程組為：

(14)

如果網絡中存在潛伏節點或傳播節點，則系統不會達到穩態，所以令e(t)=0，i(t)=0，則雅各比行列式為：

(15)

基本再生數R0被定義為在其傳播壽命期間，完全易感人群中被單個謠言傳播者感染的下一個體的平均數[12]。為了研究文中模型的基本再生數，使用雅可比矩陣的非零特征值，經過簡單的計算，得到模型的閾值如下：

(16)

當R0>1時，在網絡中有謠言傳播。上式表明當λ>0時，有一種類似于流行疾病的謠言在網絡中傳播。隨著網絡中潛伏或傳播個體數量的增加，s的值減小，當R0值小于1時，潛伏和傳播個體數量從其峰值開始下降。為了有一個穩定的系統,當υ?λ，R0的值應該很高。當s≈r，若υ≈λ傳播者(潛伏者)的數量開始從峰值向下減小,免疫者個人數量的增加，潛伏者和傳播者的數量減少，直到系統得到穩定狀態。

利用Runge-Kutta方法對模型的常微分方程進行求解[13-14]，來分析移動社交網絡中群組傳播對謠言傳播的影響。表1給出了數值仿真模型的假設條件和初始值。

表1 數值仿真模擬的假設和初始值

從圖2、3可以看出，隨著傳播率和免疫率的增加，傳播者的峰值時刻減少。主觀結果是社交網絡上的人對他們收到的信息越敏感，謠言傳播就越快。另一方面，當人們更加敏感的時候，他們對謠言的反應也會更多，因此系統會更快地達到穩定狀態。結果還表明，當擴散速率與免疫速率之比一定時，傳播者的數量隨著傳播率和免疫率的增加，主觀表現是人們對謠言更感興趣，更有意愿去傳播，類似于從眾心理。將圖中左右兩圖各自對比分析表明，加入群組傳播后，謠言傳播規模更大且更快，達到了系統穩定狀態，同時傳播者的峰值比不考慮群組傳播時更大。

(a)不考慮群組傳播 (b)考慮群組傳播

(a)不考慮群組傳播 (b)考慮群組傳播

圖4 群組度的變化對傳播者個體分布的影響

2 仿真對比實驗

本節對前一節提出的考慮群組傳播的新型SEIR謠言傳播模型進行仿真和分析。在該模型中，網絡被表示為一個有N個節點和E條邊的圖。節點代表社交網絡中的個體，邊代表個體之間的連接。為了模擬現實中的社交網絡，構建了一個WS[15]小世界網絡。在謠言傳播過程中，根據所提出的模型，個體可能處于上述四種狀態之一。為了避免偶然誤差的影響，進行了蒙特卡羅模擬，每個實驗的仿真結果都是超過100次運行后的平均結果。模型初始狀態的假設和參數值如表1所示。實驗考慮了不同情況下群組傳播參數不同概率和傳播免疫率的情形。圖5為新型SEIR模型中考慮群組傳播時的WS小世界網絡上的仿真結果，圖6為謠言擴散速率遠大于免疫速率時的仿真結果。

(a)不考慮群組傳播 (b)考慮群組傳播

(a) υ≈λ不考慮群組傳播 (b) υ≈λ考慮群組傳播

在WS小世界網絡下進行實驗，考慮了三種不同的情況，群組傳播參數的概率不同，傳播免疫率也不同，實驗結果如下:

在圖5中，分析了群組傳播對謠言傳播整體動態變化的影響。可以看出，群組傳播對傳播時間和傳播高峰期的傳播者數量有很大的影響。實驗結果表明，當考慮群組傳播時，需要非常多的人對謠言免疫才能使系統達到穩態。

圖6比較了傳播參數變化對謠言傳播的影響，通過有無群組傳播以及參數υ和λ是否相近進行對比分析，群組傳播對傳播時間和傳播高峰期的傳播者數量有很大的影響；當擴散速率與免疫速率之比一定時，傳播者的數量隨著參數的增加而變多，而當免疫速率遠小于擴散速率時，傳播者的峰值數量多于免疫速率與擴散速率相近時的數量，而對傳播速度沒有較大的影響。這與現實社交網絡中謠言傳播過程相吻合，且表明群組傳播加快了謠言的傳播速度，同時使得謠言擴散程度更大，即謠言的影響范圍越廣。

圖7比較了群組規模和群組程度對謠言傳播的影響，改變群組大小(X)和群組度(M)來研究謠言傳播者的動態變化過程。從圖7中可以看出，群組程度直接影響傳播者的比例和傳播者的傳播速度。隨著群組程度的增加(群組數量減少)，傳播者的比例增加，傳播速度加快，峰值時間減小。研究表明，在移動社交網絡中，假設當人們所屬的群組平均數量(即個體的群組程度)為常數時，擁有較大的群組比擁有較多的群組對謠言傳播更有效。

圖7 WS網絡仿真群組程度變化I(t)動態過程

3 結束語

主要研究目的是分析群組傳播對社交網絡謠言傳播過程的影響。除了之前提出的模型中謠言只通過社交網絡中的直接聯系人傳播的共同假設外，謠言傳播個體也可以將謠言發布到存在其他間接未知個體的群組中。

為此，通過加入群組傳播參數建立了一種考慮群組傳播的新型SEIR謠言傳播模型，在均勻網絡上研究了群組傳播對謠言傳播過程動力學的影響。通過穩態分析，研究了謠言傳播在均勻網絡上的全局動力學行為，根據動力方程組計算給出了模型的基本再生數，即傳播閾值。此外，進行了基于個體的仿真，在WS小世界網絡上進行了是否考慮群組和不同傳播參數的對比實驗。實驗結果表明，群組傳播對謠言傳播過程有很大的影響，極大地加快了謠言傳播的進程。平均群組度的增加，會導致傳播速度和傳播者峰值規模均有所增加；結果還表明，群組規模越大，謠言的影響范圍越廣。