基于正態分布曲線的分段式變步長LMS算法*

王平波，馬 凱,2，武 彩

(1. 海軍工程大學 電子工程學院， 湖北 武漢 430033； 2. 海軍潛艇學院 航海觀通系， 山東 青島 266000；3. 國網山東省電力公司濰坊供電公司， 山東 濰坊 261021)

最小均方誤差算法(Least Mean Square，LMS)最早是由Windrow和Hoff提出的，在雷達、聲吶和心電探測[1-3]等領域應用較為廣泛。LMS算法可以對權系數進行自適應的調節[4]，但固定步長的LMS算法在收斂速度和穩態誤差之間存在矛盾[5-7]。針對此矛盾，許多學者提出了變步長LMS算法，在初始階段采用大步長因子加快收斂速度，收斂后采用小補償因子降低穩態誤差。其中代表算法有基于Sigmoid函數的變步長LMS自適應濾波(Sigmoid-Variable-Step Least Mean Square, SVS-LMS)算法[8-10]，該算法能同時獲得較快的收斂速度和較小的穩態誤差，但其步長因子在穩態階段變化太快，導致穩態誤差較大。并且在處理實際的實驗數據時，通常會遇到參考信號難以選取的問題，本文針對上述情況提出一種基于正態分布曲線的變步長LMS自適應算法。

1 變步長LMS算法

根據自適應濾波器原理框圖，如圖1所示，LMS算法的迭代公式可寫為：

圖1 自適應濾波器原理框圖Fig.1 Principle block diagram of adaptive filter

y(n)=xT(n)W(n)

(1)

e(n)=d(n)-y(n)

(2)

W(n+1)=W(n)+2μe(n)d(n)

(3)

式中：x(n)為n時刻的輸入信號矢量；W(n)為n時刻自適應濾波器的權值；d(n)為n時刻參考信號；e(n)為n時刻的誤差；μ為算法的步長因子，決定算法的收斂速度和穩態誤差[8]。

圖1中的v(n)為干擾信號，信號通過未知系統時會有疊加部分干擾，引起算法失調。為解決固定步長LMS算法在收斂速度和穩態誤差之間的矛盾，提出了一系列變步長LMS算法，其中覃景繁等[12]提出的基于Sigmoid函數SVS-LMS算法是一種比較經典的算法，其步長因子為

(4)

式中，α和β為控制函數的陡峭程度和取值范圍。

由式(4)可得，當μ>β/2并且0<μ<1/λmax時，算法收斂。與固定步長LMS算法相比，SVS-LMS算法的步長因子μ隨著誤差e(n)的減小而減小，因此在初始階段收斂速度較快，當收斂后μ(n)達到最小，約等于0。但如圖2、圖3所示，步長因子函數底部較為尖銳，在算法收斂階段，μ(n)變化較快，會導致穩態誤差變大，且計算量較大。

圖2 β取值對誤差變化的影響Fig.2 Influence of the value of β on the error variation

圖3 α取值對誤差變化的影響Fig.3 Influence of the value of α on the error variation

2 本文算法

基于變步長LMS的設計原則，提出一種基于正態分布曲線的變步長LMS算法。如圖4所示，相比于Sigmoid函數，正態分布曲線頂部較為平滑，且具有較快的上升和下降速度。正態分布的概率密度函數為

圖4 正態分布曲線Fig.4 Normal distribution curve

(5)

對式(5)作進一步變換，并引入a、b、c三個控制參數得

μ(n)=c[1-exp(-a|e(n)|b)]

(6)

2.1 參數a對算法的影響

圖5為當b=2且c=1，a的值為1、2、3、4時，步長因子隨誤差的變化曲線。從圖中可以看出，當誤差較大時，步長因子較大，收斂速度較快；在穩態階段，步長因子變化較為平緩，有利于減小穩態誤差。同時，當a變大時，曲線變陡，收斂速度變快，即a控制了算法收斂速度。

圖5 a的取值對誤差變化的影響Fig.5 Influence of the value of a on the variation of error

2.2 參數b對算法的影響

圖6為當a=1且c=1，b的值為2、3、4、5時，步長因子隨誤差的變化曲線。從圖中可以看出，b增大時，函數底部變化較為平緩，即步長因子變化越平緩，算法的穩態誤差越小，因此b控制了算法的穩態誤差。

圖6 b的取值對誤差變化的影響Fig.6 Influence of the value of b on the variation of error

2.3 參數c對算法的影響

圖7為當a=1且b=2，c的值為1、2、3、4時，步長因子隨誤差的變化曲線。從圖7中可以看出，c增大時，函數的最大值增大，算法的收斂速度變快，即c控制了算法的收斂速度。但c的取值不能無限大，它受算法的收斂條件影響。由LMS算法的收斂條件可知

圖7 c的取值對誤差變化的影響Fig.7 Influence of the value of c on the variation of error

0<μ<1/λmax

(7)

當e(n)→∞時，μ(n)≈c，則c的取值范圍為

0

(8)

綜上分析可得，在處理信號時，應根據實際情況選擇合適的參數，以獲得較快的收斂速度和較小的穩態誤差。

3 計算機仿真及海試數據驗證

3.1 計算機仿真

仿真中，輸入信號為高斯白噪聲加單頻正弦信號，均值為0，方差為1，信號位于第1000個采樣點處，信噪比為0 dB，參考信號是均值為0、方差為1的高斯白噪聲，每次仿真均進行200次蒙特卡洛仿真。未知系統的權系數為[0.70,0.42]，在第500個采樣點處未知系統發生時變，權系數突變為[0.31,0.25]。

圖8為三種算法的均方誤差圖。其中，每種算法的步長因子及參數都經過大量的仿真實驗確定，固定步長LMS濾波算法的步長因子μ=0.01，SVS-LMS算法的參數α=0.05，β=0.05，本文提出的算法a=5，b=1，c=0.12。從圖中可以看出，在算法的收斂速度上本文算法優于SVS-LMS算法及LMS算法；當未知系統突變時，本文算法性能最優，SVS-LMS算法次之，LMS算法最差。

圖8 三種算法的權系數收斂曲線Fig.8 Convergence curve of three algorithms′s weight coefficient

圖9為固定步長LMS算法、SVS-LMS算法、本文算法的均方誤差圖。從圖中可以看出，基于正態分布曲線的算法的穩態誤差最小， SVS-LMS算法較大，固定步長LMS算法的穩態誤差最大。這是因為本文所提算法的步長因子曲線在誤差較小時非常平緩，并且較小，所以穩態誤差較小，而固定步長LMS算法由于步長固定且較大，所以穩態誤差較大。當輸入信號發生變化時，這幾種算法的穩態誤差大小排序與未發生變化時一樣，本文算法的穩態誤差依然最小，固定步長LMS算法的穩態誤差最大。

圖9 三種算法的均方誤差曲線Fig.9 Mean square error curves of the three algorithms

圖10為固定步長LMS算法、SVS-LMS算法和本文基于正態分布曲線的變步長LMS算法均方誤差的對數表示圖。從圖中可以看出，固定步長LMS算法所能達到的均方誤差最小，精度最高，本文提出的算法次之，SVS-LMS算法的精度最低。

圖10 三種算法權系數收斂曲線Fig.10 Convergence curve of three algorithms′ weight coefficient

綜上，本文提出的基于正態分布曲線的變步長LMS算法在收斂速度、穩態誤差和跟蹤能力方面的性能較好，但由于變步長LMS算法的限制，當算法收斂后，為保證算法具有較小的穩態誤差，步長因子通常會選擇較小的值，因而靠向維納解的速度較慢，能達到的最小均方誤差較固定步長LMS算法較大，精度較低。針對此問題，對本文提出的算法做進一步改進。

考慮到固定步長LMS算法所能達到的精度最高，將本文提出的基于正態分布曲線的變步長LMS算法與固定步長LMS算法結合起來，提出一種基于正態分布曲線的分段式變步長LMS算法，算法表達式如下：

(9)

式中，eps代表算法達到的精度，即均方誤差的大小。本文中設置的算法精度界限為0.001，當算法均方誤差大于eps時，采用變步長的LMS算法，在算法之初采用較大步長因子使算法快速收斂，當算法收斂后采用較小的步長因子以減小穩態誤差，當算法的均方誤差達到eps時，采用較大固定步長因子以更快地靠向維納解，獲得更高精度。

圖11為固定步長LMS算法、本文算法和改進后的分段式變步長LMS算法的權系數收斂圖，由圖可知，本文算法和改進算法的收斂速度最快，固定步長LMS算法的收斂速度最慢。

圖11 三種算法權系數收斂曲線Fig.11 Convergence curve of three algorithms′ weight coefficient

圖12為固定步長LMS算法、本文算法和改進的分段式變步長算法的均方誤差圖，從圖中可以看出，本文算法和改進的分段式變步長算法的穩態誤差最小，曲線基本重合，固定步長LMS算法的穩態誤差最大。

圖12 三種算法均方誤差曲線Fig.12 Mean square error curves of the three algorithms

圖13為固定步長LMS算法、本文算法和改進算法的均方誤差對數表示圖，從圖中可以看出，改進算法達到的均方誤差最小，精度最高。

綜上分析可知：基于正態分布曲線的分段式變步長LMS算法在保證收斂速度、穩態誤差和跟蹤能力性能的同時使最小均方誤差最小，即精度最高。仿真結果與理論分析結果相一致，證明本文算法性能較好。下面通過海試數據對三種算法做進一步的比較。

3.2 海試數據驗證

3.2.1 參考信號的選取

在實際信號處理應用中，LMS算法中的參考信號往往難以獲取。李根[11]根據各波束間混響是相關的，從而將相鄰波束作為參考信號以達到消除混響的目的，但經過研究發現此方法存在兩點不足：首先，混響在空間上的相關性不強，從而將相鄰波束作為參考信號這一方法來濾除混響的能力有限；其次，由于波束主瓣寬度限制，信號可能會存在于多個波束內，導致信號也可能被當作參考信號被抵消掉。

考慮到此問題，本文提出一種產生參考信號的方法。如圖14所示，將80元均勻拖線陣分為等長的4個子陣，每個子陣77個陣元，各子陣間有一部分的重疊。

圖14 子陣劃分示意圖Fig.14 Subarray partition diagram

如圖15所示，當信號為單頻信號時，分別將2號和4號子陣輸出的波束域數據進行相位補償，使兩子陣的輸出信號相位對齊，然后進行倒相處理，分別與1號子陣和4號子陣相加，這樣就可以剔除信號，得到純混響數據d1和d2，分別作為1號、2號和3號、4號子陣的參考信號。

圖15 參考信號選取示意圖Fig.15 Schematic diagram of reference signal selection

這樣選取參考信號的依據是：當存在目標回波信號時，由于分裂波束中的目標回波信號經過相位補償后已經對齊，因此倒相相加后可去除回波信號得到純的混響干擾作為參考信號。

3.2.2 LMS算法的海試數據處理

下面通過海試數據比較幾種LMS算法的性能，其中信號為CW信號，位于66°方向，信號位于7～8 km處。現定義“局部信干比”這一概念：假設信號位于θ0，距離Lkm處，則在距離-方位圖中以信號為中心畫一矩形框，如圖16所示，以信號的功率除以矩形框內干擾的平均功率并將其轉化為dB數作為此方法的輸出信干比(Signal to Interference Ratio, SIR)，下面的局部信干比計算采用的矩形框為：距離為1～8 km，方位為40°～130°。其計算公式為

圖16 常規波束形成Fig.16 Conventional beamforming

SIR=10lg(PS/PI)

(10)

式中，PS為信號的功率，PI為干擾的平均功率。

圖16為常規波束形成算法得到的輸出結果，由圖可知，混響區能量較強，此時局部信干比為5.0 dB。

圖17為LMS算法濾波后的結果，從圖中可以看出，混響區能量部分被抑制，但抑制效果不明顯，此時的局部信干比為8.1 dB，相比于濾波前，信干比提高了大約3 dB。

圖17 LMS算法濾波結果Fig. 17 Results of LMS filtering

圖18為SVS-LMS算法濾波后的結果，從圖中可知，混響區大部分能量被抑制，但局部能量依然較強，此時的局部信干比為9.3 dB。

圖18 SVS-LMS算法濾波結果Fig.18 Results of SVS-LMS filtering

圖19為基于正態分布曲線的變步長LMS算法濾波后結果，此時局部信干比為10.3 dB。

圖19 基于正態分布曲線的算法濾波結果Fig. 19 Filtering results of the algorithm based on normal distribution curve

圖20為改進后的算法濾波結果，混響抑制效果較好，此時的局部信干比為10.5 dB。

圖20 基于正態分布曲線的分段式變步長LMS算法濾波結果Fig. 20 Filtering results of piecewise variable step size LMS algorithm based on normal distribution curve are presented

表1為幾種LMS算法輸出SIR的比較，綜上分析可知：本文提出的兩種自適應LMS算法的濾波效果比較明顯，可以濾除大部分的混響，相比于常規的LMS算法，本文所提算法的局部信干比提高了大約2.4 dB。

表1 幾種LMS算法輸出SIR的比較

通過計算機仿真和海試數據的處理結果可以看出，本文所提算法在收斂速度、跟蹤性能和穩態誤差等方面具有較大的優勢，綜合性能明顯優于其他兩種方法。

4 結論

本文通過研究固定步長的LMS算法在收斂速度和穩態誤差方面的矛盾引出了變步長LMS算法，在深入分析其步長因子的調整原則后，提出一種基于正態分布曲線的分段式變步長LMS算法，并且在實際信號處理過程中提出一種參考信號選取方法。通過計算機仿真和海試數據驗證，結果表明，該算法相比其他算法具有較快的收斂速度和較小的穩態誤差。