一類具有時滯的麻疹傳染病模型的全局分析

王 茉,劉俊利

(西安工程大學 理學院,陜西 西安 710048)

0 引 言

傳染病對人類危害巨大,并且破壞范圍極廣。在過去的數十年里,全世界范圍內爆發過多種傳染疾病,例如非典、肺結核、流感、麻疹、埃博拉等。這些傳染病使人聞之色變,每一次的出現都會給家庭以及社會帶來巨大的損失。因此,傳染病的控制一直以來都是學者們研究的重要課題[1-5]。其中,麻疹是由麻疹病毒感染引起的急性呼吸道傳染病,極易在人群中傳播并導致各種并發癥。麻疹易感人群包括因太小(8月齡之前)還沒有接種過疫苗的幼兒,以及沒有接種過疫苗的成人,麻疹一年四季均可感染,但3～5月是發病高峰期[6-8]。自從麻疹疫苗發明以來,全世界麻疹的死亡率一直在下降,但發展中國家以及一些貧困地區疫苗接種尚未得到廣泛普及,麻疹仍是造成全球幼兒死亡的主要原因之一。因此,建立并研究麻疹傳播動力學模型對疫情控制意義重大。

目前,國內外許多學者針對麻疹疾病的接種免疫、傳播規律等都做了諸多研究。PANG等建立了一類具有接種的麻疹模型,討論了接種疫苗對于控制麻疹傳播的作用，并分析得到了麻疹疫苗接種覆蓋率的2個臨界閾值[9];姜翠翠等建立了具有部分免疫和潛伏期的麻疹模型,計算得到模型的基本再生數,討論了模型的穩定性并分析了潛伏期以及免疫活動對于基本再生數的影響[10];HUANG等考慮了一類帶有周期性傳染率的麻疹模型,研究了季節性麻疹流行和疫苗接種對麻疹傳播的影響,并利用數值模擬驗證了理論結果的正確性[11]。但隨著對麻疹發病機制的深入研究,發現麻疹在染病初期并未出現斑疹癥狀,而是在潛伏期之后才開始逐漸出疹,通常利用“時滯”來描述這一傳播機理,即患者的發病狀態變化不僅取決于當前時刻的影響,還受前一時刻因素的影響。本文在文獻[11]的基礎上考慮了時滯因素對于麻疹疾病傳播的影響,建立并分析了一類帶有時滯的微分方程麻疹模型,并證明了各平衡點的全局漸近穩定性。

1 模型建立

將總人口N(t)分為S(t)、E(t)、I(t)、R(t)等4類，分別表示t時刻人群中的易感者人數、潛伏者人數、染病者人數和恢復者人數,模型如下:

(1)

式中:A為人口的輸入率；ρ為接種率(0<ρ<1)；μ為人口自然死亡率；β為麻疹的感染率；γ為疾病恢復率；τ為麻疹的潛伏期。

定義集合

定理1 ?φ∈χ,模型(1)有唯一的非負解u(t,φ),u0=φ,t∈[0,∞),且半流Φ(t)=ut(·):χ→χ具有緊的全局吸引子。

證明給定φ∈χ,定義G(φ):=(G1(φ),G2(φ),G3(φ),G4(φ)),其中

G1(φ)=A(1-ρ)-μφ1(0)-βφ1(0)φ3(0)

G2(φ)=βφ1(0)φ3(0)-βφ1(-τ)φ3(-τ)·

exp(-μτ)-μφ2(0)

G3(φ)=βφ1(-τ)φ3(-τ)exp(-μτ)-

(μ+γ)φ3(0)

G4(φ)=Aρ+γφ3(0)-μφ4(0)

因為χ在C中是閉的,?φ∈χ,G(φ)在R×χ中每個緊集上都是連續的,關于φ是Lipschitz連續的。根據文獻[12]中定理2.3可知,?φ∈χ,模型(1)通過點(0,φ)的解在其最大存在區間[0,σφ)上是唯一的。

由模型(1)的第二式,可以得到

exp(μt)(E′(t)+μE(t))=exp(μt)(βS(t)I(t)-

βS(t-τ)I(t-τ)exp(-μτ))

兩邊積分得

即?t∈[0,σφ),ut∈χ。

2 基本再生數和平衡點的局部穩定性

顯然模型(1)總存在唯一的無病平衡點Q0=(S0,0,0,R0),其中

根據文獻[15-16],計算得到模型(1)的基本再生數為

(2)

下證R0>1時,模型(1)還存在地方病平衡點Q*=(S*,E*,I*,R*),Q*應該滿足方程:

化簡有

因此,當且僅當R0>1時,模型(1)有唯一的地方病平衡點Q*。

下面證明平衡點Q0=(S0,0,0,R0)和Q*=(S*,E*,I*,R*)的局部穩定性。

定理2 如果R0<1,則模型(1)的無病平衡點Q0是局部漸近穩定的;如果R0>1,則Q0不穩定。

證明在無病平衡點Q0處對模型(1)進行線性化,得到其特征方程為

該特征方程存在3個相等的負的特征根,即λ1=λ2=λ3=-μ,其余的特征根滿足

λ+μ+γ-βS0exp(-μτ)exp(-λτ)=0

(3)

當τ=0時,式(3)變為

λ+μ+γ-βS0=0

則

λ=βS0-μ-γ=(μ+γ)(R0-1)

因此，當R0<1時,λ<0,特征方程的所有根都是負數,則Q0是局部漸近穩定的;反之，當R0>1時,λ>0,特征方程有一個正根,則Q0是不穩定的。

當τ>0時,令λ=iω,ω∈R。將λ代入式(3)得

iω+μ+γ-βS0exp(-μτ)exp(-iωτ)=0

(4)

分離式(4)的實部和虛部,得

則有

(μ+γ)2+ω2=(βS0exp(-μτ))2

即

ω2=(βS0exp(-μτ)+μ+γ)·

(βS0exp(-μτ)-μ-γ)=

(μ+γ)(βS0exp(-μτ)+

μ+γ)(R0-1)

因此,當R0<1時,上式無解。綜上所述,?τ≥0,當R0<1時,式(2)的所有根均具有負實部,此時無病平衡點Q0是局部漸近穩定的,當R0>1時,Q0是不穩定的。

下面討論地方病平衡點Q*的局部穩定性。

定理3 當R0>1時,地方病平衡點Q*=(S*,E*,I*,R*)是局部漸近穩定的。

證明在地方病平衡點Q*處,對模型(1)進行線性化,得到其特征方程為

化簡上述方程,得到

則該特征方程存在2個相等的負的特征根,即λ1=λ2=-μ,其余的特征根滿足下式:

λ2+(x1+x2)λ+(x3-x1x2-x2λ)·

exp(-λτ)+x1x2=0

(5)

其中

x1=μ+βI*,x2=μ+γ,

x3=β2S*I*exp(-μτ)

當τ=0時,式(5)為

λ2+x1λ+x3=0

顯然此時式(5)的所有根均具有負實部。

當τ>0,令λ=iω,ω∈R,將λ代入式(5)，得:

(iω)2+(x1+x2)iω+(x3-x1x2-x2iω)·

exp(-iωτ)+x1x2=0

化簡并分離實虛部得:

(6)

式(6)左右兩邊分別平方并求和得:

(7)

3 平衡點的全局穩定性

證明定義

X0={φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)∈χ:φ3(0)≠0}

則有

?X0=χX0={φ∈χ:φ3(0)=0}

定義

M?={φ∈χ:Φ(t)φ∈?X0,?t≥0}

推斷1 ?φ∈X0,有

(8)

I(t-τ)-(μ+γ)I(t)

推斷2 ∪φ∈M?ω(φ)=Q0。

?φ∈M?,Φ(t)φ∈?X0,即I(t,φ)≡0,由模型(1)的第二、第三和第四式有

則

∪φ∈M?ω(φ)=Q0

定義連續函數p:χ→R+:

p(φ)=φ3(0),?φ∈χ

顯然,p-1(0,∞)?X0,p具有以下屬性:?t>0,p(φ)=0,或者φ∈X0時,p(φ)>0,則p(Φ(t)φ)>0。因此,p是半流Φ(t):χ→χ的廣義距離函數。由推斷2知Φ(t)在M?中的任何正向軌道都收斂于Q0。由推斷1知,Q0是χ中的一個孤立不變集,并且Ws(Q0)∩X0=?。此外,在?X0中{Q0}沒有形成一個循環,由文獻[18]中定理3可知,?η>0,?φ∈X0,使得

則一致持久性證明成立。

定理5 如果R0<1,則無病平衡點Q0=(S0,0,0,R0)是全局漸近穩定的。

(9)

因為

考慮輔助方程

則有

由比較原理知

則?T>0,使得?t>T,有

由模型(1)中第三式得,當t>T+τ時,有

I(t-τ)-(μ+γ)I(t)

考慮輔助方程

(μ+γ)y(t)

由式(9)和文獻[17]中引理2.1知

由比較原理知

則模型(1)的極限方程為

易知,當t→∞時,有

結合定理2知,當R0<1時,無病平衡點Q0=(S0,0,0,R0)是全局漸近穩定的。

定理6 如果R0>1,則地方病平衡點Q*=(S*,E*,I*,R*)是全局漸近穩定的。

證明在模型(1)中首先考慮第一和第三式:

定義S(t)=S(t),U(t)=I(t+τ),則上式等價于

(10)

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

式中：

沿系統(10)的解曲線計算函數V(t)的導數,則有

則有

因此

因此模型(1)的每個解都趨于平衡點Q*=(S*,E*,I*,R*),從而再由定理3可知,地方病平衡點Q*是全局漸近穩定的。

從分析模型基本再生數可以得出：R0是感染率β的增函數，降低感染率可以減小基本再生數，即減少被感染麻疹的人數；R0是接種率ρ和治愈率γ的減函數，通過增大對新生兒的接種率ρ以及增加麻疹染病患者的治愈率γ也可以減小基本再生數，即減少了麻疹易感者的人數。

4 結 語

本文在文獻[10]的基礎上,研究了一類具有時滯因素影響的麻疹數學傳播模型,分析了模型平衡點的存在性和唯一性,并計算得到模型的基本再生數R0。此基本再生數R0完全決定了模型的動力學行為：對任意的時滯τ≥0,當R0<1時,模型(1)的無病平衡點Q0是全局漸近穩定的,即疾病絕滅；當R0>1時,無病平衡點不穩定,模型(1)還存在唯一的地方病平衡點,且地方病平衡點全局漸近穩定。說明該地區麻疹染病現象將長期存在,并逐漸發展成為地方病。降低感染率β，增大新生兒接種率ρ，提高麻疹染病患者的治愈率γ均有利于減少麻疹患者的人數。